トリアキス四面体

幾何学において、三角四面体（さんかくしよんしよめんたい、英: triakistetrahedron ）またはキステテトラヘドロン^[1]は、12面を持つカタラン立体である。各カタラン立体はアルキメデス立体の双対である。三角四面体の双対は切頂四面体である。

トリアキス四面体は、各面に三角錐が追加された四面体と見ることができます。つまり、四面体のクリートープです。これは5 セルのネットと非常によく似ています。四面体のネットは三角形で、各辺に別の三角形が追加されていますが、5 セルのネットは四面体で、各面にピラミッドが取り付けられています。この解釈は名前に表れています。

短辺の長さは⁠3/5⁠長い辺の長さの面積Aと体積Vは、次の式で表されます。^[2]短い辺の長さ「a」を持つ三角四面体の面積Aと体積Vは、次の式で表されます。

A = ⁠5/3⁠ √ 11 V = ⁠25/36⁠ √ 2 .

原点を中心とする三角四面体の8つの頂点の直交座標は、点（± ⁠5/3⁠、± ⁠5/3⁠、± ⁠5/3⁠）のマイナス記号の数が偶数の場合と、マイナス記号の数が奇数の場合の点（±1、±1、±1）の場合を示します。

• （⁠5/3⁠、⁠5/3⁠、⁠5/3⁠）、（⁠5/3⁠、 − ⁠5/3⁠、 − ⁠5/3⁠）、（− ⁠5/3⁠、⁠5/3⁠、 − ⁠5/3⁠）、（− ⁠5/3⁠、 − ⁠5/3⁠、⁠5/3⁠ )
• (−1, 1, 1)、(1, −1, 1)、(1, 1, −1)、(−1, −1, −1)

この三角四面体の短い辺の長さは 2 √ 2です。面は 1 つの鈍角と 2 つの鋭角を持つ二等辺三角形です。鈍角は arccos(– ⁠7/18⁠）≈ 112.885 380 476 16 ° であり、鋭角のものはarccos( ⁠5/6⁠）≈33.557 309 761 92 °。

三角四面体は、四面体の退化極限として作ることができます。

正三角形の面を持つ三角四面体は、5 セルとして知られる 4 次元正多面体のネットを表します。

三角形が直角二等辺三角形の場合、面は同一平面上にあり、立方体の体積を形成します。これは、立方体の内部に四面体の 6 つの辺を追加するとわかります。

モジュラー折り紙では、6 つの園部モジュールを接続して三角四面体を形成した 結果です。

このカイラル図形は、ミラーの規則によって許可される13 個の星形のうちの 1 つです。

三角四面体は、双曲平面にまで広がる多面体とタイリングの連続体の一部です。これらの面遷移図形は、(* n 32) 反射対称性を持ちます。

• 切頂三角四面体

• ウィリアムズ、ロバート(1979)。自然構造の幾何学的基礎: デザインのソースブック。Dover Publications、Inc. ISBN 0-486-23729-X。（第3-9節）
• ウェニンガー、マグナス（1983）、デュアルモデル、ケンブリッジ大学出版局、doi：10.1017/CBO9780511569371、ISBN 978-0-521-54325-5、MR  0730208(13 個の半正凸多面体とその双対、14 ページ、三角正四面体)
• 物事の対称性2008、ジョン・H・コンウェイ、ハイディ・バーギエル、チャイム・グッドマン・シュトラウス、ISBN 978-1-56881-220-5 [1] （第21章、アルキメデスとカタロニアの多面体とタイリングの命名、284ページ、トリアキス四面体） 

• Weisstein, Eric W.、「Triakis 四面体」（「カタロニア立体」）（MathWorld）