ゼロのパリティ

オブジェクトの集合が与えられたとき、その集合に含まれるオブジェクトの数を表すために数値を用います。ゼロはオブジェクトが全くないことを意味し、より厳密に言えば、空集合に含まれるオブジェクトの数です。偶奇性の概念は、2つのオブジェクトのグループを作る際に用いられます。集合内のオブジェクトを2つのグループに分け、余りがない場合、オブジェクトの数は偶数です。オブジェクトが余る場合、オブジェクトの数は奇数です。空集合には2つのグループが0個含まれており、このグループ分けから余りのオブジェクトはないので、ゼロは偶数です。^{[ 5 ]}

これらの考え方は、物体をペアで描くことで説明できます。2つのグループがゼロであることや、余った物体が存在しないことを強調するのは難しいため、他のグループを描いてゼロと比較すると分かりやすくなります。たとえば、5つの物体のグループには2つのペアがあります。さらに重要なのは、余った物体が1つあるため、5は奇数です。4つの物体のグループには余った物体がないため、4は偶数です。1つの物体のグループにはペアがなく、余った物体が1つあるため、1は奇数です。ゼロの物体のグループには余った物体がないため、0は偶数です。^{[ 6 ]}

偶数性には別の具体的な定義があります。集合内のオブジェクトを同じサイズの2つのグループに分けることができる場合、オブジェクトの数は偶数です。この定義は最初の定義と同等です。ここでも、空集合はそれぞれ0個の要素からなる2つのグループに分けることができるため、0は偶数です。^{[ 7 ]}

数は数直線上の点として視覚化することもできます。偶数と奇数を区別すると、特に負の数を含めると、そのパターンが明らかになります。

偶数と奇数は交互に現れます。任意の偶数から始めて、 2ずつ数え上げたり数え下げたりすると、他の偶数に到達します。0を飛ばす理由はありません。^{[ 8 ]}

乗法の導入により、偶奇性は算術式を用いてより形式的に扱うことができる。すべての整数は(2 × ▢) + 0または(2 × ▢) + 1 のいずれかの形をとる。前者は偶数、後者は奇数である。例えば、1 は1 = (2 × 0) + 1 なので奇数であり、 0 は0 = (2 × 0) + 0なので偶数である。これらの事実を表にまとめると、上記の数直線の図がより明確になる。^{[ 9 ]}

「偶数」が「2の倍数」を意味するなど、数学用語の正確な定義は、究極的には慣習です。 「偶数」とは異なり、一部の数学用語は、自明な場合や退化した場合を意図的に除外するように構築されています。素数は有名な例です。 20世紀以前は、素数の定義は一貫しておらず、ゴールドバッハ、ランバート、ルジャンドル、ケイリー、クロネッカーなどの著名な数学者は、 1は素数であると書いていました。^{[ 10 ]}現代の「素数」の定義は「ちょうど2つの約数を持つ正の整数」であるため、1は素数ではありません。この定義は、素数に関する数学の定理により自然に適合するという観察によって合理化できます。たとえば、 1を素数とみなさない方が、算術の基本定理を述べやすくなります。^{[ 11 ]}

同様に、「偶数」という用語をゼロを含まないように再定義することも可能だろう。しかし、この場合、新しい定義では偶数に関する定理を述べるのがより困難になる。すでにその影響は、偶数と奇数を支配する代数規則に見られる。^{[ 12 ]}最も重要な規則は、加算、減算、乗算に関するものである。

偶数±偶数＝偶数

奇数 ± 奇数 = 偶数

偶数 × 整数 = 偶数

これらの規則の左辺に適切な値を代入することで、右辺に0を生成することができる。

2 − 2 = 0

−3 + 3 = 0

4 × 0 = 0

したがって、ゼロが偶数でない場合、上記の規則は誤りとなる。^{[ 12 ]}せいぜい修正する必要があるだろう。例えば、あるテスト対策ガイドでは、偶数は2の整数倍として特徴づけられるが、ゼロは「偶数でも奇数でもない」と主張している。^{[ 13 ]}そのため、このガイドの偶数と奇数に関する規則には例外が含まれている。

偶数 ± 偶数 = 偶数（またはゼロ）

奇数 ± 奇数 = 偶数（またはゼロ）

偶数 ×ゼロでない整数 = 偶数^{[ 13 ]}

偶数性の定義においてゼロを例外とすると、偶数に関する規則においても同様の例外を設ける必要が生じる。別の観点から見ると、正の偶数が従う規則を採用し、それが整数に対しても引き続き成り立つことを要求すれば、通常の定義とゼロの偶数性が強制される。^{[ 12 ]}

数nが奇数であるとは、 n = 2 k + 1となる整数k が存在する場合をいう。ゼロが奇数ではないことを証明する一つの方法は背理法である。0 = 2 k + 1ならばk = − 1/2となり、これは整数ではない。^{[ 15 ]}ゼロは奇数ではないので、未知の数が奇数であることが証明された場合、それはゼロではない。この一見自明な観察は、奇数がゼロではない理由を説明する便利で示唆に富む証明を提供する。

グラフ理論の古典的な結果では、奇数次数（奇数個の頂点を持つ）のグラフには、常に少なくとも１つの偶数次数の頂点が存在するとされています。（この命題自体では、ゼロが偶数であることを要求しています。空のグラフは偶数次数であり、孤立した頂点は偶数次数です。）^{[ 16 ]}この命題を証明するには、実際にはより強い結果を証明する方が簡単です。任意の奇数次数のグラフには、奇数個の偶数次数の頂点が存在するということです。この奇数個の出現は、握手補題として知られるさらに一般的な結果によって説明されます。任意のグラフには、偶数個の奇数次数の頂点が存在するということです。^{[ 17 ]}最後に、偶数個の奇数次数の頂点は、次数和公式によって自然に説明されます。

スペルナーの補題は、同じ戦略のより高度な応用です。この補題は、単体の三角形分割におけるある種の彩色には、すべての色を含む部分単体が存在することを述べています。このような部分単体を直接構成するよりも、帰納法を用いて、このような部分単体が奇数個存在することを証明する方が便利です。^{[ 18 ]}この補題のより強い表現では、なぜこの数が奇数なのかを説明しています。単体の可能な2つの向きを考えると、自然に( n + 1) + nに分解されます。 ^{[ 19 ]}

ゼロが偶数であること、そして偶数と奇数が交互に現れるという事実があれば、他のすべての自然数の偶奇性を判断するのに十分である。この考え方は、偶数の自然数の集合を再帰的に定義することで定式化できる。

• 0は偶数です。
• ( n + 1) が偶数であるのは、nが偶数でない場合のみです。

この定義は、自然数の最小限の基礎、すなわち 0 と後継数の存在のみに依存するという概念的な利点があります。そのため、 LFやIsabelle 定理証明器などのコンピュータ論理システムに役立ちます。^{[ 20 ]}この定義では、ゼロの偶数は定理ではなく公理です。実際、「ゼロは偶数である」は、偶数の自然数がモデルとなっているPeano 公理の 1 つとして解釈できます。 ^{[ 21 ]}同様の構成により、パリティの定義が超限順序数に拡張されます。すべての極限順序数は、ゼロを含めて偶数であり、偶数順序数の後継数は奇数です。 ^{[ 22 ]}

計算幾何学における古典的な多角形内点判定法は、上記の考え方を応用しています。点が多角形内にあるかどうかを判断するには、無限遠からその点に向かって光線を放ち、光線が多角形の辺を横切る回数を数えます。交差回数が偶数になるのは、点が多角形の外側にある場合のみです。このアルゴリズムが機能するのは、光線が多角形を一度も横切らない場合、交差回数はゼロ（偶数）となり、点は多角形の外側にあるからです。光線が多角形を横切るたびに、交差回数は偶数と奇数が交互に現れ、その先端にある点は外側と内側を交互に現れます。^{[ 23 ]}

グラフ理論において、二部グラフとは、隣接する頂点が異なる色になるように、頂点が2つの色に分割されたグラフのことである。連結グラフに奇数サイクルがない場合、基底頂点vを選択し、 vからの距離が偶数か奇数かに応じて、すべての頂点を黒または白に色付けすることで、二部グラフを構築できる。vとv自身との距離は0であり、0は偶数であるため、基底頂点は距離が1である隣接頂点とは異なる色になる。^{[ 24 ]}

抽象代数学では、偶数はゼロの包含を必要とする様々な代数構造を形成します。加法単位元（ゼロ）が偶数であること、偶数の和と加法逆元が偶数であること、加法の結合法則が成り立つことから、偶数は群を形成します。さらに、加法に関する偶数の群は、すべての整数の群の部分群です。これは部分群の概念の基本的な例です。 ^{[ 16 ]}規則「偶数－偶数＝偶数」によって0が偶数になるという先の観察は、一般的なパターンの一部です。減法に関して閉じている加法群の空でない部分集合は必ず部分群であり、特に単位元を含まなければなりません。^{[ 25 ]}

偶数は整数のサブグループを形成するため、整数を剰余類に分割します。これらの剰余類は、次の同値関係の同値類として記述できます。x ~ y ( x − y )が偶数の場合。ここで、ゼロの偶数は、二項関係~の反射性として直接的に現れます。^{[ 26 ]}このサブグループには偶数と奇数の 2 つの剰余類しかないため、指数は2 です。

同様に、交代群はn文字の対称群の指数 2 の部分群です。交代群の要素は偶数置換と呼ばれ、偶数個の転置の積です。転置のない空の積である恒等写像は、ゼロが偶数であるため偶数置換であり、群の単位元です。^{[ 27 ]}

「偶数 × 整数 = 偶数」という規則は、偶数が整数環においてイデアルを形成することを意味し、上記の同値関係はこのイデアルを法とする同値関係として記述できます。特に、偶数とは、k ≡ 0 (mod 2)となる整数kのことです。この定式化は、多項式の整数零点を調べるのに役立ちます。^{[ 28 ]}

2の倍数の中には、他の倍数よりも「より偶数的」なものもある。4の倍数は2で2回割り切れるので、二重偶数と呼ばれる。0は4で割り切れるだけでなく、 2のすべてのべき乗で割り切れるという独特の性質を持っているため、「偶数性」において他のすべての数を凌駕する。^{[ 1 ]}

この事実の結果の一つとして、クーリー・テューキー高速フーリエ変換などの一部のコンピュータアルゴリズムで使用される整数データ型のビット反転順序が挙げられます。この順序には、数値のバイナリ展開で最初の 1 が左に来るほど、つまり 2 で割り切れる回数が多いほど、その 1 が先に現れるという性質があります。ゼロのビット反転は依然としてゼロであり、2 で何度でも割り切れ、バイナリ展開には 1 が含まれていないため、常に最初に現れます。^{[ 29 ]}

0は他のどの数よりも多く2で割り切れるが、その回数を正確に定量化するのは容易ではない。任意の非ゼロ整数nに対して、 nの2進位数をnが2で割り切れる回数と定義することができる。この定義は0には当てはまらない。0は2で何度割り切れても、常に再び2で割り切れるからである。むしろ、通常の慣習では、0の2進位数を特別な場合として無限大に設定する。 ^{[ 30 ]}この慣習は2進数に特有のものではなく、高等代数学における加法評価の公理の1つである。^{[ 31 ]}

2のべき乗（1、2、4、8、…）は、2の次数が増加する単純な数列を形成します。2進数では、このような数列は実際にゼロに収束します。 ^{[ 32 ]}

右側の図表^{[ 33 ]}は、イギリスの教育制度における1年生（5～6歳）から6年生（10～11歳）までの進級に伴う、ゼロの偶奇性に関する子供たちの認識の変化を示しています。このデータは、イギリスの学童を対象に2回の調査を実施したレン・フロビシャーによるものです。フロビシャーは、1桁の偶奇性の知識が複数桁の偶奇性の知識にどのように繋がるかに興味を持ち、その結果にはゼロが大きく関わっています。^{[ 35 ]}

約400人の7歳児を対象とした予備調査では、ゼロの偶奇性を尋ねられた際に、45%が偶数を奇数より優先した。 ^{[ 36 ]}追跡調査では、「どちらでもない」「両方」「わからない」という選択肢が追加された。この時、同じ年齢層の子供たちでゼロを偶数と認識した子供の割合は32%に減少した。^{[ 37 ]}ゼロが偶数であると判断する正答率は、最初は急上昇し、その後、3年生から6年生にかけて約50%で横ばいになる。 ^{[ 38 ]}比較のために、最も簡単な課題である1桁の数字の偶奇性を判断する正答率は、約85%で横ばいになる。^{[ 39 ]}

インタビューで、フロビシャーは生徒たちの推論を引き出した。5年生の1人は、0が2の段にあることから偶数だと判断した。4年生の2人は、0を等しい部分に分割できることに気づいた。別の4年生は「1は奇数で、下に行けば偶数になる」と推論した。^{[ 40 ]}インタビューでは、誤った回答の背後にある誤解も明らかになった。2年生は「最初に数える数だから」という理由で、0は奇数だと「かなり確信していた」。^{[ 41 ]} 4年生は0を「なし」と呼び、「数ではない」ので奇数でも偶数でもないと考えていた。^{[ 42 ]}別の研究では、アニー・キースが15人の2年生のクラスを観察したが、彼らは偶数と奇数の交互性や、0個のものを2つの等しいグループに分割できる可能性に基づいて、0は偶数だと互いに納得させ合っていた。^{[ 43 ]}

エスター・レベンソン、ペシア・ツァミール、ディナ・ティロシュは、数学の授業で優秀な成績を収めているアメリカの6年生の生徒2人にインタビューを行い、より詳細な調査を行った。1人の生徒は数学的主張の演繹的説明を好み、もう1人の生徒は実例を好んだ。2人とも最初は、異なる理由から0は偶数でも奇数でもないと考えていた。レベンソンらは、生徒たちの推論がゼロと除算の概念をどのように反映しているかを示した。^{[ 44 ]}

デボラ・ローエンバーグ・ボールは、アメリカの小学3年生がちょうど4年生のグループと話し合っていた偶数と奇数、そしてゼロについての考えを分析した。生徒たちはゼロの偶奇性、偶数の規則、そして数学のやり方について話し合った。ゼロについての主張は、右のリストに見られるように、さまざまな形をとった。^{[ 45 ]}ボールと共著者は、この出来事は、数学を機械的に問題を解くことに還元する通常の方法とは対照的に、生徒が「学校で数学を行う」ことができることを示していると主張した。^{[ 46 ]}

研究文献のテーマの 1 つは、学生の偶数の概念イメージと概念定義との間の緊張関係です。^{[ 47 ]}レベンソンらの 6 年生は、偶数を 2 の倍数または 2 で割り切れる数と定義しましたが、最初はゼロにこの定義を適用できませんでした。ゼロを 2 で掛けたり割ったりする方法がわからなかったためです。最終的に、面接官はゼロが偶数であるという結論に導きました。学生は、イメージ、定義、実践的な説明、抽象的な説明を組み合わせて、この結論に至るまでに異なる経路をたどりました。別の研究では、デビッド ディッカーソンとダミアン ピットマンが、5 人の上級数学専攻の学部生による定義の使用を調査しました。学部生は概ね「偶数」の定義をゼロに適用できましたが、概念イメージと矛盾するため、この推論に納得していませんでした。^{[ 48 ]}

ミシガン大学の数学教育研究者たちは、教師の知識内容を測定するために設計された250以上の質問のデータベースに、「0は偶数である」という正誤問題を含めた。彼らにとって、この質問は「教養のある大人なら誰でも持っているべき常識」の例であり、伝統的な数学と改革数学の間で答えが変わらないため「イデオロギー的に中立」である。2000年から2004年にかけて米国で行われた700人の小学校教師を対象とした調査では、これらの質問に対する全体的な成績が、教師の授業を受けた後の生徒の標準テストのスコアの向上を著しく予測した。 ^{[ 49 ]} 2008年のより詳細な調査では、研究者たちは、他のすべての基準で模範的な教師1人を含め、すべての教師が0は奇数でも偶数でもないと考えている学校を発見した。この誤解は、校内の数学コーチによって広められたものだった。^{[ 50 ]} 

ゼロについて誤解している教師が何人いるかは不明である。ミシガン大学の研究では、個々の質問に関するデータは公表されていない。南フロリダ大学の数学教育准教授であるベティ・リヒテンベルクは、1972年の研究で、小学校​​教員志望者のグループに「ゼロは偶数である」という項目を含む正誤テストを行ったところ、約3分の2が「偽」と答えたため、これは「ひっかけ問題」であると報告した。^{[ 51 ]}

数学的には、ゼロが偶数であることを証明するのは定義を適用するだけの簡単な問題ですが、教育の文脈ではより詳しい説明が必要です。一つの問題は証明の基礎に関するもので、「偶数」を「2の整数倍」と定義するのは必ずしも適切ではありません。小学校低学年の生徒は、「整数」や「倍数」の意味をまだ学んでいない可能性があり、ましてや0を掛ける方法など理解していないかもしれません。^{[ 52 ]}さらに、これまで調査してきた偶数が正の数だけであった場合、すべての整数の偶奇性の定義を述べることは、恣意的な概念的近道のように思えるかもしれません。数の概念が正の整数からゼロや負の整数を含むように拡張されるにつれて、偶奇性などの数の性質も非自明な方法で拡張されることを認識することが役立ちます。^{[ 53 ]}