四面体

幾何学において、四面体（テトラヘドロン、複数形：tetrahedraまたはtetrahedrons ）は、三角錐とも呼ばれ、 4つの三角形の面、6つの直線の辺、および4つの頂点で構成される多面体です。四面体は、通常の凸多面体の中で最も単純なものです。^[1]

四面体は、より一般的な概念であるユークリッド単体の3 次元の場合であり、したがって3 単体とも呼ばれます。

四面体はピラミッドの一種で、平らな多角形の底面と、底面と共通点を結ぶ三角形の面を持つ多面体です。四面体の場合、底面は三角形（ 4 つの面のどれでも底面とみなせます）なので、四面体は「三角錐」とも呼ばれます。

すべての凸多面体と同様に、四面体も一枚の紙から折ることができます。四面体には2つのネットがあります。^[1]

任意の四面体には、 4つの頂点すべてが含まれる球面（外接球と呼ばれる）と、四面体の面に接する別の球面（内接球と呼ばれる）が存在する。 ^[2]

正四面体とは、4つの面がすべて正三角形である四面体です。言い換えれば、そのすべての面は同じ大きさと形（合同）であり、すべての辺の長さは同じです。すべての面が正三角形である凸多面体は三角面体です。凸三角面体は8つあり、そのうちの1つが正四面体です。^[3]

正四面体は、すべての面が正多角形である多面体の集合である5つの正プラトン立体のうちの1つでもある。^[4]古代から知られているプラ​​トン立体は、これら4つの立体を自然と関連付けたギリシャの哲学者プラトンにちなんで名付けられた。正四面体は、最も鋭い角が最も貫通力があると彼が解釈したため、火の古典的な要素と考えられていた。^[5]

正四面体は自己双対であり、つまりその双対は別の正四面体である。このような双対四面体 2 つからなる複合図形は星型八面体または星型八面体を形成する。その内部は八面体であり、それに対応して、正八面体は正四面体から、線のサイズが半分の 4 つの正四面体を切り取った結果 (つまり、四面体 を平行化) となる。

四面体は、さらに別の 2 つの立体と関連しています。四面体を切断すると、切断四面体になります。この立体の双対は、三角四面体、つまり各面に 4 つの三角錐が付いた正四面体です。つまり、そのクリートープです。

正四面体だけでは、モザイク状（空間を埋める）にはなりませんが、正八面体と交互に配置し、四面体 2 つに対して八面体 1 つの比率にすると、モザイク状である交互立方ハニカム構造が形成されます。シュレーフリ正四面体やヒル四面体など、正四面体ではない一部の四面体は、モザイク状になります。

辺の長さが の正四面体があるとします。正四面体の表面積は、正三角形の面積の 4 倍です。^[6] 正四面体の高さは です。^[7]正四面体の体積は、他のピラミッドと同様に、底辺の 3 分の 1 と高さで求めることができます。底辺は正三角形なので、次のようになります。^[6] 立方体を 3 つの部分に分割して体積を求めることもできます。^[8]${\displaystyle a}$${\displaystyle A}$ $${\displaystyle A=4\cdot \left({\frac {\sqrt {3}}{4}}a^{2}\right)=a^{2}{\sqrt {3}}\approx 1.732a^{2}.}$$${\textstyle {\frac {\sqrt {6}}{3}}a}$ $${\displaystyle V={\frac {1}{3}}\cdot \left({\frac {\sqrt {3}}{4}}a^{2}\right)\cdot {\frac {\sqrt {6}}{3}}a={\frac {a^{3}}{6{\sqrt {2}}}}\approx 0.118a^{3}.}$$

二面角（２つの平面間の角度）と正四面体の中心から２つの頂点間の線間の角度^[a]はそれぞれ次の通りである：^[9] $${\displaystyle {\begin{aligned}\arccos \left({\frac {1}{3}}\right)&=\arctan \left(2{\sqrt {2}}\right)\approx 70.529^{\circ },\\\arccos \left(-{\frac {1}{3}}\right)&=2\arctan \left({\sqrt {2}}\right)\approx 109.471^{\circ }.\end{aligned}}}$$

外接球 、内接球、中球、外接球の半径はそれぞれ次のとおりです。^[6] 辺の長さが、外接球の半径が、3次元空間の任意の点から4つの頂点までの距離が の正四面体の場合、次のようになります。^[10]${\displaystyle R}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r_{\mathrm {M} }}$ ${\displaystyle r_{\mathrm {E} }}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}R={\frac {\sqrt {6}}{4}}a,&\qquad r={\frac {1}{3}}R={\frac {a}{\sqrt {24}}},\\r_{\mathrm {M} }={\sqrt {rR}}={\frac {a}{\sqrt {8}}},&\qquad r_{\mathrm {E} }={\frac {a}{\sqrt {6}}}.\end{aligned}}}$$${\displaystyle a}$${\displaystyle R}$${\displaystyle d_{i}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d_{1}^{4}+d_{2}^{4}+d_{3}^{4}+d_{4}^{4}}{4}}+{\frac {16R^{4}}{9}}&=\left({\frac {d_{1}^{2}+d_{2}^{2}+d_{3}^{2}+d_{4}^{2}}{4}}+{\frac {2R^{2}}{3}}\right)^{2},\\4\left(a^{4}+d_{1}^{4}+d_{2}^{4}+d_{3}^{4}+d_{4}^{4}\right)&=\left(a^{2}+d_{1}^{2}+d_{2}^{2}+d_{3}^{2}+d_{4}^{2}\right)^{2}.\end{aligned}}}$$

底面に対する面の傾き(2 √ 2 ) は、辺の傾き ( √ 2 ) の 2 倍です。これは、辺に沿った底辺から頂点までの水平距離が、面の中線に沿った距離の 2 倍であることに対応しています。言い換えると、C が底辺の重心である場合、 Cから底辺の頂点までの距離は、Cから底辺の辺の中点までの距離の 2 倍です。これは、三角形の中線がその重心で交差し、この点によって各中線が 2 つの線分に分割され、そのうちの 1 つがもう 1 つの線分の 2 倍の長さになるという事実から導かれます (証明を参照)。

面によって囲まれた頂点における 立体角は、 約 0.55129ステラジアン、1809.8平方度、または 0.04387スパッツです。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\arccos \left({\frac {23}{27}}\right)&={\frac {\pi }{2}}-3\arcsin \left({\frac {1}{3}}\right)\\&=3\arccos \left({\frac {1}{3}}\right)-\pi \end{aligned}}}$$

正四面体を構築する 1 つの方法は、次の直交座標を使用して、辺の長さが 2、中心が原点、辺のレベルが 2 である四面体の 4 つの頂点を定義することです。 $${\displaystyle \left(\pm 1,0,-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)\quad {\mbox{and}}\quad \left(0,\pm 1,{\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)}$$

単位球面上の 4 つの点として対称的に表され、重心は原点にあり、下面は平面に平行で、頂点は次のようになります 。 辺の長さは です。 ${\displaystyle xy}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\left({\sqrt {\frac {8}{9}}},0,-{\frac {1}{3}}\right),&\quad \left(-{\sqrt {\frac {2}{9}}},{\sqrt {\frac {2}{3}}},-{\frac {1}{3}}\right),\\\left(-{\sqrt {\frac {2}{9}}},-{\sqrt {\frac {2}{3}}},-{\frac {1}{3}}\right),&\quad (0,0,1)\end{aligned}}}$$${\textstyle {\frac {2{\sqrt {6}}}{3}}}$

正四面体は、各頂点が立方体の頂点であり、各辺が立方体の面の 1 つに対する対角線であるという 2 つの方法で立方体の内部に埋め込むことができます。このような埋め込みの 1 つでは、頂点の 直交座標は です。これにより、原点を中心とする、 辺の長さ の四面体が得られます。もう 1 つの四面体 (最初の四面体の双対) の場合は、すべての符号を逆にします。これら 2 つの四面体の頂点を組み合わせると立方体の頂点になり、正四面体が 3次元立方体、つまり立方体を交互に配置した多面体であることがわかります。この形式にはコクセター図があります。$${\displaystyle {\begin{aligned}(1,1,1),&\quad (1,-1,-1),\\(-1,1,-1),&\quad (-1,-1,1).\end{aligned}}}$$${\displaystyle 2{\sqrt {2}}}$ およびSchläfli 記号 。 ${\displaystyle \mathrm {h} \{4,3\}}$

立方体の頂点は4 つのグループに分けられ、それぞれが正四面体を形成し、立方体内の 2 つの四面体のうちの 1 つを示します。正四面体の対称性は、立方体の対称性の半分に対応します。つまり、四面体をそれ自体にマッピングし、互いにマッピングしないものです。四面体は、点の反転によってそれ自体にマッピングされない唯一のプラトン立体です。

正四面体には 24 個の等長写像があり、完全四面体対称性と呼ばれる対称群を形成します。この対称群は対称群と同型です。これらは次のように分類できます。 ${\displaystyle \mathrm {T} _{\mathrm {d} }}$ ${\displaystyle S_{4}}$

• これは回転四面体対称性を持つ。この対称性は、次の共役類を持つ交代群（恒等回転と 11 個の固有回転）に同型である（括弧内には頂点の順列、または対応する面と単位四元数表現が与えられている）。 ${\displaystyle \mathrm {T} }$ ${\displaystyle A_{4}}$
  • アイデンティティ（アイデンティティ；1）
  • 頂点を通る軸を中心に、反対の平面に垂直な角度で ±120° 回転: 4 つの軸、各軸に 2 つずつ、合計8 つ ((1 2 3)など) 。1 ± i ± j ± k/2⁠ )
  • 180°の回転で、ある辺が反対の辺にマッピングされる: 3 ((1 2)(3 4)など; i、j、k )
• エッジに垂直な平面での反射: 6
• 平面上の反射と、平面に垂直な軸の周りの 90° 回転を組み合わせたもの: 3 つの軸 (各軸につき 2 つ)、合わせて 6 つ。つまり、90° 回転と反転 ( x は- xにマッピングされる) を組み合わせたもの。回転は、立方体の面軸周りの回転に対応する。

正四面体には、頂点または面を中心とする投影と、辺を中心とする投影の2 つの特殊な直交投影があります。最初の投影は、A ₂ コクセター平面に対応します。

正四面体の2つの斜め直交する対辺は、平行な平面の集合を定義します。これらの平面の1つが四面体と交差すると、結果として生じる断面は長方形になります。 [ ^11]交差面がいずれかの辺の近くにある場合、長方形は細長い形になります。2つの辺の中間にある場合、交差点は正方形になります。この中間点を通過すると、長方形のアスペクト比が反転します。中点での正方形の交差点では、結果として生じる境界線は、同様に四面体のすべての面を横切ります。四面体をこの平面で二等分すると、両方の半分がくさび形になります。

この特性は、2 つの特殊な辺のペアに適用した場合、 四方二蝶形にも適用されます。

四面体は、球面状のタイリング（球面三角形）として表現することもでき、立体投影によって平面に投影されます。この投影は等角投影であり、角度は保存されますが、面積や長さは保存されません。球面上の直線は、平面上に円弧として投影されます。

正四面体は、 Boerdijk-Coxeter らせんと呼ばれるキラルな非周期鎖で向かい合って積み重ねることができます。

4 次元では、四面体セルを持つすべての凸正規 4 次元多面体( 5 セル、16 セル、および600 セル) は、これらのチェーンによって3 次元球面のタイリングとして構築でき、4 次元多面体の境界面の 3 次元空間で周期的になります。

4 つの正辺面を持たない四面体は、それらが持つ対称性によって分類され、名前が付けられます。

四面体の 3 対の対辺がすべて垂直である場合、それは直心四面体と呼ばれます。 1 対の対辺のみが垂直である場合、それは半直心四面体と呼ばれます。三直角四面体では、立方体の角のように、 1 つの頂点における 3 つの面角は直角です。

等力四面体とは、頂点を反対側の面の内心と結合するセビアンが平行である四面体です。

等角四面体には、頂点を四面体の 内接球面と反対側の面の接点に結合する並行セビアンがあります。

二蝶形は、4 つの合同な三角形を面とする四面体です。三角形の角度はすべて鋭角です。正四面体は二蝶形の特殊なケースです。同じ形状の他の名前には、二蝶形、二等辺四面体、等面四面体などがあります。

3-直交配座は、4 つの面がすべて直角三角形である四面体です。3-直交配座は、反対側の辺の長さが等しくないため、二蝶形ではありません。直角三角形または鈍角三角形の面で 二蝶形を作成することはできません。

オルソスキームは、すべての辺が互いに垂直である木の凸包である不規則な単体です。3次元オルソスキームでは、木は4つの頂点すべてを2つの直角ターンを形成する直線パスで接続する3つの垂直な辺で構成されます。3-オルソスキームは、2つの頂点のそれぞれに2つの直角がある四面体であるため、別名は双直角四面体です。4つの直角を含むため、四直角四面体とも呼ばれます。^[12]

コクセターは、正多面体とその対称群との不可欠な関係から、四辺形四面体を「特性四面体」とも呼んでいる。^[13]たとえば、等しい長さの垂直辺を持つ 3 直交配位の特殊なケースは立方体の特性であり、これは立方体をこの直交配位のインスタンスに細分化できることを意味する。その 3 つの垂直辺が単位長さである場合、残りの辺は 2 つが長さ√ 2で 1 つが長さ√ 3であるため、そのすべての辺は立方体の辺または対角線である。立方体6つの3-直交図に分解できる4 つの異なる方法で、6 つすべてが同じ√ 3立方体の対角線を囲みます。立方体は、この同じ特性 3 直交配座の 48 個の小さなインスタンスに分解することもできます(すべての対称面を一度に 1 つの方法で分解します)。立方体の特性四面体は、ヘロン四面体の例です。

正四面体を含むすべての正多面体には、その特徴的な直交配座があります。「正四面体の特徴的な四面体」である3-直交配座があります。正四面体特徴的な四面体の24のインスタンスに分割されます対称面によって区別されます。正四面体を構成する 24 個の特性四面体は、2 つの鏡像形式で存在し、それぞれ 12 個ずつ存在します。

正四面体の辺の長さが 𝒍 = 2 の場合、その特性四面体の 6 つの辺の長さは、直角三角形の外面の周りで 、 、 (特性角 𝟀、𝝉、𝟁 の反対側の辺) 、 [ ^b]プラス、、(正四面体の特性半径の辺) になります。正四面体の直交辺に沿った 3 辺のパスは、、で、最初に四面体の頂点から四面体の辺の中心まで行き、次に 90° 回転して四面体面の中心まで行き、次に 90° 回転して四面体の中心まで行きます。正四面体には 4 つの異なる直角三角形の面があります。外面は60-90-30 の三角形で、四面体面の 6 分の 1 の大きさです。四面体の内部にある 3 つの面は、、 、の辺を持つ直角三角形、、 、の辺を持つ直角三角形、、の辺を持つ直角三角形です。 ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {4}{3}}}}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{3}}}}$${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {3}{2}}}}$${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{2}}}}$${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{6}}}}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{3}}}}$${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{6}}}}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {3}{2}}}}$${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{2}}}}$${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{3}}}}$${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{2}}}}$${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{6}}}}$${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {4}{3}}}}$${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {3}{2}}}}$${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{6}}}}$

空間充填四面体は、それ自身の直接合同なコピーまたは鏡像コピー（鏡像）を空間に詰め込みます。^[15]立方体は、6 つの 3-直交配位に分割でき、3 つは左手系、3 つは右手系（立方体の各面に 1 つずつ）であり、立方体は空間を充填できるため、立方体の特性 3-直交配位はこの意味で空間充填四面体です。（立方体の特性直交配位は、空間充填四面体の一種であるヒル四面体の一種です。すべての空間充填四面体は、立方体とはさみ合同です。）

二面体は、二面体四面体ハニカムのように、直接合同な意味で空間を満たす四面体になり得ます。しかし、正四面体は、それ自体では空間を満たすことができません（さらに、空間を満たすことができる他のどの多面体ともはさみ合同ではありません。ヒルベルトの第3の問題を参照）。四面体八面体ハニカムは、正四面体セルと正八面体セルを2:1の比率で 交互に配置して空間を満たします。

対称群の基本領域^[16]である不規則四面体は、グルサ四面体の一例です。グルサ四面体は、鏡映反射によってすべての正多面体（および他の多くの均一な多面体）を生成します。このプロセスは、ウィトフの万華鏡的構成と呼ばれます。

多面体の場合、ウィトフの構成では、万華鏡のように、3 つの鏡を互いに角度をつけて配置します。円筒形の万華鏡とは異なり、ウィトフの鏡はグルサ四面体の 3 つの面に配置され、3 つの鏡すべてが 1 つの点で交差します。(生成された多面体のCoxeter-Dynkin 図には、3 つの鏡を表す 3 つのノードが含まれます。各鏡のペア間の二面角は、図にエンコードされるほか、多面体の頂点への鏡の反射によって乗算される単一の生成点の位置もエンコードされます。)

3次元のハニカムを生成するグルサ四面体の中には、正四面体（立方体の特徴的な四面体）、二重正四面体（立方体の特徴的な四面体とその鏡像が面結合したもの）、および上に示した空間充填二面体があります。^[13]二面体は、二重正四面体とその鏡像が面結合したものです（四重正四面体）。したがって、これら3つのグルサ四面体と、それらが反射によって生成するすべての多面体は、立方体の特徴的な四面体に分解できます。

不規則な（マークのない）四面体の等長変換は、四面体の形状によって異なり、7 つのケースが考えられます。いずれの場合も、3 次元の点群が形成されます。面または辺のマークが含まれている場合、他の 2 つの等長変換（C ₃、[3] ⁺）と（S ₄、[2 ⁺、4 ⁺ ]）が存在する可能性があります。以下に、各タイプの四面体図を示します。辺は等長変換の等価性によって色分けされ、一意の辺は灰色で表示されます。

四面体の細分化は、計算幾何学および 3D モデリングで四面体を複数の小さな四面体に分割するプロセスです。このプロセスにより、四面体メッシュの複雑さと詳細度が向上し、数値シミュレーション、有限要素解析、およびコンピュータ グラフィックスで特に役立ちます。よく使用される細分化方法の 1 つに最長辺二分法 (LEB)があります。これは、四面体の最長辺を識別し、その中点で二分して、2 つの新しい小さな四面体を生成します。このプロセスを複数回繰り返し、前の各反復で生成されたすべての四面体を二分する場合、そのプロセスは反復 LEB と呼ばれます。

類似クラスとは、特定の位置、方向、スケールに関係なく、同じ幾何学的形状を持つ四面体の集合です。したがって、同じ類似クラスに属する 2 つの四面体は、アフィン変換によって相互に変換できます。反復分割法で類似クラスの数を制限することによる結果は、計算モデリングとシミュレーションにとって重要です。これにより、生成された四面体の形状とサイズのばらつきが軽減され、シミュレーション結果に悪影響を与える可能性のある非常に不規則な要素の形成が防止されます。

正四面体の反復LEBは、8つの類似クラスしか生成しないことが示されています。さらに、2つの最長辺が互いに接続されておらず、最長辺と最短辺の比が以下の正四面体の場合、反復LEBは37を超える類似クラスを生成することはありません。^[17]${\displaystyle {\sqrt {3/2}}}$

四面体の体積はさまざまな方法で求めることができます。四面体の体積は、ピラミッドの体積の公式を使って求めることができます。 ここでは、底面積、底辺から頂点までの高さです。これは、底辺の 4 つの選択肢のそれぞれに適用され、頂点から反対側の面までの距離は、これらの面の面積に反比例します。別の方法は、三角柱を 3 つの部分に分割することです。^[18]$${\displaystyle V={\frac {1}{3}}Ah.}$$${\displaystyle A}$${\displaystyle h}$

四面体の頂点を次のように考える: 四面体の体積は、行列式、^{[19]または単連結}グラフを形成する頂点のペアのその他の組み合わせによって求めることができる。この式を平行六面体の体積を計算する式と比較すると、四面体の体積は⁠に等しいと結論付けられる。$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} &=(a_{1},a_{2},a_{3}),\\\mathbf {b} &=(b_{1},b_{2},b_{3}),\\\mathbf {c} &=(c_{1},c_{2},c_{3}),\\\mathbf {d} &=(d_{1},d_{2},d_{3}).\end{aligned}}}$$ ${\textstyle {\frac {1}{6}}\det(\mathbf {a} -\mathbf {d} ,\mathbf {b} -\mathbf {d} ,\mathbf {c} -\mathbf {d} )}$1/6⁠ 3 つの収束辺を共有する任意の平行六面体の体積。

スカラー三重積の絶対値は、次の行列式の絶対値として表すことができます。

${\displaystyle 6\cdot V={\begin{Vmatrix}\mathbf {a} &\mathbf {b} &\mathbf {c} \end{Vmatrix}}}$ または、行ベクトルまたは列ベクトルとして表現されます。 ${\displaystyle 6\cdot V={\begin{Vmatrix}\mathbf {a} \\\mathbf {b} \\\mathbf {c} \end{Vmatrix}}}$  ${\displaystyle {\begin{cases}\mathbf {a} =(a_{1},a_{2},a_{3}),\\\mathbf {b} =(b_{1},b_{2},b_{3}),\\\mathbf {c} =(c_{1},c_{2},c_{3}),\end{cases}}}$ 

したがって

${\displaystyle 36\cdot V^{2}={\begin{vmatrix}\mathbf {a^{2}} &\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} &\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} \\\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} &\mathbf {b^{2}} &\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} \\\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} &\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} &\mathbf {c^{2}} \end{vmatrix}}}$ どこ ${\displaystyle {\begin{cases}\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =ab\cos {\gamma },\\\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} =bc\cos {\alpha },\\\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} =ac\cos {\beta }.\end{cases}}}$

ここで、、、であり、 ${\displaystyle a={\begin{Vmatrix}\mathbf {a} \end{Vmatrix}}}$${\displaystyle b={\begin{Vmatrix}\mathbf {b} \end{Vmatrix}}}$${\displaystyle c={\begin{Vmatrix}\mathbf {c} \end{Vmatrix}}}$

${\displaystyle V={\frac {abc}{6}}{\sqrt {1+2\cos {\alpha }\cos {\beta }\cos {\gamma }-\cos ^{2}{\alpha }-\cos ^{2}{\beta }-\cos ^{2}{\gamma }}},\,}$

ここで、α、β、γは頂点dに生じる平面角です。角度αは、頂点dと頂点bおよびcを結ぶ 2 つの辺の間の角度です。角度βは頂点aとcに対して同じ角度であり、γは頂点aとbの位置によって定義されます。

d = 0 を要求しない場合は

${\displaystyle 6\cdot V=\left|\det \left({\begin{matrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}&d_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}&d_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}&d_{3}\\1&1&1&1\end{matrix}}\right)\right|\,.}$

四面体の頂点間の距離が与えられれば、ケイリー・メンガー行列式を使って体積を計算できる。

${\displaystyle 288\cdot V^{2}={\begin{vmatrix}0&1&1&1&1\\1&0&d_{12}^{2}&d_{13}^{2}&d_{14}^{2}\\1&d_{12}^{2}&0&d_{23}^{2}&d_{24}^{2}\\1&d_{13}^{2}&d_{23}^{2}&0&d_{34}^{2}\\1&d_{14}^{2}&d_{24}^{2}&d_{34}^{2}&0\end{vmatrix}}}$

ここで、添え字i、j ∈ {1, 2, 3, 4}は頂点{ a、b、c、d }を表し、d _{ij は}それらの間の距離、つまり 2 つの頂点を結ぶ辺の長さです。行列式の値が負の場合、指定された距離では四面体を構築できないことを意味します。この公式はタルタリアの公式とも呼ばれ、15 世紀の画家ピエロ・デラ・フランチェスカが1 世紀のヘロンの三角形の面積の公式の 3 次元版として考案したものです。 ^[20]

、、を一点で交わる3辺の長さとし、、、をその反対側の辺の長さとします。四面体の体積は^[21]で表されます。 ここで、 上の式では6つの辺の長さが使用され、次の式では3つの辺の長さと3つの角度が使用されます。^[21]${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle z}$${\displaystyle V}$ $${\displaystyle V={\frac {\sqrt {4a^{2}b^{2}c^{2}-a^{2}X^{2}-b^{2}Y^{2}-c^{2}Z^{2}+XYZ}}{12}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}X&=b^{2}+c^{2}-x^{2},\\Y&=a^{2}+c^{2}-y^{2},\\Z&=a^{2}+b^{2}-z^{2}.\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle V={\frac {abc}{6}}{\sqrt {1+2\cos {\alpha }\cos {\beta }\cos {\gamma }-\cos ^{2}{\alpha }-\cos ^{2}{\beta }-\cos ^{2}{\gamma }}}}$$

四面体の体積はヘロンの公式を使って求めることができます。次の図のように、、、、、が四面体の辺の長さであるとします。ここで、最初の 3 つは三角形を形成し、その反対側には、、反対側に は 、反対側にはがあります。そして、 と ${\displaystyle U}$${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$${\displaystyle u}$${\displaystyle v}$${\displaystyle w}$${\displaystyle u}$${\displaystyle U}$${\displaystyle v}$${\displaystyle V}$${\displaystyle w}$${\displaystyle W}$$${\displaystyle V={\frac {\sqrt {\,(-p+q+r+s)\,(p-q+r+s)\,(p+q-r+s)\,(p+q+r-s)}}{192\,u\,v\,w}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}p={\sqrt {xYZ}},&\quad q={\sqrt {yZX}},\\r={\sqrt {zXY}},&\quad s={\sqrt {xyz}},\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}X=(w-U+v)(U+v+w),&\quad x=(U-v+w)(v-w+U),\\Y=(u-V+w)(V+w+u),&\quad y=(V-w+u)(w-u+V),\\Z=(v-W+u)(W+u+v),&\quad z=(W-u+v)\,(u-v+W).\end{aligned}}}$$

四面体の双中線（反対側の辺の中点を結ぶ線）を含む平面は、四面体の体積を二等分する。 ^[22]

双曲空間または3次元楕円幾何学における四面体の場合、四面体の二面角によって形状が決まり、したがって体積も決まります。これらの場合、体積は村上純と矢野正和に倣った村上・矢野公式によって与えられます。 ^[23]しかし、ユークリッド空間では、四面体を拡大縮小すると体積は変わりますが二面角は変わりません。そのため、このような公式は存在しません。

四面体の任意の2つの反対側の辺は2つの斜線上にあり、辺間の距離は2つの斜線間の距離として定義されます。反対側の辺によって形成される斜線間の距離を、ここで計算したようにとします。すると、四面体の体積の別の式は次のように与えられます。 ${\displaystyle d}$${\displaystyle a}$${\displaystyle \mathbf {b} -\mathbf {c} }$${\displaystyle V}$$${\displaystyle V={\frac {d|(\mathbf {a} \times \mathbf {(b-c)} )|}{6}}.}$$

四面体は、内接球、外接球、内接四面体、外接球など、三角形と類似した多くの性質を持っています。四面体には、内心、外心、外心、シュピーカー中心、重心などのそれぞれの中心があります。しかし、一般的には交差する高度という意味での垂心はありません。^[24]

ガスパール・モンジュは、すべての四面体に存在する中心を発見しました。これは現在モンジュ点として知られています。これは、四面体の 6 つの中面が交差する点です。中面は、任意の 2 つの頂点を結合する辺に直交し、他の 2 つの頂点を結合して形成される反対側の辺の重心も含む平面として定義されます。四面体の高度が交差する場合、モンジュ点と垂心が一致し、垂心四面体のクラスになります。

モンジュ点から任意の面へ下ろした直交線は、その面の垂心と反対側の頂点から下ろした高度の足元を結ぶ線分の中点でその面と交わります。

四面体の頂点と反対側の面の重心を結ぶ線分は中線と呼ばれ、2つの反対側の辺の中点を結ぶ線分は四面体の二重中線と呼ばれます。したがって、四面体には4つの中線と3つの二重中線があります。これらの7つの線分はすべて、四面体の重心と呼ばれる点で一致しています。 ^[25]さらに、4つの中線は重心によって3:1の比率で分割されます（コマンドーの定理を参照）。四面体の重心は、モンジュ点と外心の中点です。これらの点は、三角形のオイラー線に類似した四面体のオイラー線を定義します。

一般三角形の9点円は、四面体の中心四面体の外接球に類似している。これは12点球であり、基準四面体の4面の重心のほかに、モンジュ点から4つの頂点のそれぞれに向かって3分の1の距離にある4つの代替オイラー点を通過する。最後に、各オイラー点からそのオイラー点を生成した頂点を含まない面まで下ろした直交線の4つの底点を通過する。^[26]

12 点球の中心Tもオイラー線上にあります。三角形の場合とは異なり、この中心はモンジュ点Mから外心に向かって 1/3 のところにあります。また、T を通って選択した面まで引いた直交線は、同じ面への他の 2 本の直交線と同一平面にあります。1 つ目は、対応するオイラー点を通って選択した面まで引いた直交線です。2 つ目は、選択した面の重心を通る直交線です。12 点中心を通るこの直交線は、オイラー点直交線と重心直交線の中間にあります。さらに、どの面でも、12 点中心は、対応するオイラー点とその面の垂心との中点にあります。

12 点球の半径は、基準四面体の円周半径の 3 分の 1 です。

一般的な四面体の面が作る角度には次のような関係があり、^[27]

${\displaystyle {\begin{vmatrix}-1&\cos {(\alpha _{12})}&\cos {(\alpha _{13})}&\cos {(\alpha _{14})}\\\cos {(\alpha _{12})}&-1&\cos {(\alpha _{23})}&\cos {(\alpha _{24})}\\\cos {(\alpha _{13})}&\cos {(\alpha _{23})}&-1&\cos {(\alpha _{34})}\\\cos {(\alpha _{14})}&\cos {(\alpha _{24})}&\cos {(\alpha _{34})}&-1\\\end{vmatrix}}=0\,}$

ここで、α _{ij は}面iと面jの間の角度です。

四面体の頂点位置座標の 幾何学的中線と等角中心は、三角形の場合と類似の状況で関連している。ローレンツ・リンデレーフは、任意の四面体に対応して、現在等角中心として知られている点Oがあり、そこでは面によって囲まれる立体角が等しく、共通の値 π srを持ち、反対側の辺によって囲まれる角度が等しいことを発見した。^[28] 立体角 π sr は、空間全体が囲む立体角の 4 分の 1 である。四面体の頂点のすべての立体角が π sr より小さい場合、O は四面体の内側にあり、Oから頂点までの距離の合計が最小であるため、O は頂点の幾何学的中線Mと一致する。頂点の 1 つv の立体角がちょうど π sr である場合、OとM はvと一致します。ただし、四面体の頂点vの立体角が π sr より大きい場合、M はvに対応しますが、O は四面体の外側にあります。

正四面体は 3 次元単体です。他のプラトン立体とは異なり、正四面体の頂点はすべて互いに等距離にあります (3 次元空間で等距離にある 4 つの点の配置は、電磁気学の例ではこれが唯一可能です (トムソン問題を参照))。

上記の埋め込みにより、立方体は 5 つの四面体に分割され、そのうち 1 つは正四面体です。実際、立方体を構成するために必要な四面体の最小数は 5 です。これを理解するために、4 つの頂点を持つ基本四面体から始めて、追加された四面体ごとに最大 1 つの新しい頂点が追加されます。したがって、8 つの頂点を持つ立方体を作成するには、少なくともさらに 4 つを追加する必要があります。

5 つの立方体の正則複合体の内側に四面体を内接させると、5 個と 10 個の四面体を含む 2 つの正則複合体が得られます。

正四面体だけでは空間をタイル状に敷き詰めることはできませんが、この結果は、アリストテレスがそれが可能であると主張したほど十分にありそうなことです。ただし、2 つの正四面体を八面体と組み合わせると、四面体-八面体ハニカムとして空間をタイル状に敷き詰めることができる菱形面体が得られます。

一方、立方体の特徴的な正方格子や二蝶形四面体ハニカムの二蝶形など、不規則な四面体のコピーが空間を敷き詰めることができるものがいくつか知られている。完全なリストは未解決の問題である。^[29]

四面体がすべて同じ形であるという要件を緩和すると、四面体だけを使用してさまざまな方法で空間をタイル張りすることができます。たとえば、八面体を 4 つの同一の四面体に分割し、それらを 2 つの正四面体と再び組み合わせることができます。(補足: これら 2 種類の四面体の体積は同じです。)

四面体は、均一な多面体の中では平行な面を持たない点で 独特です。

通常の正弦法則の帰結として、頂点O、A、B、Cを持つ四面体では、

${\displaystyle \sin \angle OAB\cdot \sin \angle OBC\cdot \sin \angle OCA=\sin \angle OAC\cdot \sin \angle OCB\cdot \sin \angle OBA.\,}$

この恒等式の 2 つの側面は、表面の時計回りと反時計回りの方向に対応していると考えることができます。

4 つの頂点のいずれかをOの役割に置くと、そのような恒等式が 4 つ生成されますが、そのうち独立しているのは最大で 3 つだけです。つまり、3 つの恒等式の「時計回り」の辺を乗算し、その積が同じ 3 つの恒等式の「反時計回り」の辺の積に等しいと推定し、両側から共通因数を消去すると、結果は 4 番目の恒等式になります。

3 つの角は、その合計が 180° (π ラジアン) である場合にのみ、ある三角形の角である。12 の角が四面体の 12 の角となるには、どのような条件が必要かつ十分か。明らかに、四面体のどの辺の角の合計も 180° でなければならない。そのような三角形が 4 つあるため、角の合計には 4 つの制約があり、自由度の数は 12 から 8 に減少する。この正弦法則によって与えられる 4 つの関係により、自由度の数は 8 から 4 ではなく 5 にさらに減少する。これは、4 番目の制約が最初の 3 つの制約と独立していないためである。したがって、すべての四面体の形状の空間は 5 次元である。^[30]

、、を四面体の点とする。頂点の反対側の面の面積を、辺に隣接する四面体の2つの面の間の二面角をとする。四面体の面の面積と頂点の周りの二面角を関連付ける四面体の余弦定理は、次の関係で与えられる：^[31]${\displaystyle P_{1}}$${\displaystyle P_{2}}$${\displaystyle P_{3}}$${\displaystyle P_{4}}$${\displaystyle \Delta _{i}}$${\displaystyle P_{i}}$${\displaystyle \theta _{ij}}$${\displaystyle P_{i}P_{j}}$ $${\displaystyle \Delta _{i}^{2}=\Delta _{j}^{2}+\Delta _{k}^{2}+\Delta _{l}^{2}-2(\Delta _{j}\Delta _{k}\cos \theta _{il}+\Delta _{j}\Delta _{l}\cos \theta _{ik}+\Delta _{k}\Delta _{l}\cos \theta _{ij})}$$

P を体積Vの四面体の任意の内点とし、その頂点をA、B、C、Dとし、向かい合う面の面積をF _a、F _b、F _c、F _dとすると、^{[32] : p.62、#1609}

${\displaystyle PA\cdot F_{\mathrm {a} }+PB\cdot F_{\mathrm {b} }+PC\cdot F_{\mathrm {c} }+PD\cdot F_{\mathrm {d} }\geq 9V.}$

頂点A、B、C、D、内点P、Pから面への垂線の足J、K、L、Mについて、面の面積が等しいとすると、^{[32] : p.226、#215}

${\displaystyle PA+PB+PC+PD\geq 3(PJ+PK+PL+PM).}$

四面体の内接円をr、その三角形の面の内接円の半径をr _i（i = 1, 2, 3, 4）とすると、 ^{[32] : p.81, #1990}

${\displaystyle {\frac {1}{r_{1}^{2}}}+{\frac {1}{r_{2}^{2}}}+{\frac {1}{r_{3}^{2}}}+{\frac {1}{r_{4}^{2}}}\leq {\frac {2}{r^{2}}},}$

四面体が正四面体である場合にのみ等しくなります。

A ₁、A ₂、A ₃、A _{4 が}各面の面積を表す場合、 rの値は次のように表される。

${\displaystyle r={\frac {3V}{A_{1}+A_{2}+A_{3}+A_{4}}}}$。

この式は、四面体を、元の面の 1 つの 3 つの点と内心を頂点とする 4 つの四面体に分割することで得られます。4 つのサブ四面体が体積を埋め尽くすため、次の式が得られます。 ${\displaystyle V={\frac {1}{3}}A_{1}r+{\frac {1}{3}}A_{2}r+{\frac {1}{3}}A_{3}r+{\frac {1}{3}}A_{4}r}$

四面体の円周半径をRとする。頂点で交わる 3 辺の長さをa、b、cとし、反対側の辺の長さをA、B、Cとする。四面体の体積をVとする。すると^{[33] [34]}

${\displaystyle R={\frac {\sqrt {(aA+bB+cC)(aA+bB-cC)(aA-bB+cC)(-aA+bB+cC)}}{24V}}.}$

四面体の外心は、3つの二等分面の交点として求められる。二等分面は、四面体の辺を中心とし、辺に直交する平面として定義される。この定義によれば、頂点x ₀、x ₁、x ₂、x ₃を持つ四面体の外心Cは、行列ベクトル積として定式化できる。^[35]

${\displaystyle {\begin{aligned}C&=A^{-1}B&{\text{where}}&\ &A=\left({\begin{matrix}\left[x_{1}-x_{0}\right]^{T}\\\left[x_{2}-x_{0}\right]^{T}\\\left[x_{3}-x_{0}\right]^{T}\end{matrix}}\right)&\ &{\text{and}}&\ &B={\frac {1}{2}}\left({\begin{matrix}\|x_{1}\|^{2}-\|x_{0}\|^{2}\\\|x_{2}\|^{2}-\|x_{0}\|^{2}\\\|x_{3}\|^{2}-\|x_{0}\|^{2}\end{matrix}}\right)\\\end{aligned}}}$

重心とは対照的に、外心は必ずしも四面体の内側にあるとは限りません。鈍角三角形と同様に、鈍角四面体の場合、外心はオブジェクトの外側にあります。

四面体の重心は、4 つの頂点の算術平均として計算できます。 重心を参照してください。

任意の3つの面の面積の合計は、4番目の面の面積よりも大きい。^{[32] : p.225、#159}

辺の長さ、面積、体積が整数である四面体が存在する。これらはヘロン四面体と呼ばれる。1つの例では、1辺の長さが896、反対側の辺の長さが990、他の4辺の長さが1073である。2つの面は面積が2の二等辺三角形である。436 800で、他の2つは面積が47 120、ボリュームは124 185 600 . ^[36]

四面体は整数の体積と連続する整数の辺を持つことができ、例としては辺が6、7、8、9、10、11で体積が48の四面体が挙げられる。^[37]

正四面体は三角錐として見ることができます。

正四面体は、基底多角形が縮小された二角形である、退化した多面体、つまり均一な二角形逆柱として考えることができます。

正四面体は、2 組の共線的な辺を持つ 6 つの頂点を持つ、 退化した多面体、均一な二重二角台形として考えることができます。

四面体に切り詰め処理を施すと、一様な多面体のシリーズが生成されます。辺を点まで切り詰めると、八面体が平行四面体として生成されます。この処理は二重平行化として完了し、元の面が点まで縮小され、再び自己双対四面体が生成されます。

この多面体は、シュレーフリ記号{3, n }を持つ正多面体の列の一部として位相的に関連付けられており、双曲平面まで続きます。

四面体は、一連の正多面体および 3 次頂点図形を持つタイリングと位相的に関連しています。

• 四面体の化合物
• 
  立方体の中にある2つの四面体
• 
  5つの四面体の複合体
• 
  10個の四面体の複合体

興味深い多面体は、交差する 5 つの四面体から構築できます。この5 つの四面体の複合体は、何百年も前から知られています。折り紙の世界では頻繁に登場します。20 個の頂点を結合すると、正十二面体が形成されます。左手型と右手型の両方があり、これらは互いに鏡像です。両方の形式を重ねると、 10 個の四面体の複合体が得られ、10 個の四面体は 5 組のstellae octangulaeとして配置されます。stella octangula は、2 つの四面体が二重の位置にある複合体であり、その 8 つの頂点は、凸包として立方体を定義します。

正方正六面体は 4 つの面を持つ別の多面体ですが、三角形の面はありません。

シラッシ多面体と四面体は、各面が他の面と辺を共有する唯一の多面体として知られています。さらに、チャサール多面体（それ自体がシラッシ多面体の双対）と四面体は、すべての対角線が側面にある唯一の多面体として知られています。

数値解析では、特に偏微分方程式の数値解法において、有限要素解析の方程式を設定する過程で、複雑な 3 次元形状を不規則な四面体のポリゴン メッシュに分解または近似することがよく行われます。これらの方法は、数値流体力学、空気力学、電磁場、土木工学、化学工学、造船工学、および関連分野 での実用化に幅広く応用されています。

硬いエッジを持つ四面体は本質的に剛性があります。このため、スペースフレームなどのフレーム構造を強化するためによく使用されます。

四面体は、常に上向きの鋭い角を持つという性質から、 エリア拒否兵器を提供するためにカルトロップに使用されます。

大型のコンクリート四面体は、対戦車兵器として、あるいは海岸線の波を鎮める テトラポッドとして使用されてきました。

いくつかの飛行場には、2つの面が薄い素材で覆われた四面体の大きなフレームが回転軸に取り付けられており、常に風上を向いています。空中から見えるように十分に大きく作られており、時には照明が点灯します。その目的は、パイロットが風向を示すための基準として機能することです。^[38]

四面体の形状は、自然界では共有結合した分子に見られます。すべてのsp ³混成原子は、四面体の4つの角にある原子（または孤立電子対）に囲まれています。たとえば、メタン分子（CH
₄）またはアンモニウムイオン（NH⁺
₄）では、4 つの水素原子が中心の炭素原子または窒素原子を四面体対称で取り囲んでいます。このため、有機化学の主要なジャーナルの 1 つはTetrahedronと呼ばれています。完全な四面体の任意の 2 つの頂点間の中心角は arccos(− ⁠1/3⁠）、または約109.47°です。^[39]

水、H
₂Oも四面体構造を持ち、中心の酸素原子の周りに 2 つの水素原子と 2 つの孤立電子対があります。ただし、孤立電子対は単一の O–H 結合よりも反発力が強いため、四面体対称性は完全ではありません。

化学物質の混合物の 四元状態図は、四面体としてグラフィカルに表されます。

しかし、通信工学における四元状態図は、2次元平面上にグラフィカルに表現されます。

白リン同素体^[40]や、仮想四面体の誘導体として知られるテトラ-t-ブチルテトラヘドランなど、隣接する4つの原子の結合が四面体構造の側面を形成する形状を持つ分子が存在します。

6つの等しい抵抗器をはんだ付けして四面体を形成すると、任意の2つの頂点間で測定される抵抗は1つの抵抗器の抵抗の半分になります。^[41]

シリコンは固体電子機器で最も一般的に使用される半導体であり、その原子価は 4 であるため、シリコン内の 4 つの化学結合の四面体形状は、シリコンの結晶がどのように形成され、どのような形状をとる かに大きな影響を与えます。

四面体は、輝度軸が色空間を斜めに分割する場合（RGB、CMYなど）に特に使用される色空間変換アルゴリズムです。^[42]

紀元前 2600 年に遡るウル王のゲームは、四面体のサイコロを使ってプレイされました。

特にロールプレイングでは、この立体は4 面ダイスとして知られており、より一般的な多面体ダイスの 1 つで、出た目が底の周囲または上部の頂点に表示されます。ルービック キューブのようなパズルの中には、ピラミンクスやピラモルフィクスなど、四面体であるものもあります。

四面体仮説は、もともとウィリアム・ローシアン・グリーンが地球の形成を説明するために発表したもので、^[43] 20世紀初頭まで人気がありました。^{[44] [45]}

認知科学者で人工知能の専門家であるマービン・ミンスキーは、 HAL9000コンピュータや映画の他の側面についてキューブリックに助言したが、キューブリックは当初『2001年宇宙の旅』のモノリスを四面体にするつもりだったと述べている。キューブリックは、映像を見た観客がそれが何であるかを認識できなかったことと、一般の人々が理解できないものを映画に盛り込みたくなかったことから、四面体を使用するというアイデアを断念した。^[46]

正四面体は、6本の切れていないマッチ棒を使って4つの正三角形を作るという古いパズルの解答である。解答では、マッチ棒を四面体の辺に沿って配置する。^[47]

四面体グラフ
頂点	4
エッジ	6
半径	1
直径	1
胴回り	3
自己同型	24
彩度数	4
プロパティ	ハミルトニアン、正則、対称、距離正則、距離推移、3頂点連結、平面グラフ
グラフとパラメータの表

四面体の骨格（頂点と辺からなる）は、4つの頂点と6つの辺を持つグラフを形成する。これは、完全グラフK 4 とホイールグラフW 4 の特殊なケースである。[ 48 _]これは5_つの^プラトングラフのうちの1つであり、それぞれがそのプラトン立体の骨格である。

• ボルダイク・コクセターらせん
• メビウス構成
• カルトロップ
• 半超立方体と単体– n次元類似体
• ペンタコロン– 4次元アナログ
• シナジェティクス（フラー）
• 四面体凧
• 四面体数
• 四面体
• 四面体パッキング
• 三角錐– 2つの四面体を1つの面に沿って結合して構築されます
• 三直角四面体
• オルソスキーム

• Weisstein、Eric W.「テトラヘドロン」。MathWorld。
• 四面体やその他の多面体の無料の紙製モデル
• 驚くべき、空間を満たす非正規の四面体。これには、万華鏡としても知られる「四面体の回転リング」の説明も含まれています。