ベクトル投影

ベクトルaの非ゼロベクトルb上へのベクトル投影（ベクトル成分またはベクトル分解とも呼ばれる）は、aをbに平行な直線上に直交投影することです。 aからbへの投影は、またはa _{‖ b}と表記されることが多いです。 ${\displaystyle \operatorname {proj} _{\mathbf {b} }\mathbf {a} }$

aから bに垂直なベクトル成分またはベクトル分解は、 aからbへのベクトル除去（またはa _{⊥ b}と表記）とも呼ばれ、 ^{[1] は、} bに直交する平面（または一般には超平面）へのaの直交射影です。 と は両方ともベクトルであり、それらの和はaに等しいため、 aからbへの除去は次のように表されます。 ${\displaystyle \operatorname {oproj} _{\mathbf {b} }\mathbf {a} }$${\displaystyle \operatorname {proj} _{\mathbf {b} }\mathbf {a} }$${\displaystyle \operatorname {oproj} _{\mathbf {b} }\mathbf {a} }$$${\displaystyle \operatorname {oproj} _{\mathbf {b} }\mathbf {a} =\mathbf {a} -\operatorname {proj} _{\mathbf {b} }\mathbf {a} .}$$

表記を簡略化するために、この記事では次のように定義します。 したがって、ベクトルはベクトルに平行であり、ベクトルはベクトルに直交し、${\displaystyle \mathbf {a} _{1}:=\operatorname {proj} _{\mathbf {b} }\mathbf {a} }$${\displaystyle \mathbf {a} _{2}:=\operatorname {oproj} _{\mathbf {b} }\mathbf {a} .}$${\displaystyle \mathbf {a} _{1}}$${\displaystyle \mathbf {b} ,}$${\displaystyle \mathbf {a} _{2}}$${\displaystyle \mathbf {b} ,}$${\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {a} _{1}+\mathbf {a} _{2}.}$

aからbへの射影は、次のように書くことで方向とスカラー量に分解できます。 ここではスカラーで、aからbへのスカラー射影と呼ばれ、b̂はbの方向の単位ベクトルです。スカラー射影は次のように定義されます^[2]。 ここで、演算子⋅はドット積、‖ a ‖ はaの長さ、θ はaとb の間の角度です。スカラー射影の絶対値はベクトル射影の長さに等しく、射影の方向がbの方向と反対の場合、つまりベクトル間の角度が 90 度を超える場合はマイナス符号が付きます。 ${\displaystyle \mathbf {a} _{1}=a_{1}\mathbf {\hat {b}} }$${\displaystyle a_{1}}$ $${\displaystyle a_{1}=\left\|\mathbf {a} \right\|\cos \theta =\mathbf {a} \cdot \mathbf {\hat {b}} }$$

ベクトル投影は、とのドット積を使用して次のように計算できます。 ${\displaystyle \mathbf {a} }$${\displaystyle \mathbf {b} }$$${\displaystyle \operatorname {proj} _{\mathbf {b} }\mathbf {a} =\left(\mathbf {a} \cdot \mathbf {\hat {b}} \right)\mathbf {\hat {b}} ={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\left\|\mathbf {b} \right\|}}{\frac {\mathbf {b} }{\left\|\mathbf {b} \right\|}}={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\left\|\mathbf {b} \right\|^{2}}}{\mathbf {b} }={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} }}{\mathbf {b} }~.}$$

この記事では、ベクトルは太字フォント (例: a ₁ ) で表記し、スカラーは通常のフォント (例: a ₁ ) で表記するという規則を使用します。

ベクトルaとbの内積はと表され、 aのノルムは‖ a ‖と表され、 aとb の間の角度はθで表されます。 ${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }$

aのbへのスカラー射影は、 θ がaとb の間の角度である ときに、 に等しいスカラーです 。 $${\displaystyle a_{1}=\left\|\mathbf {a} \right\|\cos \theta ,}$$

スカラー投影は、対応するベクトル投影を計算するための スケール係数として使用できます。

aからbへのベクトル射影は、その大きさがbと同じ方向を持つaからbへのスカラー射影であるベクトルです。つまり、次のように定義されます。 ここで、 は上記で定義した対応するスカラー射影であり、 はbと同じ方向を持つ単位ベクトルです。 $${\displaystyle \mathbf {a} _{1}=a_{1}\mathbf {\hat {b}} =(\left\|\mathbf {a} \right\|\cos \theta )\mathbf {\hat {b}} }$$${\displaystyle a_{1}}$${\displaystyle \mathbf {\hat {b}} }$$${\displaystyle \mathbf {\hat {b}} ={\frac {\mathbf {b} }{\left\|\mathbf {b} \right\|}}}$$

定義により、 aのbに対するベクトル拒否は次のようになります。 $${\displaystyle \mathbf {a} _{2}=\mathbf {a} -\mathbf {a} _{1}}$$

したがって、 $${\displaystyle \mathbf {a} _{2}=\mathbf {a} -\left(\left\|\mathbf {a} \right\|\cos \theta \right)\mathbf {\hat {b}} }$$

θが不明な場合、 θの余弦は、ドット積a ⋅ bの次の性質により、aとbに関して計算できます。 $${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|\cos \theta }$$

ドット積の上記の特性により、スカラー射影の定義は次のようになる。^[2] $${\displaystyle a_{1}=\left\|\mathbf {a} \right\|\cos \theta ={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\left\|\mathbf {b} \right\|}}.}$$

2次元では、これは $${\displaystyle a_{1}={\frac {\mathbf {a} _{x}\mathbf {b} _{x}+\mathbf {a} _{y}\mathbf {b} _{y}}{\left\|\mathbf {b} \right\|}}.}$$

同様に、 aからbへのベクトル射影の定義は次のようになる: ^[2] これは[3] または^[4] と同等である 。$${\displaystyle \mathbf {a} _{1}=a_{1}\mathbf {\hat {b}} ={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\left\|\mathbf {b} \right\|}}{\frac {\mathbf {b} }{\left\|\mathbf {b} \right\|}},}$$$${\displaystyle \mathbf {a} _{1}=\left(\mathbf {a} \cdot \mathbf {\hat {b}} \right)\mathbf {\hat {b}} ,}$$ $${\displaystyle \mathbf {a} _{1}={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\left\|\mathbf {b} \right\|^{2}}}{\mathbf {b} }={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} }}{\mathbf {b} }~.}$$

2次元では、スカラー除去は、aを90°左に回転した 上に投影することと同等です。したがって、${\displaystyle \mathbf {b} ^{\perp }={\begin{pmatrix}-\mathbf {b} _{y}&\mathbf {b} _{x}\end{pmatrix}}}$${\displaystyle \mathbf {b} ={\begin{pmatrix}\mathbf {b} _{x}&\mathbf {b} _{y}\end{pmatrix}}}$$${\displaystyle a_{2}=\left\|\mathbf {a} \right\|\sin \theta ={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} ^{\perp }}{\left\|\mathbf {b} \right\|}}={\frac {\mathbf {a} _{y}\mathbf {b} _{x}-\mathbf {a} _{x}\mathbf {b} _{y}}{\left\|\mathbf {b} \right\|}}.}$$

このようなドット積は「直交ドット積」と呼ばれます。^[4]

定義上、 $${\displaystyle \mathbf {a} _{2}=\mathbf {a} -\mathbf {a} _{1}}$$

したがって、 $${\displaystyle \mathbf {a} _{2}=\mathbf {a} -{\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} }}{\mathbf {b} }.}$$

直交ドット積を用いたスカラー除去を使用すると、次の式が得られます。

$${\displaystyle \mathbf {a} _{2}={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} ^{\perp }}{\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} }}\mathbf {b} ^{\perp }}$$

bへのスカラー射影aは、 90 度< θ ≤ 180 度の場合に負の符号を持つスカラーです。角度が 90° より小さい場合、ベクトル射影の 長さ‖ c ‖と一致します。より正確には、

• 0° ≤ θ ≤ 90°の場合、 a ₁ = ‖ a ₁ ‖ 、
• 90° < θ ≤ 180°の場合、 a ₁ = −‖ a ₁ ‖となります。

aからbへのベクトル投影は、bに対してゼロまたは平行であるベクトルa ₁です。より正確には、

• θ = 90°の場合、 a ₁ = 0、
• 0° ≤ θ < 90°の場合、 a ₁とb は同じ方向を持ちます。
• 90° < θ ≤ 180°の場合、 a ₁とb は反対方向になります。

aのbに対するベクトル拒絶は、bに対してゼロまたは直交するベクトルa ₂です。より正確には、

• θ = 0°またはθ = 180°の場合、 a ₂ = 0、
• 0 < θ < 180°の場合、 a _{2 は}bに直交します。

直交投影は投影行列で表すことができます。ベクトルを単位ベクトルa = ( a _x、 a _y、 a _z )に投影するには、次の投影行列を掛ける必要があります。 $${\displaystyle P_{\mathbf {a} }=\mathbf {a} \mathbf {a} ^{\textsf {T}}={\begin{bmatrix}a_{x}\\a_{y}\\a_{z}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{x}&a_{y}&a_{z}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{x}^{2}&a_{x}a_{y}&a_{x}a_{z}\\a_{x}a_{y}&a_{y}^{2}&a_{y}a_{z}\\a_{x}a_{z}&a_{y}a_{z}&a_{z}^{2}\\\end{bmatrix}}}$$

ベクトル射影は、ベクトル空間基底のグラム・シュミット 正規直交化における重要な演算です。また、2 つの凸形状が交差するかどうかを検出するために、分離軸定理でも使用されます。

ベクトルの長さとベクトル間の角度の概念は任意のn次元内積空間に一般化できるため、ベクトルの直交射影、ベクトルから別のベクトルへの射影、ベクトルから別のベクトルへの拒絶の概念についてもこれは当てはまります。

場合によっては、内積がドット積と一致することがあります。一致しない場合は、射影と拒絶の正式な定義でドット積の代わりに内積が使用されます。3次元の内積空間では、ベクトルの別のベクトルへの射影とベクトルの別のベクトルからの拒絶の概念は、ベクトルの平面への射影と平面からのベクトルの拒絶の概念に一般化できます。 ^[5]平面へのベクトルの射影は、その平面へのベクトルの直交射影です。平面からのベクトルの拒絶は、その平面に直交する直線へのベクトルの直交射影です。どちらもベクトルです。最初のものは平面に平行で、2番目は直交しています。

与えられたベクトルと平面について、射影と拒絶の合計は元のベクトルに等しい。同様に、3次元を超える内積空間では、ベクトルへの射影とベクトルからの拒絶の概念は、超平面への射影と超平面からの拒絶の概念に一般化できる。幾何代数では、これらはさらに、任意の可逆なkブレード上への/からの一般的な多重ベクトルの射影と拒絶の概念に一般化できる。

• スカラー投影
• ベクトル表記

• ベクトルを平面に投影する