Four-velocity

時間の遅れから、座標時間tと固有時間τの微分は次のように関係付けられる。 $${\displaystyle dt=\ガンマ (u)d\タウ }$$ ここでローレンツ因子は、 $${\displaystyle \gamma (u)={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}\,,}$$これは、3次元速度ベクトルのユークリッドノルムu の関数である。${\displaystyle {\vec {u}}}$:$${\displaystyle u=\left\|\ {\vec {u}}\ \right\|={\sqrt {\left(u^{1}\right)^{2}+\left(u^{2}\right)^{2}+\left(u^{3}\right)^{2}}}\,.}$$

4元速度は、時間的世界線の接線4元ベクトルである。4元速度${\displaystyle \mathbf {U} }$世界線のどの地点でも${\displaystyle \mathbf {X} (\tau )}$は次のように定義されます。 $${\displaystyle \mathbf {U} ={\frac {d\mathbf {X} }{d\tau }}}$$ どこ${\displaystyle \mathbf {X} }$は4ポジションで、$\displaystyle \tau }$適切な時期です。^{[ 1 ]}

ここで定義される、物体の固有時間を用いた4元速度は、光速で移動する光子のような質量のない物体の世界線には存在せず、また、接線ベクトルが空間的であるタキオン世界線にも定義されない。

時間tと座標時間x ⁰の関係は次のように定義される。 $${\displaystyle x^{0}=ct.}$$

これを固有時間τに関して微分すると、^μ = 0の場合のUμ速度成分が得られます。 $${\displaystyle U^{0}={\frac {dx^{0}}{d\tau }}={\frac {d(ct)}{d\tau }}=c{\frac {dt}{d\tau }}=c\gamma (u)}$$

そして、他の 3 つの成分については、適切な時間に対して、μ = 1、2、3の場合のU ^μ速度成分が得られます。 $${\displaystyle U^{i}={\frac {dx^{i}}{d\tau }}={\frac {dx^{i}}{dt}}{\frac {dt}{d\tau }}={\frac {dx^{i}}{dt}}\gamma (u)=\gamma (u)u^{i}}$$ここでは連鎖律と関係性 を使用しています$${\displaystyle u^{i}={dx^{i} \over dt}\,,\quad {\frac {dt}{d\tau }}=\gamma (u)}$$

したがって、4つの速度については、${\displaystyle \mathbf {U} }$:$${\displaystyle \mathbf {U} =\gamma {\begin{bmatrix}c\\{\vec {u}}\\\end{bmatrix}}.}$$

標準的な4ベクトル表記で表すと次のようになります。 $${\displaystyle \mathbf {U} =\gamma \left(c,{\vec {u}}\right)=\left(\gamma c,\gamma {\vec {u}}\right)}$$ どこ${\displaystyle \gamma c}$は時間的要素であり、${\displaystyle \gamma {\vec {u}}}$これは空間成分です。

特定の平坦な時空に関連付けられた同期された時計と定規の観点から、4元速度の3つの空間的成分は、移動する物体の固有速度を定義する。${\displaystyle \gamma {\vec {u}}=d{\vec {x}}/d\tau }$すなわち、対象物と共に移動する時計の単位固有時間あたりに、基準地図座標系内で移動する距離の速度。

他のほとんどの4ベクトルとは異なり、4速度は3つの独立した成分しか持たない。${\displaystyle u_{x},u_{y},u_{z}}$4 の代わりに。${\displaystyle \gamma }$係数は三次元速度の関数である${\displaystyle {\vec {u}}}$。

特定のローレンツスカラーに4元速度を掛けると、4つの独立した成分を持つ新しい物理的な4元ベクトルが得られる。

例えば：

• 4つの運動量：$${\displaystyle \mathbf {P} =m_{o}\mathbf {U} =\gamma m_{o}\left(c,{\vec {u}}\right)=m\left(c,{\vec {u}}\right)=\left(mc,m{\vec {u}}\right)=\left(mc,{\vec {p}}\right)=\left({\frac {E}{c}},{\vec {p}}\right),}$$どこ${\displaystyle m_{o}}$静止質量は
• 4つの電流密度：$${\displaystyle \mathbf {J} =\rho _{o}\mathbf {U} =\gamma \rho _{o}\left(c,{\vec {u}}\right)=\rho \left(c,{\vec {u}}\right)=\left(\rho c,\rho {\vec {u}}\right)=\left(\rho c,{\vec {j}}\right),}$$どこ${\displaystyle \rho _{o}}$電荷密度

実質的に、${\displaystyle \gamma }$この因子はローレンツスカラー項と組み合わさって、4番目の独立成分を形成する。 $${\displaystyle m=\gamma m_{o}}$$そして$${\displaystyle \rho =\gamma \rho _{o}.}$$

静止系における4元位置の微分を用いると、符号(−, +, +, +)を持つミンコフスキー計量によって4元速度の大きさが得られる。 $${\displaystyle \left\|\mathbf {U} \right\|^{2}=\eta _{\mu \nu }U^{\mu }U^{\nu }=\eta _{\mu \nu }{\frac {dX^{\mu }}{d\tau }}{\frac {dX^{\nu }}{d\tau }}=-c^{2}\,,}$$ つまり、あらゆる物体の4元速度の大きさは常に一定の定数である。 $${\displaystyle \left\|\mathbf {U} \right\|^{2}=-c^{2}}$$

動いているフレームでは、同じ規範が成り立つ。 $${\displaystyle \left\|\mathbf {U} \right\|^{2}={\gamma (u)}^{2}\left(-c^{2}+{\vec {u}}\cdot {\vec {u}}\right),}$$ となることによって： $${\displaystyle -c^{2}={\gamma (u)}^{2}\left(-c^{2}+{\vec {u}}\cdot {\vec {u}}\right),}$$

これはローレンツ因子の定義に帰着する。