矩形波

矩形波
正弦波、方形波、三角波、のこぎり波
一般情報
一般的な定義	${\displaystyle x(t)=4\left\lfloor t\right\rfloor -2\left\lfloor 2t\right\rfloor +1,2t\notin \mathbb {Z} }$
応用分野	エレクトロニクス、シンセサイザー
ドメイン、コドメイン、イメージ
ドメイン	${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \left\{{\tfrac {n}{2}}\right\},n\in \mathbb {Z} }$
コドメイン	${\displaystyle \left\{-1,1\right\}}$
基本機能
パリティ	奇数
期間	1
反微分	三角波
フーリエ級数	${\displaystyle x(t)={\frac {4}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{2k-1}}\sin \left(2\pi \left(2k-1\right)t\right)}$

矩形波サウンドサンプル

220 Hzの5秒間の矩形波

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方形波は、振幅が一定の周波数で固定された最小値と最大値の間で交互に変化し、最小値と最大値の持続時間が同じである非正弦波の周期波形です。理想的な方形波では、最小値と最大値の間の遷移は瞬時に行われます。

方形波は、最小振幅と最大振幅で任意の持続時間を可能にするパルス波の特殊なケースです。パルス波の高周期と全周期の比率は、デューティ サイクルと呼ばれます。真の方形波のデューティ サイクルは 50% です (高周期と低周期が等しい)。

方形波は、電子工学や信号処理、特にデジタル電子工学やデジタル信号処理でよく使用されます。その確率論的対応物は2 状態軌跡です。

方形波はデジタル スイッチング回路で広く見られ、バイナリ (2 レベル) ロジック デバイスによって自然に生成されます。方形波は遷移が高速であるため、同期ロジック回路を正確に決められた間隔でトリガーするのに適しているため、タイミング基準または「クロック信号」として使用されます。ただし、周波数領域のグラフが示すように、方形波にはさまざまな高調波が含まれており、これにより電磁放射や電流パルスが生成され、近くの他の回路に干渉してノイズやエラーが発生する可能性があります。高精度のアナログ/デジタル コンバータなどの非常に敏感な回路でこの問題を回避するには、タイミング基準として方形波ではなく 正弦波を使用します。

音楽用語では、空洞に聞こえるとよく表現されるため、減算合成を使用して作成された管楽器の音のベースとして使用されます。また、多くの家庭、商業、および産業のコンテキストで使用される「ビープ音」アラートを構成します。さらに、エレキギターで使用されるディストーションエフェクトは、波形の最も外側の領域をクリップするため、歪みが大きくなるにつれて、波形はますます矩形波に似てきます。

単純な 2 レベルのRademacher 関数は方形波です。

数学における方形波には多くの定義があり、不連続点を除いて同等です。

これは単純に正弦波の 符号関数として定義できます。 正弦波が正のときは 1、負のときは -1、不連続点では 0 になります。ここで、Tは方形波の周期、fは周波数で、この 2 つはf = 1/ Tという式で表されます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}x(t)&=\operatorname {sgn} \left(\sin {\frac {2\pi t}{T}}\right)=\operatorname {sgn}(\sin 2\pi ft)\\v(t)&=\operatorname {sgn} \left(\cos {\frac {2\pi t}{T}}\right)=\operatorname {sgn}(\cos 2\pi ft),\end{aligned}}}$$

方形波はヘヴィサイドステップ関数 u ( t )または矩形関数Π( t )に対して定義することもできます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}x(t)&=2\left[\sum _{n=-\infty }^{\infty }\Pi \left({\frac {2(t-nT)}{T}}-{\frac {1}{2}}\right)\right]-1\\&=2\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left[u\left({\frac {t}{T}}-n\right)-u\left({\frac {t}{T}}-n-{\frac {1}{2}}\right)\right]-1.\end{aligned}}}$$

矩形波は、フロア関数を直接的に 、また間接的に使用して生成することもできます。 $${\displaystyle x(t)=2\left(2\lfloor ft\rfloor -\lfloor 2ft\rfloor \right)+1}$$$${\displaystyle x(t)=\left(-1\right)^{\lfloor 2ft\rfloor }.}$$

フーリエ級数（下図）を用いると、床関数は三角関数の形式で表すことができることがわかる^[1] $${\displaystyle {\frac {2}{\pi }}\arctan \left(\tan \left({\frac {\pi ft}{2}}\right)\right)+{\frac {2}{\pi }}\arctan \left(\cot \left({\frac {\pi ft}{2}}\right)\right)}$$

周期周波数fと時間tのフーリエ展開を使用すると、振幅 1 の理想的な方形波は正弦波の無限和として表すことができます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}x(t)&={\frac {4}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin \left(2\pi (2k-1)ft\right)}{2k-1}}\\&={\frac {4}{\pi }}\left(\sin(\omega t)+{\frac {1}{3}}\sin(3\omega t)+{\frac {1}{5}}\sin(5\omega t)+\ldots \right),&{\text{where }}\omega =2\pi f.\end{aligned}}}$$

加法平方デモ

正弦波に毎秒加算される高調波によって生成される220Hzの矩形波

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理想的な矩形波には、奇数整数倍音周波数（2π(2 k − 1) fの形式）の成分のみが含まれます。

方形波のフーリエ級数表現の収束に関する興味深い現象は、ギブス現象です。非理想的な方形波のリンギングアーティファクトは、この現象に関連していることがわかります。ギブス現象は、ランチョスシグマ係数を使用してシーケンスがよりスムーズに収束するのを助ける σ 近似を使用することで防止できます。

理想的な数学的方形波は、高状態と低状態の間を瞬時に、アンダーシュートやオーバーシュートなしで変化します。これは、無限の帯域幅を必要とするため、物理システムでは実現不可能です。

物理システム内の方形波は帯域幅が限られており、ギブス現象に似たリンギング効果や σ 近似に似たリップル効果を示すことがよくあります。

矩形波の形状に適切に近似するには、少なくとも基本波と 3 次高調波が存在する必要があり、5 次高調波が存在することが望ましいです。これらの帯域幅要件は、矩形波のような波形に対する有限帯域幅のアナログ近似が使用されるデジタル エレクトロニクスでは重要です。(リンギング トランジェントは、回路の電気定格制限を超えたり、不適切な位置にあるしきい値を複数回超えたりする可能性があるため、ここでは重要な電子的考慮事項です。)

すでに述べたように、理想的な矩形波では、高レベルと低レベルの間で瞬間的な遷移が起こります。実際には、波形を生成するシステムの物理的な制限により、これは決して実現されません。信号が低レベルから高レベルに上昇し、再び低レベルに戻るまでの時間は、それぞれ 立ち上がり時間と立ち下がり時間と呼ばれます。

システムが過剰に減衰されている場合、波形は実際には理論上の高レベルと低レベルに到達しない可能性があり、システムが不十分に減衰されている場合、波形は落ち着く前に高レベルと低レベルの周りで振動します。これらの場合、立ち上がり時間と立ち下がり時間は、5% と 95%、または 10% と 90% などの指定された中間レベル間で測定されます。システムの帯域幅は波形の遷移時間に関連し、一方を他方から近似的に決定できる式があります。

• 周期関数のリスト
• 長方形関数
• 脈波
• 正弦波
• 三角波
• のこぎり波
• 波形
• 音
• マルチバイブレーター
• ロンキー・ルーリング、画像処理に使用される方形波のストライプ・ターゲット。
• 海を渡る
• クラリネットは、矩形波に近い奇数倍音を出す楽器です。

• 方形波のフーリエ分解 GeoGebra サイトからの正弦波を使用した方形波合成のインタラクティブなデモ。
• 正弦波で近似された方形波 正弦波を使用した方形波合成のインタラクティブなデモ。
• Flash アプレットの矩形波。