中央値（ジオメトリ）

幾何学において、三角形の中線とは、頂点と反対側の辺の中点を結び、その辺を二等分する線分のことです。すべての三角形には、各頂点から 1 本ずつ、合計 3 本の中線があり、それらはすべて三角形の重心で交差します。二等辺三角形と正三角形の場合、中線は、隣接する 2 辺の長さが等しい頂点で任意の角度を二等分します。中線の概念は、四面体にも適用されます。

三角形の各中線は、三角形の重心を通過します。重心は、三角形と一致する、均一な密度の無限に薄い物体の質量の中心です。 ^[1]したがって、物体は中線の交点でバランスをとります。重心は、どの中線上でも、中線が交差する辺に、中線が発する頂点に 2 倍近くなります。

それぞれの中線は三角形の面積を半分に分割するため、その名前が付けられ、均一な密度の三角形はどの中線でもバランスが取れます。（三角形の面積を2等分する他の線は重心を通りません。）^{[2] [3]} 3つの中線は三角形を面積が等しい6つの小さな三角形に分割します。

三角形ABC を考えます。の中点をD、の中点をE、の中点をF、重心（通常はGと表記されます） をOとします。${\displaystyle {\overline {AB}}}$${\displaystyle {\overline {BC}}}$${\displaystyle {\overline {AC}}}$

定義により、となります。したがって、 およびとなり、 は三角形 の面積を表します 。これらは、いずれの場合も 2 つの三角形の底辺の長さが等しく、底辺 (延長した底辺) からの高さが共通であり、三角形の面積が底辺の半分 × 高さに等しいために成立します。 ${\displaystyle AD=DB,AF=FC,BE=EC}$${\displaystyle [ADO]=[BDO],[AFO]=[CFO],[BEO]=[CEO],}$${\displaystyle [ABE]=[ACE]}$${\displaystyle [ABC]}$${\displaystyle \triangle ABC}$

我々は持っています：

${\displaystyle [ABO]=[ABE]-[BEO]}$

${\displaystyle [ACO]=[ACE]-[CEO]}$

したがって、そして${\displaystyle [ABO]=[ACO]}$${\displaystyle [ADO]=[DBO],[ADO]={\frac {1}{2}}[ABO]}$

なので、したがって、 です。 同じ方法を使用して、 であることが示せます。 ${\displaystyle [AFO]=[FCO],[AFO]={\frac {1}{2}}[ACO]={\frac {1}{2}}[ABO]=[ADO]}$${\displaystyle [AFO]=[FCO]=[DBO]=[ADO]}$${\displaystyle [AFO]=[FCO]=[DBO]=[ADO]=[BEO]=[CEO]}$

2014年にリー・サローズは次の定理を発見した: ^[4]

任意の三角形の中線は、上図のように、6 つの等しい面積の小さな三角形に分割します。この図では、3 つの隣接する三角形のペアが中点 D、E、および F で交わります。このような各ペアの 2 つの三角形を、共通の中心点を中心に回転させて、共通の辺を共有するように交わると、各ペアの結合によって形成される 3 つの新しい三角形は合同になります。

中線の長さは、アポロニウスの定理から次のように求められます。 $${\displaystyle m_{a}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}}}$$ $${\displaystyle m_{b}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2a^{2}+2c^{2}-b^{2}}}}$$ $${\displaystyle m_{c}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2a^{2}+2b^{2}-c^{2}}}}$$ ここで、 と は、それぞれ中点からの 中線とを持つ三角形の辺です。${\displaystyle a,b,}$${\displaystyle c}$${\displaystyle m_{a},m_{b},}$${\displaystyle m_{c}}$

これらの式は次の関係を暗示します。^[5] $${\displaystyle a={\frac {2}{3}}{\sqrt {-m_{a}^{2}+2m_{b}^{2}+2m_{c}^{2}}}={\sqrt {2(b^{2}+c^{2})-4m_{a}^{2}}}={\sqrt {{\frac {b^{2}}{2}}-c^{2}+2m_{b}^{2}}}={\sqrt {{\frac {c^{2}}{2}}-b^{2}+2m_{c}^{2}}}}$$ $${\displaystyle b={\frac {2}{3}}{\sqrt {-m_{b}^{2}+2m_{a}^{2}+2m_{c}^{2}}}={\sqrt {2(a^{2}+c^{2})-4m_{b}^{2}}}={\sqrt {{\frac {a^{2}}{2}}-c^{2}+2m_{a}^{2}}}={\sqrt {{\frac {c^{2}}{2}}-a^{2}+2m_{c}^{2}}}}$$ $${\displaystyle c={\frac {2}{3}}{\sqrt {-m_{c}^{2}+2m_{b}^{2}+2m_{a}^{2}}}={\sqrt {2(b^{2}+a^{2})-4m_{c}^{2}}}={\sqrt {{\frac {b^{2}}{2}}-a^{2}+2m_{b}^{2}}}={\sqrt {{\frac {a^{2}}{2}}-b^{2}+2m_{a}^{2}}}.}$$

三角形ABC、その重心G、BC、CA、ABの中点をそれぞれD、E、Fとする。ABCの平面上の任意の点Pについて、^[6] $${\displaystyle PA+PB+PC\leq 2(PD+PE+PF)+3PG.}$$

重心は各中線を 2:1 の比率で分割し、重心は、反対側の頂点よりも辺の中点に 2 倍近くなります。

辺と中線を持つ任意の三角形^[7]${\displaystyle a,b,c}$${\displaystyle m_{a},m_{b},m_{c},}$ $${\displaystyle {\tfrac {3}{4}}(a+b+c)<m_{a}+m_{b}+m_{c}}\quad {\text{ かつ }}\quad {\tfrac {3}{4}}\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)=m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}.}$$

長さの辺からの中線が垂直であるのは、^[8]${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle a^{2}+b^{2}=5c^{2}.}$

直角三角形の中線と斜辺は${\displaystyle c}$${\displaystyle m_{a}^{2}+m_{b}^{2}=5m_{c}^{2}.}$

任意の三角形の面積Tは、その中線、およびを用いて次のように表すことができます。それらの半和がで表される場合、 ^[9]${\displaystyle m_{a},m_{b}}$${\displaystyle m_{c}}$${\displaystyle \left(m_{a}+m_{b}+m_{c}\right)/2}$${\displaystyle \sigma}$ $${\displaystyle T={\frac {4}{3}}{\sqrt {\sigma \left(\sigma -m_{a}\right)\left(\sigma -m_{b}\right)\left(\sigma -m_{c}\right)}}.}$$

四面体は4つの三角形の面を持つ3次元の物体である。四面体の頂点と反対側の面の重心を結ぶ線分は、四面体の中線と呼ばれる。中線は4つあり、それらはすべて四面体の重心で一致する。^[10] 2次元の場合と同様に、四面体の重心は質量の中心である。しかし、2次元の場合と異なり、重心は中線を2:1の比率ではなく3:1の比率で分割する（コマンディーノの定理）。

• 角の二等分線
• 高度（三角形）
• オートメジアン三角形

ウィキメディア・コモンズには、中央値 (幾何学)に関連するメディアがあります。

• カット・ザ・ノットのメディアンズ
• 結び目を切ったときの中心三角形の面積
• 三角形の中線 インタラクティブアニメーション付き
• コンパスと定規を使って三角形の中線を描くアニメーションデモンストレーション
• Weisstein、Eric W.「三角形の中央値」。MathWorld。