斜線

ねじれ直線のペアの各直線が、通過する2 つの点によって定義される場合、これらの 4 つの点は同一平面上には存在せず、したがって、体積がゼロでない正四面体の頂点でなければなりません。逆に、体積がゼロでない正四面体を定義する任意の 2 組の点は、ねじれ直線のペアも定義します。したがって、2 組の点がねじれ直線を定義するかどうかをテストするには、正四面体の 4 つの頂点に関する体積の公式を適用します。1 つの点を、その 3 つの要素が点の 3 つの座標値である1×3 ベクトルaとし、他の点を同様にb、c、dとすると、正四面体の体積の公式がゼロでない結果を与えるかどうかを確認することで、 aとbを通る直線がcとdを通る直線に対してねじれているかどうかを調べることができます。

${\displaystyle V={\frac {1}{6}}\left|\det \left[{\begin{行列}\mathbf {a} -\mathbf {b} \\\mathbf {b} -\mathbf {c} \\\mathbf {c} -\mathbf {d} \end{行列}}\right]\right|.}$

2つの線をベクトルとして表現する：

${\displaystyle {\text{1行目:}}\;\mathbf {v_{1}} =\mathbf {p_{1}} +t_{1}\mathbf {d_{1}} }$

${\displaystyle {\text{2行目:}}\;\mathbf {v_{2}} =\mathbf {p_{2}} +t_{2}\mathbf {d_{2}} }$

のクロス積${\displaystyle \mathbf {d_{1}} }$そして${\displaystyle \mathbf {d_{2}} }$線に垂直です。

${\displaystyle \mathbf {n} =\mathbf {d_{1}} \times \mathbf {d_{2}} }$

線2を平行移動して形成される平面${\displaystyle \mathbf {n} }$ポイントが含まれています$\displaystyle \mathbf {p_{2}} }$そして、${\displaystyle \mathbf {n_{2}} =\mathbf {d_{2}} \times \mathbf {n} }$。

したがって、線1と上述の平面との交点、すなわち線1上で線2に最も近い点は、次のように表される。

${\displaystyle \mathbf {c_{1}} =\mathbf {p_{1}} +{\frac {(\mathbf {p_{2}} -\mathbf {p_{1}} )\cdot \mathbf {n_{2}} }{\mathbf {d_{1}} \cdot \mathbf {n_{2}} }}\mathbf {d_{1}} }$

同様に、線 2 上で線 1 に最も近い点は、(ここで) で与えられる。${\displaystyle \mathbf {n_{1}} =\mathbf {d_{1}} \times \mathbf {n} }$）

${\displaystyle \mathbf {c_{2}} =\mathbf {p_{2}} +{\frac {(\mathbf {p_{1}} -\mathbf {p_{2}} )\cdot \mathbf {n_{1}} }{\mathbf {d_{2}} \cdot \mathbf {n_{1}} }}\mathbf {d_{2}} }$

斜線配置とは、すべてのペアが斜線である線の集合のことである。2つの配置は、一方の配置を他方の配置に連続的に変換でき、変換全体を通してすべてのペアの線が斜線のままであるという不変条件が維持される場合に、同位であると言われる。2本の線の任意の2つの配置は同位であることが容易にわかる。また、3次元より高い次元における同数の線の配置は常に同位であるが、3次元では3本以上の線の非同位配置が複数存在する。^{[ 2 ]} R3におけるn本の線の非同位配置の数^（n =1から始まる）は、

1、1、2、3、7、19、74、... （OEISの配列A110887）。

直線Lを、それと垂直ではないがねじれ角を持つ別の直線M の周りに回転させると、 Lによって掃引される回転面は、1 葉双曲面になります。例えば、図に示されている 3 つの双曲面は、中央の白い垂直線Mの周りに直線Lを回転させることで、このように形成できます。この回転面内のLのコピーは、レギュラスを形成します。双曲面には、M からLと同じ距離にあり、かつ反対の角度を持つ、 Mに対してねじれ角を持つ別の直線群も含まれており、これらが反対のレギュラスを形成します。2 つのレギュラスは、双曲面を線織面として示します。

この線織面のアフィン変換によって、一般にLをL'の周りに回転させて得られる円形断面ではなく楕円断面を持つ面が生成されます。このような面は一葉双曲面とも呼ばれ、やはり互いにねじれ合う2つの線族によって支配されています。 3番目のタイプの線織面は双曲放物面です。一葉双曲面と同様に、双曲放物面も2つのねじれ線族を持ちます。それぞれの線族において、線は互いに平行ではありませんが、共通の平面に平行です。R ^{3内の任意}の3つのねじれ線は、これらのタイプの線織面のちょうど1つ上にあります。^{[ 3 ]}

3本のねじれ線が他の3本のねじれ線と交わる場合、最初の3本の任意の横断線は2番目の3本の任意の横断線と交わる。^{[ 4 ] [ 5 ]}