外球（多面体）

辺の長さがaの正四面体の幾何学に適用すると、内接円の半径r _in = a /(2 √ 3 ) (面の面積( a ² √ 3 )/4 を周長3 aで 2 回割ることによって得られる)、二面角δ = π - arccos(1/3)が得られ、結果としてr _ex = a / √ 6となります。

立方体の6つの面の外接球の半径は、 δとその補角が同じ90度である ため、内接球の半径と同じです。

正二十面体に適用される二面角は、共通の辺を持つ2つの三角形の座標を考慮することによって導出されます。たとえば、頂点が にある面を考えます。

${\displaystyle (0,-1,g),(g,0,1),(0,1,g),}$

もう一方の

${\displaystyle (1,-g,0),(g,0,1),(0,-1,g),}$

ここでgは黄金比である。頂点座標を減算するとエッジベクトルが定義される。

${\displaystyle (g,1,1-g),(-g,1,g-1)}$

最初の顔と

${\displaystyle (g-1,g,1),(-g,-1,g-1)}$

他方の面。第１面と第２面の辺のクロス積は、（正規化されていない）面法線ベクトルを与える。

${\displaystyle (2g-2,0,2g)\sim (g-1,0,g)}$

最初と

${\displaystyle (g^{2}-g+1,-g-(g-1)^{2},1-g+g^{2})=(2,-2,2)\sim (1,-1,1)}$

²番目の面の法線ベクトルの内積は、二面角のコサインになります。

${\displaystyle \cos \delta ={\frac {(g-1)\cdot 1+g\cdot 1}{{\sqrt {(g-1)^{2}+g^{2}}}{\sqrt {3}}}}={\frac {2g-1}{3}}={\frac {\surd 5}{3}}\approx 0.74535599.}$OEIS：A208899 

$したがって、デルタは約 0.72973 ラジアン、約 41.81 度となります。$

$したがって、tan{\frac{\delta}{2}}={\frac{\sin\delta}{1+\cos\delta}}={\frac{2}{3+\surd 5}}\approx 0.3819660}$OEIS：A132338 

辺の長さがaの正二十面体の場合、三角形の面の内接円半径はr _in = a /(2 √ 3 )であり、最後に 20 個の外接球の半径は

${\displaystyle r_{\mathrm {ex} }={\frac {a}{(3+{\sqrt {5}}){\sqrt {3}}}}\approx 0.1102641a.}$