三角関数

数学において、三角関数（円関数、角度関数、ゴニオメトリック関数とも呼ばれる）^[1]は、直角三角形の角度と2辺の長さの比を関連付ける実関数です。これらは、航海、固体力学、天体力学、測地学など、幾何学に関連するすべての科学で広く使用されています。これらは最も単純な周期関数の1つであるため、フーリエ解析を通じて周期現象を研究するためにも広く使用されています。

現代数学で最も広く使用されている三角関数は、正弦関数、余弦関数、正接関数です。これらの逆数はそれぞれコセカント関数、セカント関数、コタンジェント関数ですが、あまり使用されていません。これら 6 つの三角関数にはそれぞれ対応する逆関数があり、類似の関数が双曲関数にあります。

直角三角形に関連する三角関数の最も古い定義では、鋭角に対してのみ関数が定義されています。正弦関数と余弦関数を、実数直線全体が定義域となる関数に拡張するために、標準の単位円(つまり、半径1 単位の円) を使用した幾何学的定義がよく使用されます。この場合、他の関数の定義域は、孤立点がいくつか除去された実数直線になります。現代の定義では、三角関数は無限級数または微分方程式の解として表現されます。これにより、正弦関数と余弦関数の定義域を複素平面全体に拡張し、他の三角関数の定義域を孤立点がいくつか除去された複素平面に拡張できます。

慣例的に、各三角関数の名前の略語が数式内の記号として使用されます。今日、これらの略語の最も一般的なバージョンは、正弦の場合は「sin」、余弦の場合は「cos」、正接の場合は「tan」または「tg」、正割の場合は「sec」、余割の場合は「csc」または「cosec」、余接の場合は「cot」または「ctg」です。歴史的に、これらの略語は、最初は散文で、任意の円の弧に関連する特定の線分またはその長さを示すために使用され、後に長さの比を示すために使用されましたが、 17世紀から18世紀に関数の概念が発展するにつれて、実数値の角度測定の関数と見なされるようになり、関数表記法で記述されるようになりました。たとえば、sin( x )。括弧は、煩雑さを軽減するために今でも省略されることがよくありますが、必要な場合もあります。たとえば、式は通常、次のように解釈されるため、括弧を使用して表現する必要があります。${\displaystyle \sin x+y}$${\displaystyle \sin(x)+y,}$${\displaystyle \sin(x+y).}$

関数の記号の後に上付き文字として現れる正の整数は、関数の合成ではなく、指数関数を表します。たとえば、と は、ではないことを表します。これは、（歴史的に後になって登場した）一般的な関数表記法とは異なります。${\displaystyle \sin ^{2}x}$${\displaystyle \sin ^{2}(x)}$${\displaystyle \sin(x)\cdot \sin(x),}$${\displaystyle \sin(\sin x).}$${\displaystyle f^{2}(x)=(f\circ f)(x)=f(f(x)).}$

ただし、指数は逆関数 を表すのによく使用され、逆数 を表すのには使用されません。たとえば、 と は逆​​三角関数 を表すか、または と書きます。この式は、 ではないことを意味します。この場合、上付き文字は合成関数または反復関数を表すものと考えられますが、 以外の負の上付き文字は一般的に使用されません。 ${\displaystyle {-1}}$${\displaystyle \sin ^{-1}x}$${\displaystyle \sin ^{-1}(x)}$${\displaystyle \arcsin x\colon }$${\displaystyle \theta =\sin ^{-1}x}$${\displaystyle \sin \theta =x,}$${\displaystyle \theta \cdot \sin x=1.}$${\displaystyle {-1}}$

鋭角θが与えられれば、角度θを持つ直角三角形は互いに相似である。つまり、任意の 2 辺の長さの比はθのみに依存する。したがって、これらの 6 つの比は、三角関数であるθの 6 つの関数を定義する。以下の定義では、斜辺は直角の反対側の辺の長さ、反対側は与えられた角度θ の反対側の辺、隣接は角度θと直角の間の辺を表す。 ^{[2] [3]}

これらの定義を覚えるために、さまざまな記憶術を使用できます。

直角三角形では、2つの鋭角の合計は直角、つまり90°または⁠π/2⁠ ラジアン。したがって、とは同じ比を表し、等しいです。この同一性と他の三角関数間の類似関係を次の表にまとめます。 ${\displaystyle \sin(\theta )}$${\displaystyle \cos(90^{\circ }-\theta )}$

幾何学の応用では、三角関数の引数は一般に角度の尺度です。この目的には、任意の角度単位が便利です。一般的な単位の 1 つは度で、直角は 90°、完全な回転は 360° です (特に初等数学では)。

しかし、微積分学や数学的解析学では、三角関数は一般に、角度ではなく実数または複素数の関数として抽象的にみなされています。実際、関数sinとcos は、すべての複素数に対して、指数関数、べき級数^[5]を介して定義することも、特定の初期値を与えられた微分方程式の解として定義することもできます(下記参照)。他の 4 つの三角関数 ( tan、cot、sec、csc ) は、分母にゼロがある場合を除いて、 sinとcosの商と逆数として定義できます。実引数については、引数をラジアン単位の角度と見なすと、これらの定義が初等幾何学の定義と一致することが証明できます。^{[5]さらに、これらの定義により、三角関数の}導関数と不定積分の簡単な表現が得られます。^[7]したがって、初等幾何学を超えた設定では、ラジアンは角度の尺度を記述するための数学的に自然な単位と見なされます。

ラジアン(rad) が使用される場合、角度はそれによって囲まれる単位円の弧の長さとして表されます。つまり、単位円上の長さ 1 の弧が囲む角度は 1 rad (≈ 57.3°) であり、完全な回転(360°) は 2 π (≈ 6.28) radの角度です。実数xの場合、 sin x、cos xなどの表記は、角度x radで評価された三角関数の値を指します。度単位を使用する場合は、度符号を明示的に示さなければなりません ( sin x°、cos x°など)。この標準表記を使用すると、三角関数の引数xは、 x = (180 x / π )°の関係を満たし、たとえば、x = πとするとsin π = sin 180°となります。このように、度記号は 1° = π /180 ≈ 0.0175のような数学定数と見なすことができます。

6 つの三角関数は、単位円に関連するユークリッド平面上の点の座標値として定義できます。単位円とは、この座標系の原点Oを中心とする半径 1 の円です。直角三角形の定義では、0からラジアン(90°) までの角度の三角関数を定義できますが、単位円の定義では、三角関数の定義域をすべての正と負の実数に拡張できます。 ${\textstyle {\frac {\pi }{2}}}$

x軸の正の半分を角度θ回転して得られる光線を とします(では反時計回り、 では時計回り)。この光線は、点で単位円と交差します。必要に応じて直線に延長された光線は、点で方程式の直線と交差し、点で方程式の直線と交差します。点Aでの単位円の接線は、点 A および点X軸に垂直であり、点でy軸および軸と交差します。これらの点の座標は、次のように、任意の実数値θに対してすべての三角関数の値を与えます。 ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle \theta >0,}$${\displaystyle \theta <0}$${\displaystyle \mathrm {A} =(x_{\mathrm {A} },y_{\mathrm {A} }).}$${\displaystyle {\mathcal {L}},}$${\displaystyle x=1}$${\displaystyle \mathrm {B} =(1,y_{\mathrm {B} }),}$${\displaystyle y=1}$${\displaystyle \mathrm {C} =(x_{\mathrm {C} },1).}$${\displaystyle {\mathcal {L}},}$${\displaystyle \mathrm {D} =(0,y_{\mathrm {D} })}$${\displaystyle \mathrm {E} =(x_{\mathrm {E} },0).}$

三角関数cosとsinは、それぞれ点Aのx座標値とy座標値として定義されます。つまり、

${\displaystyle \cos \theta =x_{\mathrm {A} }\quad }$そして^[9]${\displaystyle \quad \sin \theta =y_{\mathrm {A} }.}$

範囲 では、この定義は、直角三角形の斜辺として単位半径OA を持つとすることで、直角三角形の定義と一致します。また、この式は単位円上のすべての点に当てはまるため、このコサインとサインの定義はピタゴラスの定理も満たします。 ${\displaystyle 0\leq \theta \leq \pi /2}$${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$${\displaystyle \mathrm {P} =(x,y)}$

${\displaystyle \cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta =1.}$

他の三角関数は単位円に沿って次のように表される。

${\displaystyle \tan \theta =y_{\mathrm {B} }\quad }$そして${\displaystyle \quad \cot \theta =x_{\mathrm {C} },}$

${\displaystyle \csc \theta \ =y_{\mathrm {D} }\quad }$そして${\displaystyle \quad \sec \theta =x_{\mathrm {E} }.}$

ピタゴラスの等式と幾何学的証明法を適用することで、これらの定義は正弦と余弦の正接、余接、割線、余割線の定義と一致することが容易に示されます。

${\displaystyle \tan \theta ={\frac {\sin \theta }{\cos \theta }},\quad \cot \theta ={\frac {\cos \theta }{\sin \theta }},\quad \sec \theta ={\frac {1}{\cos \theta }},\quad \csc \theta ={\frac {1}{\sin \theta }}.}$

の角度を回転させても図形の位置や大きさは変わらないので、2つの角度の差が の整数倍である場合、点A、B、C、D、Eは同じになります。したがって、三角関数は周期 の周期関数です。つまり、 ${\displaystyle \pm 2\pi }$${\displaystyle 2\pi }$${\displaystyle 2\pi }$

${\displaystyle \sin \theta =\sin \left(\theta +2k\pi \right)\quad }$そして${\displaystyle \quad \cos \theta =\cos \left(\theta +2k\pi \right)}$

は任意の角度θと任意の整数 kに対して成り立ちます。他の 4 つの三角関数についても同じことが言えます。4 つの象限における関数 sin、cos、cosecant、secant の符号と単調性を観察すると、 がこれらの関数が周期的となる最小の値であることがわかります (つまり、はこれらの関数の基本周期です)。ただし、角度 だけ回転すると、点BとC はすでに元の位置に戻るため、正接関数と余接関数の基本周期は になります。つまり、 ${\displaystyle 2\pi }$${\displaystyle 2\pi }$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle \tan \theta =\tan(\theta +k\pi )\quad }$そして${\displaystyle \quad \cot \theta =\cot(\theta +k\pi )}$

任意の角度θと任意の整数kに対して成り立ちます。

最も重要な角度の代数式は次のとおり です。

${\displaystyle \sin 0=\sin 0^{\circ }\quad ={\frac {\sqrt {0}}{2}}=0}$(ゼロ角度)

${\displaystyle \sin {\frac {\pi }{6}}=\sin 30^{\circ }={\frac {\sqrt {1}}{2}}={\frac {1}{2}}}$

${\displaystyle \sin {\frac {\pi }{4}}=\sin 45^{\circ }={\frac {\sqrt {2}}{2}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}}$

${\displaystyle \sin {\frac {\pi }{3}}=\sin 60^{\circ }={\frac {\sqrt {3}}{2}}}$

${\displaystyle \sin {\frac {\pi }{2}}=\sin 90^{\circ }={\frac {\sqrt {4}}{2}}=1}$（直角）

分子を分母が2である連続する非負整数の平方根として表すと、値を覚えやすくなります。 ^[10]

このような単純な表現は、直角の有理倍数である他の角度には一般に存在しません。

• 度で測った角度が 3 の倍数である場合、正弦と余弦の正確な三角関数の値は平方根で表すことができます。したがって、正弦と余弦のこれらの値は定規とコンパスで作図できます。
• 角度が整数度の場合、正弦と余弦は、実数でない複素数の平方根と3 乗根で表すことができます。ガロア理論により、角度が 3° の倍数でない場合は、実数でない 3 乗根が避けられないことが証明されます。
• 度で表された角度は有理数ですが、正弦と余弦は代数数であり、 n乗根で表すことができます。これは、円分多項式のガロア群が巡回的であるという事実から生じます。
• 度数で表された角度が有理数でない場合は、角度または正弦と余弦の両方が超越数になります。これは、1966 年に証明されたベイカーの定理の系です。

次の表は、0 度から 90 度までの 15 度の倍数の正弦、余弦、正接を示します。

GHハーディは1908年の著書『純粋数学講座』の中で、単位円による三角関数の定義は、実数で測定できる角度の概念に暗黙的に依存しているため不十分であると指摘した。^[11] そのため、現代の解析学では、三角関数は通常、幾何学を参照せずに構築されます。

文献には、分析に適した方法で三角関数を定義するさまざまな方法があります。たとえば、

• 単位円の「幾何学」を使用すると、円の弧の長さ（または扇形の面積）を解析的に定式化する必要があります。^[11]
• 複素変数に特に適したべき級数によって表される。^{[11] [12]}
• 無限積展開を用いる。^[11]
• 逆三角関数を反転させることにより、代数関数または有理関数の積分として定義することができます。^[11]
• 微分方程式の解として。^[13]

正弦と余弦は初期値問題の唯一の解として定義できる：^[14]

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sin x=\cos x,\ {\frac {d}{dx}}\cos x=-\sin x,\ \sin(0)=0,\ \cos(0)=1.}$

もう一度微分すると、正弦と余弦は両方とも同じ常微分方程式の解である。${\textstyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\sin x={\frac {d}{dx}}\cos x=-\sin x}$${\textstyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\cos x=-{\frac {d}{dx}}\sin x=-\cos x}$

${\displaystyle y''+y=0\,.}$

正弦はy (0) = 0かつy ′(0) = 1となる唯一の解であり、余弦はy (0) = 1かつy ′(0) = 0 となる唯一の解である。

すると、定理として、解は周期的であり、同じ周期を持つことを証明できます。この周期を と書くと、幾何学に依存しない 実数の定義になります。${\displaystyle \cos ,\sin }$${\displaystyle 2\pi }$${\displaystyle \pi }$

商の法則を正接に適用すると、 ${\displaystyle \tan x=\sin x/\cos x}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\tan x={\frac {\cos ^{2}x+\sin ^{2}x}{\cos ^{2}x}}=1+\tan ^{2}x\,,}$

したがって、正接関数は常微分方程式を満たす。

${\displaystyle y'=1+y^{2}\,.}$

これはy (0) = 0となる唯一の解です。

基本的な三角関数は、次のべき級数展開によって定義できます^[15] 。これらの級数は、三角関数の テイラー級数またはマクローリン級数としても知られています。

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin x&=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots \\[6mu]&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}\\[8pt]\cos x&=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots \\[6mu]&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}.\end{aligned}}}$

これらの級数の収束半径は無限大です。したがって、正弦と余弦は、 （定義により）複素平面全体で定義され正則な複素数値関数である、完全な関数（「正弦」および「余弦」とも呼ばれる）に拡張できます。

項ごとに微分すると、級数によって定義される正弦と余弦は前述の微分方程式に従うことが示され、逆に、微分方程式から導かれる基本的な再帰関係からこれらの級数を取得できます。

他の三角関数は整関数の分数として定義されるため、有理型関数に拡張できます。有理型関数とは、極と呼ばれる孤立した点を除いて、複素平面全体で正則な関数です。ここで、極は、接線と正割、または余接と余割の形式の数であり、 kは任意の整数です。 ${\textstyle (2k+1){\frac {\pi }{2}}}$${\displaystyle k\pi }$

他の三角関数のテイラー級数の係数についても再帰関係を計算することができる。これらの級数は有限の収束半径を持つ。その係数は組み合わせ論的な解釈が可能で、有限集合の交互順列を列挙する。^[16]

より正確には、定義

U _n、n番目のアップ/ダウン番号、

B _n、n番目のベルヌーイ数、および

E _{n は}n番目のオイラー数であり、

次のような級数展開がある: ^[17]

${\displaystyle {\begin{aligned}\tan x&{}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {U_{2n+1}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}\\[8mu]&{}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}2^{2n}\left(2^{2n}-1\right)B_{2n}}{(2n)!}}x^{2n-1}\\[5mu]&{}=x+{\frac {1}{3}}x^{3}+{\frac {2}{15}}x^{5}+{\frac {17}{315}}x^{7}+\cdots ,\qquad {\text{for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}.\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\csc x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}2\left(2^{2n-1}-1\right)B_{2n}}{(2n)!}}x^{2n-1}\\[5mu]&=x^{-1}+{\frac {1}{6}}x+{\frac {7}{360}}x^{3}+{\frac {31}{15120}}x^{5}+\cdots ,\qquad {\text{for }}0<|x|<\pi .\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sec x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {U_{2n}}{(2n)!}}x^{2n}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}E_{2n}}{(2n)!}}x^{2n}\\[5mu]&=1+{\frac {1}{2}}x^{2}+{\frac {5}{24}}x^{4}+{\frac {61}{720}}x^{6}+\cdots ,\qquad {\text{for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}.\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\cot x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}2^{2n}B_{2n}}{(2n)!}}x^{2n-1}\\[5mu]&=x^{-1}-{\frac {1}{3}}x-{\frac {1}{45}}x^{3}-{\frac {2}{945}}x^{5}-\cdots ,\qquad {\text{for }}0<|x|<\pi .\end{aligned}}}$

次の連分数は複素平面全体で有効です。

${\displaystyle \sin x={\cfrac {x}{1+{\cfrac {x^{2}}{2\cdot 3-x^{2}+{\cfrac {2\cdot 3x^{2}}{4\cdot 5-x^{2}+{\cfrac {4\cdot 5x^{2}}{6\cdot 7-x^{2}+\ddots }}}}}}}}}$

${\displaystyle \cos x={\cfrac {1}{1+{\cfrac {x^{2}}{1\cdot 2-x^{2}+{\cfrac {1\cdot 2x^{2}}{3\cdot 4-x^{2}+{\cfrac {3\cdot 4x^{2}}{5\cdot 6-x^{2}+\ddots }}}}}}}}}$

${\displaystyle \tan x={\cfrac {x}{1-{\cfrac {x^{2}}{3-{\cfrac {x^{2}}{5-{\cfrac {x^{2}}{7-\ddots }}}}}}}}={\cfrac {1}{{\cfrac {1}{x}}-{\cfrac {1}{{\cfrac {3}{x}}-{\cfrac {1}{{\cfrac {5}{x}}-{\cfrac {1}{{\cfrac {7}{x}}-\ddots }}}}}}}}}$

最後のものは、πが無理数であることの歴史上最初の証明に使われました。^[18]

部分分数展開として、単に平行移動した逆関数を足し合わせると、コタンジェント関数と逆関数の極が一致する級数表現がある。 ^[19]

${\displaystyle \pi \cot \pi x=\lim _{N\to \infty }\sum _{n=-N}^{N}{\frac {1}{x+n}}.}$

この恒等式はヘルグロッツトリックで証明できる。^[20] (-n )次項とn次項を 組み合わせると絶対収束する級数が得られる。

${\displaystyle \pi \cot \pi x={\frac {1}{x}}+2x\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{x^{2}-n^{2}}}.}$

同様に、割線関数、余割関数、正接関数の部分分数展開を求めることができます。

${\displaystyle \pi \csc \pi x=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{x+n}}={\frac {1}{x}}+2x\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{x^{2}-n^{2}}},}$

${\displaystyle \pi ^{2}\csc ^{2}\pi x=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {1}{(x+n)^{2}}},}$

${\displaystyle \pi \sec \pi x=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {(2n+1)}{(n+{\tfrac {1}{2}})^{2}-x^{2}}},}$

${\displaystyle \pi \tan \pi x=2x\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(n+{\tfrac {1}{2}})^{2}-x^{2}}}.}$

次の正弦の無限積はレオンハルト・オイラーによるもので、複素解析において非常に重要である: ^[21]

${\displaystyle \sin z=z\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{n^{2}\pi ^{2}}}\right),\quad z\in \mathbb {C} .}$

これは、上記の の部分分数分解から得られ、これは の対数微分である。^[22]このことから、次のことも推測できる。 ${\displaystyle \cot z}$${\displaystyle \sin z}$

${\displaystyle \cos z=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{(n-1/2)^{2}\pi ^{2}}}\right),\quad z\in \mathbb {C} .}$

オイラーの公式は、正弦と余弦を指数関数に関連付けます。

${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x.}$

この式は一般にxの実数値について考えられますが、すべての複素数値に対しても当てはまります。

証明: とすると、j = 1, 2に対してが成り立ちます。商の法則から が成り立ちます。したがって、は定数関数であり、 に等しくなります。${\displaystyle f_{1}(x)=\cos x+i\sin x,}$${\displaystyle f_{2}(x)=e^{ix}.}$${\displaystyle df_{j}(x)/dx=if_{j}(x)}$${\displaystyle d/dx\,(f_{1}(x)/f_{2}(x))=0}$${\displaystyle f_{1}(x)/f_{2}(x)}$1、これは式を証明します。 ${\displaystyle f_{1}(0)=f_{2}(0)=1.}$

一つは

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{ix}&=\cos x+i\sin x\\[5pt]e^{-ix}&=\cos x-i\sin x.\end{aligned}}}$

この線形システムを正弦と余弦で解くと、指数関数で表現できます。

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin x&={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}\\[5pt]\cos x&={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}.\end{aligned}}}$

xが実数の場合、これは次のように書き直すことができる。

${\displaystyle \cos x=\operatorname {Re} \left(e^{ix}\right),\qquad \sin x=\operatorname {Im} \left(e^{ix}\right).}$

ほとんどの三角関数の恒等式は、上記の公式を使用して三角関数を複素指数関数で表し、恒等式を使用して結果を簡略化することで証明できます。 ${\displaystyle e^{a+b}=e^{a}e^{b}}$

オイラーの公式は、位相群の言語を使用して、次のように基本的な三角関数を直接定義するためにも使用できます。^[23]単位モジュラスの複素数の集合は、実数直線に同相な単位元の近傍を持つコンパクトで連結な位相群です。したがって、これは、同型性を介して、 位相群として1次元トーラス群に同型であり、この同型は複素共役を取るまで一意です。 ${\displaystyle U}$${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} }$$${\displaystyle e:\mathbb {R} /\mathbb {Z} \to U.}$$${\displaystyle e(t)=\exp(2\pi it)}$

非ゼロの実数（底）に対して、関数 は群 の同型性を定義します。 の実数部と虚数部はコサインとサインで、 は角度を測定するための底として使用されます。たとえば、 のとき、ラジアンで測定され、通常の三角関数が得られます。 のとき、度で測定された角度のサインとコサインが得られます。 ${\displaystyle a}$${\displaystyle t\mapsto e(t/a)}$${\displaystyle \mathbb {R} /a\mathbb {Z} \to U}$${\displaystyle e(t/a)}$${\displaystyle a}$${\displaystyle a=2\pi }$${\displaystyle a=360}$

は、導関数が で正の虚数部を持つ単位ベクトルに なる唯一の値である ことに注意してください。この事実は、定数 を定義するために使用できます。 ${\displaystyle a=2\pi }$$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}e(t/a)}$$${\displaystyle t=0}$${\displaystyle 2\pi }$

解析学において三角関数を定義するもう一つの方法は積分を使うことです。^{[11] [24]}実数 に対して、 を置きます。これはこの逆正接関数を定義します。また、はカール・ワイエルシュトラス に遡る定義によって定義されます 。^[25]${\displaystyle t}$$${\displaystyle \theta (t)=\int _{0}^{t}{\frac {d\tau }{1+\tau ^{2}}}=\arctan t}$$${\displaystyle \pi }$$${\displaystyle {\frac {1}{2}}\pi =\int _{0}^{\infty }{\frac {d\tau }{1+\tau ^{2}}}}$$

区間 では、三角関数は関係 を反転することによって定義されます。したがって、三角関数を によって定義します。ここで、 点はのグラフ上にあり、正の平方根が取られます。 ${\displaystyle -\pi /2<\theta <\pi /2}$${\displaystyle \theta =\arctan t}$$${\displaystyle \tan \theta =t,\quad \cos \theta =(1+t^{2})^{-1/2},\quad \sin \theta =t(1+t^{2})^{-1/2}}$$${\displaystyle (t,\theta )}$${\displaystyle \theta =\arctan t}$

これは、 上の三角関数を定義します。 、 、なので およびであることを最初に観察することにより、定義をすべての実数に拡張できます。 したがって、 および は連続的に拡張され、となります。 ここで、条件および は、すべての実数に対して、周期 を持つ周期関数として正弦と余弦を定義します。 ${\displaystyle (-\pi /2,\pi /2)}$${\displaystyle \theta \to \pi /2}$${\displaystyle t\to \infty }$${\displaystyle \cos \theta =(1+t^{2})^{-1/2}\to 0}$${\displaystyle \sin \theta =t(1+t^{2})^{-1/2}\to 1}$${\displaystyle \cos \theta }$${\displaystyle \sin \theta }$${\displaystyle \cos(\pi /2)=0,\sin(\pi /2)=1}$${\displaystyle \cos(\theta +\pi )=-\cos(\theta )}$${\displaystyle \sin(\theta +\pi )=-\sin(\theta )}$${\displaystyle 2\pi }$

正弦と余弦が解析的であるという事実を含め、正弦と余弦の基本的な性質を証明するには、まず加法の公式を確立する必要があります。まず、 を代入した後、となるため、 を前提 として 、 が成り立ちます。特に、 としての極限ケースではが得られます 。 したがって、 となり 、 となります。 したがって、正弦関数と余弦関数は、4 分の 1 周期 にわたる平行移動によって関連付けられます。 $${\displaystyle \arctan s+\arctan t=\arctan {\frac {s+t}{1-st}}}$$${\displaystyle \arctan s+\arctan t\in (-\pi /2,\pi /2)}$$${\displaystyle \arctan s+\arctan t=\int _{-s}^{t}{\frac {d\tau }{1+\tau ^{2}}}=\int _{0}^{\frac {s+t}{1-st}}{\frac {d\tau }{1+\tau ^{2}}}}$$${\displaystyle \tau \to {\frac {s+\tau }{1-s\tau }}}$${\displaystyle s\to \infty }$$${\displaystyle \arctan t+{\frac {\pi }{2}}=\arctan(-1/t),\quad t\in (-\infty ,0).}$$$${\displaystyle \sin \left(\theta +{\frac {\pi }{2}}\right)={\frac {-1}{t{\sqrt {1+(-1/t)^{2}}}}}={\frac {-1}{\sqrt {1+t^{2}}}}=-\cos(\theta )}$$$${\displaystyle \cos \left(\theta +{\frac {\pi }{2}}\right)={\frac {1}{\sqrt {1+(-1/t)^{2}}}}={\frac {t}{\sqrt {1+t^{2}}}}=\sin(\theta ).}$$${\displaystyle \pi /2}$

さまざまな関数方程式を使用して三角関数を定義することもできます。

例えば^[26]正弦と余弦は、差分公式を満たす 唯一の連続関数のペアを形成する。

${\displaystyle \cos(x-y)=\cos x\cos y+\sin x\sin y\,}$

そして追加された条件

${\displaystyle 0<x\cos x<\sin x<x\quad {\text{ for }}\quad 0<x<1.}$

複素数 の正弦と余弦は、次のように実正弦、余弦、双曲線関数で表すことができます。 ${\displaystyle z=x+iy}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin z&=\sin x\cosh y+i\cos x\sinh y\\[5pt]\cos z&=\cos x\cosh y-i\sin x\sinh y\end{aligned}}}$

定義域の色分けを利用すると、三角関数を複素数値関数としてグラフ化できます。グラフからは、複素関数に特有のさまざまな特徴がわかります。たとえば、正弦関数と余弦関数は、 の虚数部が大きくなるにつれて無限大になることがわかります (白色は無限大を表すため)。また、関数に単純な零点または極が含まれることは、色が各零点または極の周りを 1 回だけ循環していることから明らかです。これらのグラフを対応する双曲関数のグラフと比較すると、2 つの関係が強調されます。 ${\displaystyle z}$

コサイン関数とサイン関数は周期で、周期 は最小の正の周期です。 したがって、正割関数と余割関数の周期も です。サイン関数とコサイン関数にも半周期 があり、 したがって、 などの他の恒等式と同様に、 も成り立ちます。 また、 も成り立ちます 。 関数は、ストリップ 内に一意の零点 ( ) を持ちます。 関数は同じ定義域に 零点のペアを持ちます。 周期性のため、サイン関数の零点は です。 コサイン関数の零点は です。 零点はすべて単純な零点であり、各関数は零点のそれぞれで導関数を持ちます。 ${\displaystyle 2\pi }$$${\displaystyle \cos(z+2\pi )=\cos(z),\quad \sin(z+2\pi )=\sin(z).}$$${\displaystyle 2\pi }$${\displaystyle \pi }$$${\displaystyle \cos(z+\pi )=-\cos(z),\quad \sin(z+\pi )=-\sin(z).}$$$${\displaystyle \tan(z+\pi )=\tan(z),\quad \cot(z+\pi )=\cot(z)}$$$${\displaystyle \cos ^{2}(z+\pi )=\cos ^{2}(z),\quad \sin ^{2}(z+\pi )=\sin(z),\quad \cos(z+\pi )\sin(z+\pi )=\cos(z)\sin(z).}$$$${\displaystyle \cos(x+\pi /2)=-\sin(x),\quad \sin(x+\pi /2)=\cos(x).}$$${\displaystyle \sin(z)}$${\displaystyle z=0}$${\displaystyle -\pi <\Re (z)<\pi }$${\displaystyle \cos(z)}$${\displaystyle z=\pm \pi /2}$$${\displaystyle \pi \mathbb {Z} =\left\{\dots ,-2\pi ,-\pi ,0,\pi ,2\pi ,\dots \right\}\subset \mathbb {C} .}$$$${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}+\pi \mathbb {Z} =\left\{\dots ,-{\frac {3\pi }{2}},-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}},{\frac {3\pi }{2}},\dots \right\}\subset \mathbb {C} .}$$${\displaystyle \pm 1}$

正接関数はで単純な零点を持ち、 で垂直漸近線を持ち、そこでは留数 の単純な極を持つ。ここでも周期性により、零点はすべて の整数倍であり、極は の奇数倍であり、すべて同じ留数を持つ。極は垂直漸近線に対応する。 ${\displaystyle \tan(z)=\sin(z)/\cos(z)}$${\displaystyle z=0}$${\displaystyle z=\pm \pi /2}$${\displaystyle -1}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle \pi /2}$$${\displaystyle \lim _{x\to \pi ^{-}}\tan(x)=+\infty ,\quad \lim _{x\to \pi ^{+}}\tan(x)=-\infty .}$$

余接関数は、の整数倍で留数1の単純な極を持ち、の奇数倍で単純なゼロを持つ。極は垂直漸近線に対応する。 ${\displaystyle \cot(z)=\cos(z)/\sin(z)}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle \pi /2}$$${\displaystyle \lim _{x\to 0^{-}}\cot(x)=-\infty ,\quad \lim _{x\to 0^{+}}\cot(x)=+\infty .}$$

三角関数には多くの恒等式が関連しています。この節には最も基本的な恒等式が記載されています。その他の恒等式については、三角関数の恒等式の一覧を参照してください。これらの恒等式は、単位円の定義または直角三角形の定義から幾何学的に証明できます (ただし、後者の定義では、角度が区間[0, π /2]内にない場合に注意する必要があります。三角関数の恒等式の証明を参照してください)。微積分のツールのみを使用する非幾何学的な証明では、上記のオイラーの恒等式の証明と同様の方法で、微分方程式を直接使用できます。また、オイラーの恒等式を使用して、すべての三角関数を複素指数で表し、指数関数の特性を使用することもできます。

余弦と正弦は偶関数です。他の三角関数は奇関数です。つまり、

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(-x)&=-\sin x\\\cos(-x)&=\cos x\\\tan(-x)&=-\tan x\\\cot(-x)&=-\cot x\\\csc(-x)&=-\csc x\\\sec(-x)&=\sec x.\end{aligned}}}$

すべての三角関数は周期2πの周期関数である。これは最小周期である正接と余接を除いて最小周期である。これは、任意の整数kに対して、

${\displaystyle {\begin{array}{lrl}\sin(x+&2k\pi )&=\sin x\\\cos(x+&2k\pi )&=\cos x\\\tan(x+&k\pi )&=\tan x\\\cot(x+&k\pi )&=\cot x\\\csc(x+&2k\pi )&=\csc x\\\sec(x+&2k\pi )&=\sec x.\end{array}}}$

ピタゴラスの定理は、ピタゴラスの定理を三角関数で表現したものである。

${\displaystyle \sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1}$。

またはで割ると ${\displaystyle \cos ^{2}x}$${\displaystyle \sin ^{2}x}$

${\displaystyle \tan ^{2}x+1=\sec ^{2}x}$

そして

${\displaystyle 1+\cot ^{2}x=\csc ^{2}x}$。

和と差の公式により、2 つの角度の和または差の正弦、余弦、正接を、角度自体の正弦、余弦、正接で展開できます。これらは、プトレマイオスにまで遡る議論を使用して、幾何学的に導くことができます。また、オイラーの公式を使用して代数的に生成することもできます。

和

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin \left(x+y\right)&=\sin x\cos y+\cos x\sin y,\\[5mu]\cos \left(x+y\right)&=\cos x\cos y-\sin x\sin y,\\[5mu]\tan(x+y)&={\frac {\tan x+\tan y}{1-\tan x\tan y}}.\end{aligned}}}$

違い

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin \left(x-y\right)&=\sin x\cos y-\cos x\sin y,\\[5mu]\cos \left(x-y\right)&=\cos x\cos y+\sin x\sin y,\\[5mu]\tan(x-y)&={\frac {\tan x-\tan y}{1+\tan x\tan y}}.\end{aligned}}}$

2 つの角度が等しい場合、和の公式は、倍角の公式と呼ばれるより単純な方程式になります。

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin 2x&=2\sin x\cos x={\frac {2\tan x}{1+\tan ^{2}x}},\\[5mu]\cos 2x&=\cos ^{2}x-\sin ^{2}x=2\cos ^{2}x-1=1-2\sin ^{2}x={\frac {1-\tan ^{2}x}{1+\tan ^{2}x}},\\[5mu]\tan 2x&={\frac {2\tan x}{1-\tan ^{2}x}}.\end{aligned}}}$

これらの恒等式を使用して、積和恒等式を導出できます。

を設定すると、のすべての三角関数はの有理分数として表すことができます。 ${\displaystyle t=\tan {\tfrac {1}{2}}\theta ,}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle t}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin \theta &={\frac {2t}{1+t^{2}}},\\[5mu]\cos \theta &={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},\\[5mu]\tan \theta &={\frac {2t}{1-t^{2}}}.\end{aligned}}}$

と共に

${\displaystyle d\theta ={\frac {2}{1+t^{2}}}\,dt,}$

これは正接半角置換であり、三角関数の積分と不定積分の計算を有理分数の計算にまで簡略化します。

三角関数の導関数は、正弦関数と余弦関数の導関数に商の法則を適用することで得られます。次の表の不定積分に与えられた値は、微分することで確認できます。数値 Cは積分定数です。

注:の積分はと書くこともできます。また、 の積分は と書くこともできます。ここでは逆双曲正弦です。 ${\displaystyle 0<x<\pi }$${\displaystyle \csc x}$${\displaystyle -\operatorname {arsinh} (\cot x),}$${\displaystyle \sec x}$${\displaystyle -\pi /2<x<\pi /2}$${\displaystyle \operatorname {arsinh} (\tan x),}$${\displaystyle \operatorname {arsinh} }$

あるいは、三角関数の恒等式と連鎖律を使用して、「共関数」の導関数を取得することもできます。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\cos x}{dx}}&={\frac {d}{dx}}\sin(\pi /2-x)=-\cos(\pi /2-x)=-\sin x\,,\\{\frac {d\csc x}{dx}}&={\frac {d}{dx}}\sec(\pi /2-x)=-\sec(\pi /2-x)\tan(\pi /2-x)=-\csc x\cot x\,,\\{\frac {d\cot x}{dx}}&={\frac {d}{dx}}\tan(\pi /2-x)=-\sec ^{2}(\pi /2-x)=-\csc ^{2}x\,.\end{aligned}}}$

三角関数は周期的であり、したがって単射ではないため、厳密に言えば、逆関数はありません。ただし、三角関数が単調である各区間では、逆関数を定義することができ、これにより逆三角関数が多値関数として定義されます。真の逆関数を定義するには、関数が単調である区間に定義域を制限し、この区間から関数によるその像に全単射である必要があります。この区間の一般的な選択は主値の集合と呼ばれ、次の表に示されています。通常どおり、逆三角関数は、関数の名前またはその省略形の前に接頭辞「arc」を付けて示されます。

sin ⁻¹、cos ⁻¹などの表記は、arcsinやarccosなどによく使用されます。この表記を使用すると、逆関数が乗法逆関数と混同される可能性があります。「arc」接頭辞付きの表記はこのような混乱を回避しますが、arcsecant の「arcsec」は「arcsecond」と混同される可能性があります。

正弦関数や余弦関数と同様に、逆三角関数も無限級数で表現できます。また、複素対数で表現することもできます。

このセクションでは、 A、B、C は三角形の 3 つの（内角）を表し、a、b、c はそれぞれの対辺の長さを表します。 これらは、関係する三角関数によって名付けられたさまざまな公式によって関連しています。

正弦定理によれば、辺a、b、c を持ち、 それらの辺A、B、Cと向かい合う角度がそれぞれΔ 、 Δ 、 Δ および C である任意の三角形に対して、次の式が成り立ちます。ここで Δ は 三角形の面積、または同等に、 R は三角形の円周半径です。 $${\displaystyle {\frac {\sin A}{a}}={\frac {\sin B}{b}}={\frac {\sin C}{c}}={\frac {2\Delta }{abc}},}$$$${\displaystyle {\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}=2R,}$$

これは、三角形を 2 つの直角三角形に分割し、上記の正弦の定義を使用することで証明できます。正弦の法則は、2 つの角度と 1 つの辺がわかっている場合に、三角形の未知の辺の長さを計算するのに役立ちます。これは、 2 つの角度とアクセス可能な閉じた距離を測定することで未知の距離を決定する手法である三角測量でよく発生する状況です。

余弦定理（余弦公式または余弦定理とも呼ばれる）は、ピタゴラスの定理の拡張である。 または、 $${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C,}$$$${\displaystyle \cos C={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}.}$$

この式では、 Cの角度は辺 cと反対です。この定理は、三角形を 2 つの直角三角形に分割し、ピタゴラスの定理を使用することで証明できます。

余弦定理は、2 辺とそれらの間の角度がわかっている場合、三角形の 1 辺を決定するために使用できます。また、すべての辺の長さがわかっている場合は、角度の余弦 (つまり角度自体) を見つけるためにも使用できます。

接線の法則は、次のことを述べています。

${\displaystyle {\frac {\tan {\frac {A-B}{2}}}{\tan {\frac {A+B}{2}}}}={\frac {a-b}{a+b}}}$。

s が三角形の半周 ( a + b + c )/2 で、r が三角形の内接円の半径である場合、rs は三角形の面積です。したがって、ヘロンの公式は次のようになります。

${\displaystyle r={\sqrt {{\frac {1}{s}}(s-a)(s-b)(s-c)}}}$。

余接法則によれば、次のようになる。^[27]

${\displaystyle \cot {\frac {A}{2}}={\frac {s-a}{r}}}$

すると、

${\displaystyle {\frac {\cot {\dfrac {A}{2}}}{s-a}}={\frac {\cot {\dfrac {B}{2}}}{s-b}}={\frac {\cot {\dfrac {C}{2}}}{s-c}}={\frac {1}{r}}.}$

三角関数は物理学でも重要です。たとえば、正弦関数と余弦関数は単振動を記述するために使用されます。単振動は、バネに取り付けられた質量の動きや、小さな角度での紐で吊るされた質量の振り子運動など、多くの自然現象をモデル化します。正弦関数と余弦関数は、等速円運動の 1 次元投影です。

三角関数は一般的な周期関数の研究にも有用であることが証明されている。周期関数の特徴的な波形は、音波や光波などの繰り返し現象をモデル化するのに有用である。 [ ^28]

かなり一般的な条件下では、周期関数f  ( x )はフーリエ級数における正弦波または余弦波の和として表すことができます。^[29]正弦または余弦の基底関数をφ _kで表すと、周期関数f  ( t )の展開は次の形になります。 $${\displaystyle f(t)=\sum _{k=1}^{\infty }c_{k}\varphi _{k}(t).}$$

例えば、矩形波はフーリエ級数として表される。 $${\displaystyle f_{\text{square}}(t)={\frac {4}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{\sin {\big (}(2k-1)t{\big )} \over 2k-1}.}$$

右上の方形波のアニメーションでは、いくつかの項だけですでにかなり良い近似値が生成されていることがわかります。鋸歯状波の展開におけるいくつかの項の重ね合わせが下に表示されます。

三角法の研究は古代にまで遡りますが、現在使用されている三角関数は中世に開発されました。弦関数はニカイアのヒッパルコス（紀元前180年 - 125年）とローマ帝国エジプトのプトレマイオス（紀元90年 - 165年）によって発見されました。正弦関数と余弦関数（1 - 余弦）は、サンスクリット語からアラビア語、そしてアラビア語からラテン語への翻訳を経て、グプタ朝時代のインド天文学（アーリヤバーティヤ、スーリヤ・シッダーンタ）で使用されていたジャー関数とコティジャー関数にまで遡ることができます。^[30]（アーリヤバータの正弦表を参照。）

現在使われている6つの三角関数はすべて、9世紀までにイスラム数学で知られており、三角形を解くのに使われる正弦法則も同様でした。^[31]正弦（インドの数学から取り入れられた）を除いて、他の5つの現代の三角関数は、コサイン、タンジェント、コタンジェント、セカント、コセカントを含めてペルシャ人とアラブ人の数学者によって発見されました。^[31]アル・フワーリズミー（780年頃–850年）は、サイン、コサイン、タンジェントの表を作成した。830年頃、ハバス・アル・ハシブ・アル・マルワズィーはコタンジェントを発見し、タンジェントとコタンジェントの表を作成した。^{[32] [33]}ムハンマド・イブン・ジャービル・アル・ハラニー・アル・バッターニー(853 年 - 929 年) は、セカントとコセカントの逆関数を発見し、1° から 90° までの各度のコセカントの最初の表を作成しました。^[33]三角関数は後に、オマル・ハイヤーム、バースカラ 2 世、ナシール・アル・ディン・アル・トゥシ、ジャムシード・アル・カーシー(14 世紀)、ウルグ・ベク(14 世紀)、レジオモンタヌス(1464 年)、レティカス、レティカスの学生ヴァレンティヌス・オトなどの数学者によって研究されました。 。

サンガマグラマのマドハヴァ（1400年頃）は、三角関数の無限級数による解析において初期の進歩を遂げました。^[34]（マドハヴァ級数とマドハヴァの正弦表を参照）。

正接関数は、 1467年にジョヴァンニ・ビアンキーニが恒星の座標の計算をサポートするために作成した三角法の表によってヨーロッパに持ち込まれました。^[35]

タンジェントとセカントという用語は、デンマークの数学者トーマス・フィンケが著書『幾何学』（1583年）で初めて導入した。^[36]

17世紀フランスの数学者アルベール・ジラールは著書『三角法』の中で、 sin、cos、tanという略語を初めて出版した。^[37]

1682 年に発表された論文で、ゴットフリート・ライプニッツはsin x がxの代数関数ではないことを証明した。^[38]直角三角形の辺の比として導入され、したがって有理関数のように見えるが、ライプニッツの結果は、それらが実際にはその引数の超越関数であることを証明した。円関数を代数式に同化する作業は、オイラーが『無限の解析入門』（1748 年）で達成した。彼の方法は、正弦関数と余弦関数が、指数級数の偶数項と奇数項からそれぞれ形成される交互級数であることを示すことであった。彼は「オイラーの公式」と、ほぼ現代的な略語（sin.、cos.、tang.、cot.、sec.、およびcosec.）を提示した。^[30]

いくつかの関数は歴史的には一般的でしたが、現在ではほとんど使用されていません。たとえば、弦、正弦（最も初期の表に登場^[30]）、カバーサイン、ハーフサイン、^[39] 、エクセカント、エクコセカントなどです。三角関数の恒等式の一覧には、これらの関数間の関係がさらに示されています。

• crd( θ ) = 2 sin( ⁠θ/2⁠ )
• versin( θ ) = 1 − cos( θ ) = 2 sin ² ( ⁠θ/2⁠ )
• カバーシン( θ ) = 1 − sin( θ ) = versin( ⁠π/2⁠ − θ )
• ヘイバーシン( θ ) = ⁠1/2⁠ versin( θ ) = sin ² ( ⁠θ/2⁠ )
• exsec( θ ) = sec( θ ) − 1 である。
• excsc( θ ) = exsec( ⁠π/2⁠ − θ ) = csc( θ ) − 1

歴史的には、三角関数は対数正弦、対数余弦、対数正弦、対数余弦、対数正接、対数正接、対数余弦などの複合関数で対数と組み合わせられることが多かった。 ^{[40] [41] [42] [43]}

正弦という語はラテン語のsinusに由来し^{[44] 、「曲がる、湾」を意味し、より具体的には「}トーガの上部の垂れ下がったひだ」、「衣服の胸元」を意味し、これは 12 世紀にアル・バタニとアル・フワーリズミーの著作を中世ラテン語に翻訳した際に「ポケット」または「ひだ」を意味するアラビア語のjaibの翻訳として選ばれた。^{[45]この選択はアラビア語の表記形式}jyb ( جيب ) の誤読に基づいており、これはサンスクリット語のjīvāの音訳に由来し、同義語のjyā (サンスクリット語で正弦を表す標準的な用語)とともに「弦」と訳され、古代ギリシャ語のχορδή 「弦」 から採用されたものである。^[46]

タンジェントという言葉は、線が単位半径の円に接することから「触れる」を意味するラテン語のtangensに由来し、一方セカントは線が円を切ることからラテン語のsecans「切る」に由来する。 ^[47]

接頭辞「co-」（「コサイン」、「コタンジェント」、「コセカント」）は、エドマンド・グンターの「Canon triangulorum」（1620年）に見られ、その中ではコサインがsinus complementi（補角の正弦）の略語として定義され、同様にコタンジェントも定義されています。^{[48] [49]}

• 「三角関数」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• 波動数学に関する Visionlearning モジュール
• GonioLab 単位円、三角関数、双曲線関数の視覚化
• q-Sine MathWorldの sin のq 類似体に関する記事
• q-コサインMathWorldの cos のq 類似物に関する記事