0

文脈によっては、ゼロという数やゼロの概念を表すのに異なる言葉が使われることがあります。単純に欠けているという意味では、「nothing」（ただしこれは正確ではありません）や「none」という言葉がよく使われます。英語の「nought」や「naught」、「nil」、 「 null 」も同義語です。^{[ 5 ] [ 6 ]}

電話番号、住所、クレジットカード番号、軍事時間、年などの数字列を読み上げる文脈では、しばしば「オー」と呼ばれます。たとえば、市外局番201は「ツーオーワン」と発音され、1907年は「ナインティーンオーセブン」と発音されることがよくあります。他の数字が存在することで、文字列が数字のみで構成されていることが示され、文字のOとの混同が回避されます。このため、文字と数字の両方を含む文字列を含むシステム（英国の郵便番号など）では、文字Oの使用が除外される場合があります。^{[ 7 ]}

ゼロを表す俗語には、「zip」、「zilch」、「nada」、「scratch」などがあります。^{[ 8 ]}スポーツの文脈では、「nil」が使われることもあり、特にイギリス英語でよく使われます。テニスの「 love 」 （おそらくフランス語の「l'œuf」、「the egg」に由来）やクリケットの「 duck 」（「duck's egg」の短縮形）など、ゼロのスコアを表す特定の言葉を持つスポーツもいくつかあります。「Goose egg」もゼロを表す一般的な俗語です。^{[ 8 ]}

位取り記数法（例えば、数値を表す通常の十進表記）では、数字の 0 は位取りの役割を果たし、基数の特定のべき乗が加算されないことを示します。例えば、十進数 205 は 2 つの百と 5 つの一の合計であり、数字の 0 は 10 の位が加算されないことを示します。この数字は、小数や他の実数の十進表現（10 分の 1、100 分の 1、1000 分の 1 などが存在するかどうかを示す）や、10 以外の基数（例えば、2 進数では、どの 2 のべき乗が省略されるかを示す）でも同じ役割を果たします。^{[ 9 ]}

0 は最小の非負整数であり、最大の非正整数です。0の次の自然数は1 であり、0 より前の自然数は存在しません。0 は自然数とみなされる場合もあれば、そうでない場合もありますが、^{[ 10 ] [ 11 ]}整数であり、したがって有理数であり、実数です。^{[ 12 ]} 0 は偶数です^{[ 13 ]} (つまり 2 の倍数です)、また他の任意の整数の整数倍でもあります。 ^{[ 14 ]}素数でも合成数でもありません。^{[ 15 ]}

0 という数は正でも負でもないと考えられており、^{[ 16 ]}通常は数直線の原点として表示されます。^{[ 17 ]}実数を拡張して複素数を形成すると、0 は複素平面の原点になります。 ^{[ 18 ]}

以下は、数0を扱う際の基本的なルールです。特に断りのない限り、これらのルールは任意の実数または複素数xに適用されます。

• 加法：x + 0 = 0 + x = x。つまり、0 は加法に関して単位元（または中立元）である。 ^{[ 19 ]}
• 減算：x − 0 = xおよび 0 − x = − x。^{[ 20 ]}
• 乗算: x · 0 = 0 · x = 0。^{[ 21 ]}逆もまた成り立つ: x · y = 0 ならば x = 0 または y = 0。

• 除算: 0 / x = 0 ( xがゼロでない場合)。しかし、 0には乗法逆元がないため(実数に 0 を掛けても 1 にならない)、前の規則の結果、x / 0は定義されません。 ^{[ 22 ]}
• べき乗: x ⁰ = ⁠ x / x ⁠ = 1、ただし、x = 0の場合は、一部の文脈では未定義とみなされます。すべての正の実数xに対して、0 ^x = 0 です。^{[ 23 ]}

式⁠ f ( x ) / g ( x ) ⁠の極限を求めようとした際に、分数の両方のオペランドにそれぞれ独立してlim演算子を適用した結果得られる式⁠ 0 / 0 ⁠は、いわゆる「不定形」です。これは、求められている極限が必ずしも定義されていないという意味ではなく、むしろ、 ⁠ f ​​( x ) / g ( x ) ⁠の極限が存在する場合、ロピタルの定理などの別の方法で求めなければならないという意味です。^{[ 24 ]}

0個の数の和（空和）は0であり、0個の数の積（空積）は1である。階乗0!は、空積の特殊な場合として1となる。^{[ 25 ]}

最小の計数数としての 0 の役割は、さまざまな方法で一般化または拡張できます。集合論では、0 は空集合の濃度です("{ }", "${\textstyle \emptyset }$「、または「∅」」：リンゴがまったくない場合は、リンゴが 0 個あることになります。実際、集合論からの数学の特定の公理的展開では、0 は空集合として定義されています。 ^{[ 26 ]}このとき、空集合は、要素のない集合、つまり空集合に対するフォン・ノイマン基数割り当てです。^{[ 27 ]}

集合論においても、0は最小の順序数であり、整列集合として捉えた空集合に対応する。順序理論（特にその下位分野である束理論）においては、0は束やその他の半順序集合の最小要素を表す場合がある。

0 が加法単位元として果たす役割は、初等代数を超えて一般化されます。抽象代数では、0 は一般的にゼロ元を表すために使用され、これは（検討対象の構造で定義されている場合）加算の単位元であり、 （定義されている場合）乗算の吸収元です。例としては、加法群やベクトル空間の単位元があります。別の例としては、領域D上のゼロ関数（またはゼロ写像）があります。これは、出力値が 0 のみである定数関数、つまり、Dのすべてのxに対してf ( x ) = 0で定義される関数fです。実数から実数への関数として、ゼロ関数は偶関数かつ奇関数である唯一の関数です。

数字の0は、数学の様々な分野において、他にもいくつかの方法で用いられています。

• 関数fの零点とは、関数の定義域内の点xであって、 f ( x ) = 0となる点のことである。
• 命題論理では、0は偽の真理値を表すために用いられることがある。
• 確率論では、0 はあらゆる事象の確率として許容される最小値である。^{[ 28 ]}
• 圏論では、ゼロオブジェクト（しばしば0と表記される）の概念と、ゼロ関数を一般化した関連するゼロ射の概念が導入される。^{[ 29 ]}

古代エジプトの数字は10進法であった。^{[ 30 ]}数字にはヒエログリフが用いられ、位取り記数法ではなかった。紀元前1770年頃に書かれたあるパピルスでは、書記がファラオの宮廷の毎日の収入と支出を記録しており、受け取った食料の量が支出した量と完全に一致する場合を示すためにnfrヒエログリフが用いられている。エジプト学者のアラン・ガーディナーは、 nfrヒエログリフはゼロの記号として用いられていたと示唆した。 ^{[ 31 ]}同じ記号は墓やピラミッドの図面で基準面を示すためにも用いられ、距離は基準線より上か下かで測定された。^{[ 32 ]}

紀元前2千年紀半ばまでに、バビロニアの数学は洗練された60進法の位取り記数法を持っていたが、位取りのゼロの値は数字の間にスペースを入れることで示されていた。キシュで発掘された粘土板（紀元前700年頃のもの）では、書記官のベルバンアプルが3つのフックを位取り記号として使用していた。^{[ 33 ]}紀元前300年までに、句読点記号（2つの斜めのくさび形）が位取り記号として再利用された。^{[ 34 ] [ 35 ]}しかし重要なのは、これらの位取り記号は数値とはみなされず、単独で使用されることはなかったということである。「したがって、これらはゼロの概念や数値を表すものとして解釈することはできない。」^{[ 36 ]}また、これらは数字の末尾に書かれることもなかった（そのため、1、60、60×60はすべてと書かれていた）。^{[ 37 ]}

メキシコ中南部と中央アメリカで発展したメソアメリカ長期暦では、20進法（基数20）の位取り記数法において、ゼロを位取り記号として使用する必要がありました。部分的な四つ葉のクローバーを含む多くの異なるグリフが、これらの長期暦の日付のゼロ記号として使用されました。最も古いもの（チアパス州チアパ・デ・コルソの石碑2 ）には、紀元前36年の日付が記されています 。^{[ a ] [ 38 ]}

最古の長期暦の日付8つがマヤ文明の故郷以外で発見されていることから、^{[ 39 ]}アメリカ大陸におけるゼロの使用はマヤ文明より古く、おそらくオルメカ文明の発明であったと一般的に考えられている。^{[ 40 ]}最古の長期暦の日付の多くはオルメカ文明の中心地で発見されたが、オルメカ文明は紀元前4世紀までに終焉を迎えており、^{[ 41 ]}最古の長期暦の日付が知られている数世紀前のことである。^{[ 42 ]}

ゼロはマヤ数字の不可欠な部分となったが、多くの「ゼロ」の表現には、亀の甲羅のような異なる空の「甲羅の形」が用いられており、旧世界の数字体系には影響を与えなかったと考えられている。^{[ 43 ]}

キープは、インカ帝国とその前身であるアンデス地域の社会で会計やその他のデジタルデータを記録するために使用された結び紐装置で、 10進法で符号化されています。ゼロは、適切な位置に結び目がないことで表されます。^{[ 44 ]}

ギリシャ人がヘレニズム時代のゼロを使用した最も古い確実な例として挙げられるのは、西暦140年のヒッパルコスの著作である。

古代ギリシャにはゼロを表す記号（μηδέν、発音はmēdén ）がなく、ゼロを表す数字も使用していませんでした。^{[ 45 ]}数学者のチャールズ・セイフによれば、紀元前500年頃、バビロニアのゼロという位取り記号が登場した後、ギリシャの天文学者は、地上/ゼロ度を表す位取り記号または表現として、小文字のギリシャ文字ό（όμικρον：オミクロン）を使用し始めました。 ^{[ 46 ]}しかし、天文学的計算にバビロニアのゼロという位取り記号を使用した後は、通常、その数値をギリシャ数字に戻していました。ピタゴラスが無限小を否定したように、ギリシャ人はゼロを数として使用することに哲学的な反対を貫いていたようです。^{[ 47 ]}「ギリシャの宇宙全体はこの柱の上に成り立っていました。虚無は存在しない。」^{[ 48 ]}ニーダーはギリシャの天文学文献にゼロが登場したのは紀元前400年以降だとし、数学者のロバート・カプランはさらにアレクサンドロス大王の征服後だったに違いないと述べている。^{[ 49 ] [ 50 ]}

ギリシャ人は、ゼロが数としてどのような位置づけにあるのか確信が持てなかったようだ。彼らの中には、「存在しないことはどうしてあり得るのか？」と自問する者もおり、それがゼロと真空の性質と存在に関する哲学的、そして中世には宗教的な議論へとつながった。エレアのゼノンのパラドックスは、ゼロの解釈の不確実性に大きく依存している。^{[ 51 ]}

西暦 150年までに、ヒッパルコスとバビロニア人の影響を受けたプトレマイオスは、数学天文学に関する著作『シンタクシス・マテマティカ』（別名『アルマゲスト』）[54]の中で、ゼロの記号（—°）[52][53]を使用していた。このヘレニズム時代のゼロは、旧世界でゼロを表す数字が文書化された最も初期の例であると思われる。[55] プトレマイオスは、日食^と月食の大きさを表す^{ために、アルマゲスト（} VI.8 ）の中でこれ^を何度も使用した。これは、最初と最後の接触時の浸漬の桁数と分数の両方の値を表していた。月が太陽の上を通過する（三角形のパルス）につれて、桁数は0から12、そして0へと連続的に変化し、12桁は太陽の角直径であった。浸水時間は 0 ′ 0 ″から31 ′ 20 ″から 0 ′ 0 ″まで表にまとめられており、0 ′ 0 ″は、彼の六十進位取り記数法の 2 つの位置で記号をプレースホルダーとして使用し、^{[ b ]}組み合わせはゼロ角度を意味していました。浸水時間は、連続関数⁠ 1 / 12 ⁠ 31 ′ 20 ″ √ d(24−d) (凸面を持つ三角形のパルス) でもあり、d は数字関数で、31 ′ 20 ″は太陽と月の円盤の半径の合計でした。^{[ 56 ]}プトレマイオスの記号は、プレースホルダーであると同時に、互いに内包する 2 つの連続数学関数で使用される数値でもあったため、ゼロを意味し、何もないという意味ではありませんでした。時が経つにつれ、プトレマイオスのゼロはサイズが大きくなり、上線が消える傾向があり、時には上線付きの点の代わりに、大きく細長い0のようなオミクロン「Ο」または上線付きのオミクロン「ō」として描かれるようになった。^{[ 57 ]}

ユリウス暦の復活祭の計算でゼロが最初に使われたのは西暦311年以前で、 311年から369年までのエチオピアの文書に保存されている協定 表の最初の項目で、ゲエズ語で「なし」を意味する単語（英語では「0」）がゲエズ数字（ギリシャ数字に基づく）とともに使われており、これは中世ギリシャ語でアレクサンドリア教会が出版した同等の表から翻訳されたものである。^{[ 58 ]}この使用は525年に同等の表で繰り返され、ディオニュシウス・エクシグウスによってラテン語のnulla（「なし」）を介して翻訳され、ローマ数字とともに使われた。^{[ 59 ]}除算で余りがゼロになった場合は、 「何もない」を意味するnihilが使われた。これらの中世のゼロは、その後のすべての中世の復活祭の計算者によって使用された。頭文字の「N」は、紀元725年頃、ベーダまたは彼の同僚によってローマ数字の表でゼロの記号として使用されました。^{[ 60 ]} 

年代不明だが紀元1世紀から5世紀頃と推定される『素子算経』には、紀元前4世紀の中国の計算棒システムによって位取り十進法の計算が可能になったことが記されている。^{[ 62 ] [ 63 ]} 『夏侯楊算経』 （紀元425～468年）に記されているように、数を10、100、1000、または10000で乗算または除算するには、計算板上の棒を1、2、3、または4桁ずつ前後に移動させるだけでよい。^{[ 64 ]}棒は数の十進法表現を示し、空白はゼロを表す。^{[ 61 ] [ 65 ]} 190 年頃の徐岳による手引書「数字術補遺」では、計算棒やそろばんなどの計算器具を用いて、10 乗にゼロ値を含む数の加算、減算、乗算、除算の技術についても概説している。^{[ 66 ] [ 67 ]}漢王朝(2 世紀)には、中国の著者は負の数や小数の概念に精通しており、 『九章算術』にもそれが見られる。^{[ 68 ]}秦九少の 1247 年の『九章算術』は、ゼロを表す丸い記号「〇」を使用した現存する最古の中国の数学書である。^{[ 69 ]}この記号の起源は不明である。四角い記号を修正して作られた可能性がある。^{[ 70 ]} 当時、ゼロは数としてではなく、「空席」として扱われていた。^{[ 71 ]}

ピンガラ（紀元前3世紀または2世紀頃）^{[ 72 ]}はサンスクリット語の韻律学者で^{[ 73 ]} 、短音節と長音節（後者は短音節2つ分の長さ）の二進数列を用いて、有効なサンスクリット語の韻律を特定した。これはモールス信号に似た表記法である^{[ 74 ]。}ピンガラはサンスクリット語のśūnyaを明示的にゼロを指すために用いた^{[ 72 ] 。}

インドでは、ゼロを表す十進位取り記号が開発された。^{[ 76 ]}

宇宙論に関するジャイナ教の文献である『ロカヴィバーガ』は、中世のサンスクリット語訳で現存しており、プラークリット語の原典は西暦458年（サカ紀元380年）に成立したとされている。この文献では、ゼロを含む十進位取り記数法が用いられている。また、この文献では、śūnya（「空虚な、空っぽな」）もゼロを表すのに使われている。^{[ 77 ]}

アーリヤバティーヤ（紀元499年頃）には、sthānāt sthānaṁ daśaguṇaṁ syāt「場所から場所へ、それぞれ前の場所の10倍である」と記されている。^{[ 78 ] [ 79 ] [ 80 ]}

ゼロの使用に関する規則は、ブラフマグプタのブラフマスプタ・シッダーンタ（7世紀）に現れ、ゼロとそれ自身との和をゼロと述べ、ゼロによる除算を次のように誤って説明しています。^{[ 81 ] [ 82 ]}

正の数または負の数をゼロで割ると、分母がゼロの分数になります。ゼロを負の数または正の数で割ると、ゼロになるか、分子がゼロで分母が有限の数の分数になります。ゼロをゼロで割るとゼロになります。

バースカラ2世の12世紀の論文『リーラーヴァティー』では、ゼロによる除算は無限量をもたらすと提唱されている^{[ 83 ]。}

量をゼロで割ると、分母がゼロの分数になります。この分数を無限量と呼びます。ゼロを除数とするこの量においては、多くの要素が挿入されたり抽出されたりしても、変化はありません。それは、無数の存在の秩序が吸収されたり生み出されたりしても、無限にして不変の神においては何の変化も起こらないのと同様です。

初期アジア碑文

サンボール碑文

ゼロを十進数として使用した最も古い確実な例は、サンボール碑文に見られます。「605」という数字はクメール数字で書かれており（上）、これは碑文が作られた年、サカ紀元605年（西暦683年）を表しています。古クメール文字で刻まれたこの断片は、かつて寺院の入り口の一部であり、カンボジアのクラティエ州で発見されました。

同じ小文字の「o」を含む銅板碑文は多数存在し、その中には6世紀のものと推定されるものもあるが、その年代や信憑性には疑問の余地がある。^{[ 33 ]}

カンボジア、クラティエ州、メコン川沿いのサンボール近郊の寺院跡で発見された石板には、クメール数字（ヒンドゥー・アラビア数字体系の数字記号）で「605」という数字が刻まれている。この数字は碑文が刻まれたサカ紀元年を表しており、西暦683年に相当します。^{[ 84 ]}

十進数の特別な記号が初めて使用されたことが知られているのは、数字のゼロを表す記号である小さな円が間違いなく現れている、インドのグワーリヤルにあるチャトゥルブジ寺院で発見された西暦876年の石碑である。^{[ 85 ] [ 86 ]}

商人向けの算術の実践マニュアルであるバクシャリ写本では、ゼロを表す記号として黒い点が用いられている。ボドリアン図書館は、この写本の6枚の葉について放射性炭素年代測定の結果を報告しており、それらは異なる世紀のものであるが、写本自体は西暦799年から1102年のものと推定している。^{[ 75 ]}

比較動物学や認知科学では、一部の動物がゼロの概念を認識しているという認識から、数値抽象化能力は種の進化の初期に生じたという結論に至る。^{[ 114 ]}

BC暦では、紀元前1年は 西暦1年より前の最初の年であり、 0年 は存在しない。対照的に、天文学的な年号では、紀元前1年は0、紀元前2年は-1、といった具合に番号が付けられる。^{[ 115 ]}