擬似ベクトル

物理学や数学において、擬ベクトル（または軸ベクトル）^[2]は、多くの状況でベクトルのように振る舞う量であるが、物体が回転、並進、反射などによって剛体変換されると方向が従わなくなる。これは、空間の向きが変わったときにも起こり得る。例えば、角運動量はベクトルとして記述されることが多いため擬ベクトルであるが、参照の位置を変えるだけで（位置ベクトルを変えるだけで）、角運動量は方向を逆転させることができる。これは、真のベクトル（極ベクトルとも呼ばれる）では起こらないはずである。^[3]

擬似ベクトルの一例としては、有向平面の法線があげられる。有向平面は、平面を張る2 つの非平行ベクトルaとb ^{[4]によって定義される。ベクトル}a × bは平面の法線 (法線は両側に 1 つずつあり、右手の法則によってどちらが法線かが決まる) であり、擬似ベクトルである。これはコンピュータグラフィックスにおいて、表面法線を変換する際に考慮する必要があるため、重要な意味を持つ。3 次元では、ある点における極ベクトル場の回転と 2 つの極ベクトルの外積が擬似ベクトルである^{[5] 。}

物理学における多くの量は、磁場や角速度など、極ベクトルではなく擬似ベクトルとして動作します。数学では、3 次元では、擬似ベクトルは双ベクトルと同等であり、擬似ベクトルの変換規則を導くことができます。より一般的には、n次元幾何代数では、擬似ベクトルは次元n − 1 の代数の要素であり、⋀ ^{n −1} R ^{nと表記されます。「擬似」というラベルは、}擬似スカラーと擬似テンソルにさらに一般化できます。どちらも、真のスカラーまたはテンソルと比較して、不適切な回転で余分な符号反転を取得します。

擬似ベクトルの物理的な例としては、トルク、^[4] 角速度、角運動量、^[4] 磁場、^[4] 渦度、磁気双極子モーメントなどが挙げられます。

擬似ベクトル角運動量 L = Σ( r × p )について考えてみましょう。車を運転して前方を見ると、各車輪の角運動量ベクトルは左を向いています。世界を鏡に映して車の左右を入れ替えると、この角運動量「ベクトル」の「反射」（通常のベクトルとして表示）は右を向きますが、車輪の実際の角運動量ベクトル（反射ではまだ前方を向いています）は依然として左を向き、擬似ベクトルの反射における余分な符号反転に対応します。

対称性が物理システムの解に与える影響を理解するには、極性ベクトルと擬似ベクトルの区別が重要になります。z = 0平面の電流ループを考えてみましょう。このループの内側では、 z方向の磁場が生成されます。このシステムは、この平面を介した鏡映反射に対して対称(不変) であり、磁場は反射によって変化しません。しかし、磁場をベクトルとしてその平面に反射すると、磁場が反転することが予想されます。この予想は、磁場が擬似ベクトルであり、追加の符号反転によって磁場が変化しないことを認識することで修正されます。

物理学では、擬似ベクトルは一般に、2 つの極ベクトルの外積または極ベクトル場の回転の結果です。外積と回転は慣例により右手の法則に従って定義されますが、左手の法則で定義することも同様に簡単です。(右手) 擬似ベクトルと右手の法則を扱う物理学全体は、(左手) 擬似ベクトルと左手の法則を使用して問題なく置き換えることができます。このように定義された (左) 擬似ベクトルは、右手の法則で定義されたものと方向が逆になります。

物理学におけるベクトルの関係は座標を使わない方法で表現できますが、ベクトルと擬似ベクトルを数値として表現するには座標系が必要です。ベクトルは、たとえば のように、順序付けられた 3 つの数値として表現されます。擬似ベクトルもこの形式で表現されます。左手座標系と右手座標系の間で変換する場合、擬似ベクトルの表現はベクトルとして変換されず、ベクトル表現として扱うと誤った符号変更が発生するため、順序付けられた 3 つ組のどれがベクトルを表し、どれが擬似ベクトルを表すかを把握するように注意する必要があります。この問題は、2 つのベクトルの外積を2 つのベクトルの外積に置き換えれば発生しません。外積は、3×3 行列で表される 2 階テンソルである 2 次元ベクトルを生成します。この 2 次元テンソルの表現は、2 つの座標系の間で、その利き手に関わらず正しく変換されます。 ${\displaystyle \mathbf {a} =(a_{x},a_{y},a_{z})}$

物理学における「ベクトル」の定義（極ベクトルと擬似ベクトルの両方を含む）は、数学的な「ベクトル」の定義（つまり、抽象的なベクトル空間の任意の要素）よりも具体的です。物理学の定義では、「ベクトル」には、適切な回転の下で特定の方法で「変換」する成分が必要です。特に、宇宙のすべてが回転すると、ベクトルもまったく同じように回転します。（この議論では座標系は固定されています。つまり、これは能動的な変換の観点です。）数学的には、宇宙のすべてが回転行列Rによって記述される回転を受けて、変位ベクトルxがx ′ = R xに変換される場合、任意の「ベクトル」v は同様にv ′ = R vに変換される必要があります。この重要な要件は、ベクトル(たとえば、速度のx成分、y成分、z成分で構成される) を他の物理量の 3 つ組 (たとえば、長方形のボックスの長さ、幅、高さは、ボックスを回転してもこれらの 3 つの成分が適切に変換されないため、ベクトルの 3 つの成分とは見なされません) と区別するものです。

(微分幾何学の言語では、この要件はベクトルを反変ランク 1のテンソルとして定義することと同等です。このより一般的なフレームワークでは、高ランクのテンソルは、任意の数の共変ランクと反変ランクを同時に持つこともでき、これはアインシュタインの総和規則内で上付きインデックスと下付きインデックスで示されます。)

基本的でかなり具体的な例は、通常の行列乗算演算子による行ベクトルと列ベクトルの例です。ある順序では、それらはドット積を生成しますが、これは単なるスカラーであり、したがってランク 0 のテンソルです。一方、別の順序では、それらは二項積を生成します。これは、1 つの反変インデックスと 1 つの共変インデックスを持つ、ランク 2 の混合テンソルを表す行列です。このように、標準的な行列代数の非可換性を使用して、共変ベクトルと反変ベクトルの区別を追跡できます。実際、これは、より形式的で一般化されたテンソル表記が登場する前は、記録が行われていた方法です。これは、一般テンソル空間の基底ベクトルが実際の操作のためにどのように表示されるかに今でも現れています。

これまでの議論は、適切な回転、つまり軸の周りの回転にのみ関係しています。ただし、不適切な回転、つまり鏡映しの後に適切な回転が行われる可能性もあることも考えられます。(不適切な回転の 1 つの例は、 3 次元空間内の点を通る反転です。) 宇宙のすべてのものが不適切な回転行列Rによって記述される不適切な回転を受け、位置ベクトルxがx ′ = R xに変換されるとします。ベクトルvが極ベクトルの場合は、 v ′ = R vに変換されます。擬似ベクトルの場合は、 v ′ = − R vに変換されます。

極ベクトルと擬似ベクトルの変換規則は次のように簡潔に述べることができる。

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} '&=R\mathbf {v} &&{\text{(極ベクトル)}}\\\mathbf {v} '&=(\det R)( R\mathbf {v} )&&{\text{(pseudovector)}}\end{aligned}}}$

ここで、記号は上記のとおりであり、回転行列R は適切なものでも不適切なものでもかまいません。記号 det は行列式を表します。この式が成り立つのは、適切な回転行列と不適切な回転行列の行列式がそれぞれ +1 と -1 だからです。

v ₁とv _{2 が}既知の擬似ベクトルで、v _{3 が}それらの和として定義されているとします。 v ₃ = v ₁ + v ₂。宇宙が回転行列Rによって変換されると、v _{3 は}次のように変換されます。

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v_{3}} '=\mathbf {v_{1}} '+\mathbf {v_{2}} '&=(\det R)(R\mathbf {v_{1}} )+(\det R)(R\mathbf {v_{2}} )\\&=(\det R)(R(\mathbf {v_{1}} +\mathbf {v_{2}} ))=(\det R)(R\mathbf {v_{3}} ).\end{aligned}}}$

したがって、v _{3 も}擬似ベクトルです。同様に、2 つの擬似ベクトルの差は擬似ベクトルであり、2 つの極ベクトルの和または差は極ベクトルであり、極ベクトルに任意の実数を掛けると別の極ベクトルが生成され、擬似ベクトルに任意の実数を掛けると別の擬似ベクトルが生成されることが示せます。

一方、v ₁が極ベクトル、v ₂が擬似ベクトル、v _{3 が}それらの和として定義されているとすると、v ₃ = v ₁ + v ₂となります。宇宙が不適正な回転行列Rによって変換されると、v _{3 は}次のように変換されます。

${\displaystyle \mathbf {v_{3}} '=\mathbf {v_{1}} '+\mathbf {v_{2}} '=(R\mathbf {v_{1}} )+(\det R) (R\mathbf {v_{2}} )=R(\mathbf {v_{1}} +(\det R)\mathbf {v_{2}} )。}$

したがって、v _{3 は}極ベクトルでも擬似ベクトルでもありません (ただし、物理学の定義ではベクトルです)。不適切な回転の場合、v _{3 は}一般に同じ大きさを維持しません。

${\displaystyle |\mathbf {v_{3}} |=|\mathbf {v_{1}} +\mathbf {v_{2}} |,{\text{ ただし }}\left|\mathbf {v_{3}} '\right|=\left|\mathbf {v_{1}} '-\mathbf {v_{2}} '\right|}$。

v ₃の大きさが測定可能な物理量を表すとしたら、それは、宇宙を鏡で見た場合に物理法則が同じようには見えないということを意味します。実際、これはまさに弱い相互作用で起こっていることです。特定の放射性崩壊は「左」と「右」を別々に扱います。この現象は、基礎理論における極性ベクトルと疑似ベクトルの合計にまでさかのぼることができます。(パリティ違反を参照してください。)

回転行列Rについては、それが適切であるか不適切であるかにかかわらず、次の数式が常に成り立ちます。

${\displaystyle (R\mathbf {v_{1}} )\times (R\mathbf {v_{2}} )=(\det R)(R(\mathbf {v_{1}} \times \mathbf {v_{2}} ))}$、

ここで、v ₁とv _{2 は}任意の 3 次元ベクトルです。(この方程式は、幾何学的議論または代数計算によって証明できます。)

v ₁とv _{2 が}既知の極ベクトルで、v _{3 が}それらの外積として定義されているとします。 v ₃ = v ₁ × v ₂。宇宙が回転行列Rによって変換されると、v _{3 は}次のように変換されます。

${\displaystyle \mathbf {v_{3}} '=\mathbf {v_{1}} '\times \mathbf {v_{2}} '=(R\mathbf {v_{1}} )\times (R\mathbf {v_{2}} )=(\det R)(R(\mathbf {v_{1}} \times \mathbf {v_{2}} ))=(\det R)(R\mathbf {v_{3}} ).}$

したがって、v _{3 は}擬似ベクトルです。同様に、次を示すことができます。

• 極ベクトル × 極ベクトル = 擬似ベクトル
• 擬似ベクトル × 擬似ベクトル = 擬似ベクトル
• 極ベクトル × 擬似ベクトル = 極ベクトル
• 擬似ベクトル × 極ベクトル = 極ベクトル

これは 2 を法とする加算と同型であり、「極性」は 1 に、「擬似」は 0 に相当します。

定義から、変位ベクトルは極性ベクトルであることは明らかです。速度ベクトルは変位ベクトル (極性ベクトル) を時間 (スカラー) で割ったものなので、極性ベクトルでもあります。同様に、運動量ベクトルは速度ベクトル (極性ベクトル) に質量 (スカラー) を掛けたものなので、極性ベクトルでもあります。角運動量は変位 (極性ベクトル) と運動量 (極性ベクトル) の外積なので、擬似ベクトルです。トルクは角運動量 (擬似ベクトル) を時間 (スカラー) で割ったものなので、擬似ベクトルでもあります。このように続けると、物理学で一般的なベクトルはどれも擬似ベクトルまたは極性ベクトルのいずれかに分類できます (弱い相互作用の理論には、極性ベクトルでも擬似ベクトルでもないパリティ違反ベクトルがあります。ただし、物理学では非常にまれにしか発生しません)。

上記では、擬似ベクトルは能動変換を用いて議論されてきた。受動変換に近い別のアプローチは、宇宙を固定したまま、外積や回転の定義を含め、数学と物理学のあらゆる場所で「右手の法則」を「左手の法則」と入れ替えるというものである。任意の極性ベクトル（例えば、並進ベクトル）は不変であるが、擬似ベクトル（例えば、ある点における磁場ベクトル）は符号が入れ替わる。しかし、特定の放射性崩壊などのパリティ違反現象を除けば、物理的な影響はない。^[6]

擬似ベクトルを形式化する一つの方法は次のとおりです。V が n 次元ベクトル空間である場合、Vの擬似ベクトルはVの( n − 1  ) 次外乗の要素です: ⋀ ^{n −1} ( V ) 。Vの擬似ベクトルはVと同じ次元のベクトル空間を形成します。

この定義は、不適正な回転の下での符号反転を要求する定義と同等ではありませんが、すべてのベクトル空間に一般化されています。特に、nが偶数の場合、このような擬ベクトルは符号反転を経験せず、Vの基底体の特性値が 2 の場合、符号反転は影響しません。それ以外の場合、定義は同等ですが、追加の構造 (具体的には、体積形式または方向) がなければ、 ⋀ ^{n −1} ( V ) とVを自然に同一視することはできないことに留意する必要があります。

これらを形式化する別の方法は、これらをの表現空間の要素と見なすことです。ベクトルはの基本表現でによって与えられたデータを使って変換されるため、の任意の行列に対してが成り立ちます。擬ベクトルは の擬基本表現で に変換されます。この準同型を奇数について見る別の方法は、この場合は となることです。すると は群準同型の直積、つまり 上の基本準同型と 上の自明準同型の直積になります。 ${\displaystyle {\text{O}}(n)}$${\displaystyle {\text{O}}(n)}$${\displaystyle (\mathbb {R} ^{n},\rho _{\text{fund}},{\text{O}}(n))}$${\displaystyle R}$${\displaystyle {\text{O}}(n)}$${\displaystyle \rho _{\text{fund}}(R)=R}$${\displaystyle (\mathbb {R} ^{n},\rho _{\text{擬似}},{\text{O}}(n))}$${\displaystyle \rho _{\text{擬似}}(R)=\det(R)R}$${\displaystyle n}$${\displaystyle {\text{O}}(n)\cong {\text{SO}}(n)\times \mathbb {Z} _{2}}$${\displaystyle \rho _{\text{pseudo}}}$${\displaystyle {\text{SO}}(n)}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$

幾何代​​数では、基本要素はベクトルであり、この代数における積の定義を使用して要素の階層を構築するために使用されます。特に、代数はベクトルから擬似ベクトルを構築します。

幾何代​​数における基本的な乗算は幾何積であり、これはabのように 2 つのベクトルを単純に並べることによって表されます。この積は次のように表されます。

${\displaystyle \mathbf {ab} =\mathbf {a\cdot b} +\mathbf {a\wedge b} \ ,}$

ここで、主項は通常のベクトル内積であり、2 番目の項はウェッジ積または外積と呼ばれます。代数の公理を使用すると、内積とウェッジ積のすべての組み合わせを評価できます。さまざまな組み合わせを説明する用語が提供されています。たとえば、マルチベクトルは、さまざまなk値のk重ウェッジ積の合計です。k重ウェッジ積は、 kブレードとも呼ばれます。

現在の文脈では、擬似ベクトルはこれらの組み合わせの 1 つです。この用語は、空間の次元(つまり、空間内の線形独立ベクトルの数) に応じて、異なるマルチベクトルに付けられます。3 次元では、最も一般的な 2 ブレードまたはバイベクトルは、2 つのベクトルのくさび積として表すことができ、擬似ベクトルです。^[7]ただし、4 次元では、擬似ベクトルはトリベクトルです。^[8]一般に、これは( n − 1)ブレードであり、n は空間と代数の次元です。^[9] n次元空間には、n 個の基底ベクトルと n 個の基底擬似ベクトルがあります。各基底擬似ベクトルは、 n 個の基底ベクトルのうち 1 つを除くすべての基底ベクトルの外積 (くさび積) から形成されます。たとえば、基底ベクトルが { e ₁、e ₂、e ₃、e _{4 } とされる 4 次元では、擬似ベクトルは {} e ₂₃₄、e ₁₃₄、e ₁₂₄、e ₁₂₃ }と表記されます。

3 次元における擬似ベクトルの変換特性は、ベイリスによってベクトル外積の変換特性と比較されています。 ^{[10]彼は次のように述べています。「}軸ベクトルと擬似ベクトルという用語はしばしば同義語として扱われますが、双対ベクトルをその双対ベクトルから区別できることは非常に便利です。」ベイリスを言い換えると、3 次元における 2 つの極ベクトル (つまり、真のベクトル) aとb を考えると、 aとbから構成される外積は、それらの平面に垂直なベクトルc = a × bになります。右手正規直交基底ベクトルの集合 { e _ℓ }を考えると、外積はその成分で次のように表されます。

${\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =\left(a^{2}b^{3}-a^{3}b^{2}\right)\mathbf {e} _{1}+\left(a^{3}b^{1}-a^{1}b^{3}\right)\mathbf {e} _{2}+\left(a^{1}b^{2}-a^{2}b^{1}\right)\mathbf {e} _{3},}$

ここで、上付き文字はベクトル成分を表す。一方、２つのベクトルの平面は、外積またはウェッジ積で表され、a ∧ bで表される。幾何代数のこの文脈では、このバイベクトルは擬似ベクトルと呼ばれ、外積のホッジ双対^{である。 [11]} e ₁の双対は、 e ₂₃ ≡ e ₂ e ₃ = e ₂ ∧ e ₃などと導入される。つまり、e _{1の双対は、} e ₁に垂直な部分空間、つまりe ₂とe ₃によって張られる部分空間である。この理解に基づき、^[12]

${\displaystyle \mathbf {a} \wedge \mathbf {b} =\left(a^{2}b^{3}-a^{3}b^{2}\right)\mathbf {e} _{23}+\left(a^{3}b^{1}-a^{1}b^{3}\right)\mathbf {e} _{31}+\left(a^{1}b^{2}-a^{2}b^{1}\right)\mathbf {e} _{12}\ .}$

詳細については、ホッジスター演算子 § 3次元を参照してください。クロス積とウェッジ積は次のように関連しています。

${\displaystyle \mathbf {a} \ \wedge \ \mathbf {b} ={\mathit {i}}\ \mathbf {a} \ \times \ \mathbf {b} \ ,}$

ここでi = e ₁ ∧ e ₂ ∧ e _3は単位擬スカラーと呼ばれる。^{[13] [14]}これは次のような性質を持つ: ^[15]

${\displaystyle {\mathit {i}}^{2}=-1\ .}$

上記の関係を使用すると、ベクトルaとb を、基底ベクトルを固定したまま成分の符号を変更して反転すると、擬似ベクトルと外積は両方とも不変であることがわかります。一方、成分を固定し、基底ベクトルe _ℓ を反転すると、擬似ベクトルは不変ですが、外積の符号が変わります。外積のこの動作は、極ベクトルとは異なり、右手座標系から左手座標系への変換で符号が変わるベクトルのような要素としての定義と一致しています。

余談ですが、幾何代数学の分野では、すべての著者が擬似ベクトルという用語を使用しているわけではなく、擬似ベクトルと外積を区別しない用語を使用している著者もいます。^[16]しかし、外積は3次元以外には一般化できないため、^{[17]外積に基づく擬似ベクトルの概念も、他の次元数の空間に拡張することはできません。} n次元空間の( n – 1)ブレード としての擬似ベクトルは、このように制限されません。

もう 1 つの重要な注意点は、擬似ベクトルは、その名前にもかかわらず、ベクトル空間の要素という意味で「ベクトル」であるということです。「擬似ベクトルはベクトルとは異なる」という考え方は、上で説明したように、「ベクトル」という用語の異なる、より具体的な定義がある場合にのみ当てはまります。

• 外積代数
• クリフォード代数
• 反ベクトル、クリフォード代数における擬似ベクトルの一般化
• 方向性— 方向性のない空間についての議論。
• テンソル密度