三角錐

三角錐
タイプ	双錐 デルタ面体 ジョンソン J 11 – J 12 – J 13
顔	6つの三角形
エッジ	9
頂点	5
頂点構成	${\displaystyle 3\times (3^{2})+6\times (3^{2})}$
対称グループ	${\displaystyle D_{3\mathrm {h} }}$
二面角（度）	ジョンソン固体として: 三角形から三角形まで: 70.5° 四面体が付いている場合の三角形同士の角度: 141.1°
二重多面体	三角柱
プロパティ	凸、 複合、 面推移

三角両錐は、2つの四面体を向かい合わせにして作られた6つの三角形の面を持つ六面体です。同じ形は三角両錐^{[1] [2]}または三角両錐^[3]としても知られています。これらの四面体が正多面体であれば、三角両錐のすべての面は正三角形になります。これは、デルタ面体、複合多面体、ジョンソン立体の例です。

多くの多面体は三角錐に関連しており、異なるアプローチから派生した類似の形状や、その二重多面体としての三角柱などがある。三角錐の応用には、その原子クラスターを記述する三角錐分子幾何学、トムソン問題の解決、18世紀までの 色順序システムの表現などがある。

他の双錐体と同様に、三角双錐体は2つの四面体を向かい合わせにすることで作ることができます。^[2]これらの四面体は三角形の底辺を覆い、結果として得られる多面体は6つの三角形、5つの頂点、9つの辺を持ちます。^[3]三角双錐体は、四面体が対称的に正則で、両方の頂点が底辺の中心を通る線上にある場合、直角双錐と呼ばれます。そうでない場合は斜角双錐です。^{[4] [5]}

シュタイニッツの定理によれば、グラフが平面（グラフの辺は交差せず、点で交差する）かつ3連結グラフ（任意の2つの頂点のうち1つを削除すると連結した部分グラフが残る）である場合、そのグラフは多面体の骨格として表すことができる。三角錐は、四面体を表すホイールグラフの頂点に1つの頂点を追加して構築された9つの辺を持つグラフで表される。^{[6] [7]}

他の直角両錐体と同様に、三角両錐体には三次元の点群対称性、すなわち12次の二面体群がある。三角両錐体は 対称軸（2つの頂点と底辺の中心を垂直に通る線）の周りを1、2/3、全角回転しても外観は変化せず、底辺の任意の二等分線と鏡映対称性を持つ。また、水平面を挟んで鏡映対称でもある。^[8]三角両錐体は面推移的、つまり等面体である。^[9]${\displaystyle D_{3\mathrm {h} }}$

正四面体であれば、三角錐のすべての辺の長さは等しく、正三角形の 面を形成する。正三角形のみの面を持つ多面体はデルタ面体と呼ばれる。凸デルタ面体は8つあり、そのうちの1つは正多角形の面を持つ三角錐である。^[1]すべての面が正多角形である凸多面体はジョンソン立体であり、すべての凸デルタ面体はジョンソン立体である。正面を持つ三角錐は12番目のジョンソン立体として番号が付けられている。^{[10]これは2つ}の正四面体を結合して構成されるため、複合多面体の例である。^{[11] [12]}${\displaystyle J_{12}}$

三角形の両錐の表面積は、それぞれの三角形の6倍である。その体積は、それを2つの四面体に分割し、それらの体積を足すことで計算できる。辺の長さの場合、これは次のようになる。^[12]${\displaystyle A}$${\displaystyle V}$${\displaystyle a}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}A&={\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}a^{2}&\approx 2.598a^{2},\\V&={\frac {\sqrt {2}}{6}}a^{3}&\approx 0.238a^{3}.\end{aligned}}}$$

三角形双錐の二面角は、2つの正四面体の二面角を足し合わせることで得られる。三角形双錐の隣接する三角形の面間の二面角は、正四面体の二面角の70.5度である。2つの四面体が接する辺では、隣接する三角形の二面角はその2倍の141.1度である。^[13]

いくつかの種類の三角錐は、異なる方法で生成されることがあります。多面体のクリートープは、ピラミッドの取り付けを伴う構造です。三角錐のクリートープは、三角錐の各面に四面体を取り付け、それらを3つの他の三角形に置き換えることで構築できます。結果として得られる多面体の骨格は、ゴールドナー・ハラリーグラフを表します。^{[14] [15]}別の種類の三角錐は、頂点を切り落とすことで生成され、これを切り捨てと呼びます。^[16]

双角錐は、角柱の双対多面体である。つまり、双角錐の頂点は角柱の面に対応し、一方の頂点のペア間の辺は、もう一方の面のペア間の辺に対応する。これを2倍にすると、元の多面体になる。三角双角錐は三角柱の双対多面体であり、その逆もまた同様である。^{[17] [3]}三角柱には、5つの面、9つの辺、6つの頂点があり、三角双角錐と同じ対称性を持つ。^[3]

トムソン問題は、球面上の荷電粒子の最小エネルギー配置に関する問題である。5つの電子の場合、三角錐の頂点を球面内に配置する三角錐が既知の解法である。^[18]この解法は、数学的に厳密なコンピュータによって支援される。^[19]

化合物の三角両錐分子構造は、三角両錐の原子クラスターとして記述できます。この分子は、活性孤立電子対を持たない主族元素を持ち、 VSEPR理論として知られる分子構造を予測するモデルによって記述されます。^[20]この構造の例には、気相中の五フッ化リンや五塩化リンが含まれます。^[21]

色彩理論では、三角錐は原色の3次元色彩体系を表すために使われた。ドイツの天文学者トビアス・マイヤーは1758年に、その頂点それぞれが色を表し、白と黒がそれぞれ上と下の軸頂点であり、残りの頂点は赤、青、黄色であると記した。^{[22] [23]}