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| 16細胞 （4オルソプレックス） | |
|---|---|
 シュレーゲル図 （頂点と辺） | |
| タイプ | 凸正多面体 4-正多面体 4-半立方体 4-半立方体 |
| シュレーフリ記号 | {3,3,4} |
| コクセター図 |     |
| 細胞 | 16 {3,3}  |
| 顔 | 32 {3}  |
| エッジ | 24 |
| 頂点 | 8 |
| 頂点図形 |  八面体 |
| ペトリー多角形 | 八角形 |
| コクセターグループ | B 4 , [3,3,4], 順序 384 D 4 , 順序 192 |
| デュアル | テッセラクト |
| プロパティ | 凸、等角、等軸、等面体、正多面体、ハンナー多面体 |
| 均一インデックス | 12 |
幾何学において、 16胞体（16そうたい、英: 16-cell ）は、シュレーフリ記号{3,3,4}で表される正凸4次元多面体（プラトン立体の4次元類似体）である。これは、 19世紀半ばにスイスの数学者ルートヴィヒ・シュレーフリによって初めて記述された6つの正凸4次元多面体の1つである。 [1] C 16、ヘキサデカコロン、[2]、ヘキサデカヘドロイド[ sic ? ]とも呼ばれる。[3]
これは、交差多面体、正八面体、または超八面体と呼ばれる無限の多面体族の4次元メンバーであり、 3次元の八面体と類似しています。これはコクセターの多面体です。[4]双対多面体は四次元立方体（4-立方体）であり、これと組み合わせて複合図形を形成できます。16セルのセルは、四次元立方体の16頂点と双対です。
幾何学
16セルは、6つの凸正則4次元多面体のシーケンスの中で2番目です（サイズと複雑さの順）。[a]
その後継となる4つの凸正則4次元多面体はそれぞれ、複数の16セルの多面体複合体の凸包として構築できます。16頂点の四次元体は2つの16セルの複合体、24頂点の24セルは3つの16セルの複合体、120頂点の600セルは15個の16セルの複合体、600頂点の120セルは75個の16セルの複合体です。[b]
座標
16 セルは 4 次元交差多面体 (4 直交多面体)であり、その頂点は (w、x、y、z) 直交座標系の 4 つの軸上で反対のペアになっていることを意味します。
8 つの頂点は (±1, 0, 0, 0)、(0, ±1, 0, 0)、(0, 0, ±1, 0)、(0, 0, 0, ±1) です。すべての頂点は、反対のペアを除いて辺で接続されています。辺の長さは√ 2です。
頂点座標は、6 つの座標平面に位置する6 つの直交中心正方形を形成します。軸を共有しない反対の平面 (たとえば、xy平面とwz平面) にある正方形は完全に分離しています (どの頂点でも交差しません)。[c]
16 セルは、その頂点が 4 つの直交軸を正確に定義するため、4 次元参照フレームの選択に対する 正規直交基底を構成します。
構造
16 セルのシュレーフリ記号は {3,3,4} で、セルが正四面体 {3,3} で頂点図形が正八面体 {3,4} であることを示します。頂点ごとに8つの四面体、12 の三角形、6 つの辺が接しています。辺図形は正方形です。頂点ごとに 4 つの四面体と 4 つの三角形が接しています。
16 セルは16 のセルによって囲まれており、そのすべてが正四面体です。[e] 32 の三角形の面、24 の辺、8 つの頂点があります。24 の辺は、 6 つの座標平面 (3 組の完全に直交する[f]大正方形) にある大円上にある 6 つの直交中心正方形を囲んでいます。各頂点では、3 つの大正方形が垂直に交差しています。6 つの辺は、標準的な八面体ピラミッドの頂点で 6 つの辺が交わるのと同じように、頂点で交わります。[d] 16 セルの 6 つの直交中心平面は、それぞれが 3 つの直交大正方形を持つ八面体を形成する 4 つの直交中心超平面 (3 次元空間) に分割できます。
回転
4 次元ユークリッド空間における回転は、完全に直交する平面における 2 つの 2 次元回転の合成として見ることができます。[6] 16 セルは、4 次元回転を観察するための単純なフレームです。16 セルの 6 つの大正方形のそれぞれに、別の完全に直交する大正方形があるためです (完全に直交する正方形のペアが 3 つあります)。[c] 16 セルの多くの回転は、その大正方形平面の 1 つ (たとえば、xy平面) の回転角度と、完全に直交する大正方形平面 ( wz平面)の別の回転角度によって特徴付けられます。[j]完全に直交する大正方形には、互いに重ならない頂点があります。16 セルの 8 つの頂点のうち 4 つは 1 つの平面で回転し、他の 4 つは完全に直交する平面で独立して回転します。[g]
2 次元または 3 次元では、回転は単一の回転面によって特徴付けられます。4 次元空間で発生するこの種の回転は単純回転と呼ばれ、2 つの完全に直交する面のうち 1 つだけが回転します (もう一方の面の回転角度は 0 です)。16 セルでは、6 つの直交面のうちの 1 つでの単純回転では、8 つの頂点のうち 4 つだけが移動し、残りの 4 つは固定されたままです。(上記の単純回転アニメーションでは、回転面が 6 つの直交基底面の 1 つではないため、8 つの頂点すべてが移動します。)
二重回転では、4 つの頂点の両方のセットが独立して動きます。回転角度は、2 つの完全に直交する平面で異なる場合があります。2 つの角度が同じになった場合は、最大限対称な等傾斜回転が行われます。[q] 16 セルでは、完全に直交する正方形平面の任意のペアを 90 度等傾斜回転すると、すべての正方形平面が完全に直交する正方形平面に移動します。[r]
建設
八面体双錐体
16 セルの最も単純な構成は、3 次元交差多面体である八面体上にあります。八面体には 3 つの垂直軸と 3 つの反対のペアに 6 つの頂点があります (ペトリ多角形は六角形です)。他の 3 つの軸すべてに垂直な 4 番目の軸上に、もう 1 組の頂点を追加します。新しい頂点をそれぞれ元の 6 つの頂点すべてに接続し、12 の新しい辺を追加します。これにより、16 セルの中央超平面にある共有八面体ベース上に2 つの八面体ピラミッドが作成されます。 [10]
構築の出発点となる八面体には、3 つの直交する正方形 (六角形の投影では長方形として表示されます) があります。各正方形は、2 つの反対の頂点で他の正方形と交差し、各頂点で2 つの正方形が交差します。次に、4 次元 (3 次元超平面の上下) にさらに 2 つの点が追加されます。これらの新しい頂点は八面体のすべての頂点に接続され、12 の新しい辺とさらに 3 つの正方形(投影では六角形の 3 つの直径として端から表示されます)、およびさらに 3 つの八面体が作成されます。[h]
また、前例のないものが作られました。各正方形は、他のすべての正方形と交差していないことに注意してください。4 つの正方形と交差しています (各頂点で3 つの正方形が交差するようになりました)。ただし、各正方形には、頂点を共有しない別の正方形が 1 つあります。つまり、その正方形と直接接続されていません。これらの 2 つの別々の垂直な正方形 (3 組あります) は、四面体の反対側の辺のようなものです。垂直ですが、交差していません。これらは、互いに向かい合って位置し (ある意味では平行)、接触していませんが、鎖の 2 つの垂直なリンクのように、互いに通過します (ただし、鎖のリンクとは異なり、共通の中心があります)。これらはクリフォード平行平面の例であり、16 セルはこれらが発生する最も単純な正多面体です。1次元以上のオブジェクト（単なる曲線ではない）のクリフォード平行性[l]はここで現れ、その後のすべての4次元正多面体で発生し、これは互いに素な同心正4次元多面体とその対応する部分の間の定義関係として見ることができます。これは、2次元以上の合同な（相似の）多面体間で発生することがあります。 [11]たとえば、上で述べたように、その後のすべての凸正4次元多面体は複数の16セルの複合体であり、それらの16セルはクリフォード平行多面体です。
四面体構造
16 セルには、正四面体からの 2 つのWythoff 構成、つまり正形式と交互形式があり、ここではネットとして示されています。2 番目の構成は、2 つの色が交互に変わる四面体セルによって表されています。交互形式は、16 セルの対称性の低い構成で、半四面体と呼ばれます。
ワイトホフの構築は、16 セルの特性 5 セルを鏡の万華鏡で複製する。すべての正 4 多面体には、特性 4 直交スキーム、つまり不規則な 5 セルがある。[s]正 4 多面体で四面体セルを持つものは 3 つある。5セル、16 セル、および600 セルである。すべて正四面体セルで囲まれているが、特性 5 セル (4 直交スキーム) は異なる四面体ピラミッドであり、すべて同じ特性不規則四面体に基づいている。これらは同じ種類のセルを持つため、同じ特性四面体(3 直交スキーム) と特性直角三角形(2 直交スキーム)を共有している。 [t]
通常の16セルの特性5セルは、コクセター・ディンキン図で表される。 は、鏡面間の二面角のリストとして読むことができます。これは、正四面体の特性四面体に基づく不規則四面体ピラミッドです。正 16 セルは、対称超平面によって、その中心ですべて出会う特性 5 セルの 384 個のインスタンスに分割されます。
特性 5 セル (4-直交配座) には、その基本特性四面体 (3-直交配座) よりも 4 つの辺が多く、底辺の 4 つの頂点を頂点 (4-直交配座の 5 番目の頂点、正 16 セルの中心) に接続します。[v]正 16 セルが単位半径の辺と辺の長さ 𝒍 = である場合、その特性 5 セルの 10 辺の長さは、その外部直角三角形面の周りで 、 、 (特性角 𝟀、𝝉、𝟁 と反対側の辺) 、 [ u]プラス、、(特性四面体の外部 3-直交配座面の他の 3 辺で、正四面体の特性半径)、プラス、、、(正 16 セルの特性半径である辺)。オルソスキームの直交エッジに沿った 4 エッジ パスは、、、、であり、最初に 16 セルの頂点から 16 セルのエッジ中心まで進み、次に 90° 回転して 16 セルの面中心まで進み、次に 90° 回転して 16 セルの四面体セル中心まで進み、最後に 90° 回転して 16 セル中心まで進みます。
らせん構造
16セルは、8つの連鎖した四面体からなる2つのBoerdijk-Coxeterらせんから（3つの異なる方法で）構築できます。各四面体は4次元でリングに曲げられています。[16] [17] 2つの円形らせんは、互いの周りをらせん状に回り、互いに入れ子になり、互いを通り抜けてホップリンクを形成します。 16の三角形の面は、三角形のタイリング内の2Dネットで見ることができ、各頂点の周りに6つの三角形があります。紫色のエッジは、16セルのペトリ多角形を表しています。 8つの四面体のセルリングには、異なる色の3つの八芒星、つまり八芒星の3番目の頂点ごとに16セルの周りを2回巻く8辺の円形のパスが含まれています。オレンジと黄色のエッジは、1つの八芒星の2つの4辺の半分であり、端を結合してメビウスの帯を形成します。
したがって、16 セルは、それぞれ 8 つの四面体からなる 2 つのセル分離円形チェーンに分解できます。各チェーンは 4 辺の長さで、1 つは右 (時計回り) に螺旋状になり、もう 1 つは左 (反時計回り) に螺旋状になります。左手と右手のセル リングは互いにフィットし、入れ子になって 16 セルを完全に埋めますが、それらは反対のキラリティーを持っています。この分解は、16 セルの4-4デュオアンチプリズム構成で確認できます。
または、シュレーフリ記号{2}⨂{2}またはs{2}s{2}、対称性[4,2 + ,4]、位数64。
3 本の 8 辺のパス (異なる色) が各 8 セル リングに沿って螺旋状になっており、各頂点で 90° の角度をなしています。(リングに曲げられる前の Boerdijk–Coxeter らせんでは、異なるパスの角度は異なりますが、90° ではありません。) 3 本のパス (3 つの異なる色と見かけの角度) が各頂点を通過します。らせんがリングに曲げられると、各 8 辺のパスのセグメント (さまざまな長さ) が両端を結合し、4𝝅 の片側円周に沿って長さ 8 辺、幅 1 辺のメビウスの帯を形成します。[p] 3 本の 8 辺のパスの 6 つの 4 辺の半分はそれぞれ 4 つの 90° の角度をなしていますが、 6 つの直交する大きな正方形ではありません。これらは端が開いた正方形で、端が反対側の頂点である 4 辺の 360° らせんです。4 つの辺は 4 つの異なる大きな正方形から来ており、相互に直交しています。同じキラリティーのペアで端から端まで結合された6 つの 4 辺のパスは、3 つの 8 辺のメビウスループ、つまりらせん状の八角形を形成します。各八角形は、16 セルのペトリ多角形であると同時に、16 セルの明確な等傾斜回転の 1 つで、8 つの頂点すべてが一緒に回転するらせん状の軌道でもあります。[w]
8 辺のらせんはそれぞれ、16 セルの周りを3 回巻き、すべての頂点を訪れてからループを閉じる斜めの 八角形{8/3}です。8 つの√ 2辺は等傾斜線の弦です。等傾斜線は、等傾斜回転中に 8 つの頂点が回るらせん状の弧です。[p] 8 つの 16 セルの頂点はすべて√ 2離れていますが、反対 (対蹠) の頂点は√ 4離れています。等傾斜線上を移動する頂点は、√ 4離れた 4 番目の頂点に到達する前に、√ 2離れた他の 3 つの頂点を訪れます。[o]
8 セル リングはキラルです。時計回りに螺旋する右巻き形式と、反時計回りに螺旋する左巻き形式があります。16 セルにはそれぞれ 1 つずつ含まれているため、左等傾斜と右等傾斜も含まれています。等傾斜は、8 セル リングがねじれる円軸です。各等傾斜は、16 セルの 8 つの頂点すべてを訪れます。[ab]各 8 セル リングには、16 セルの半分が含まれますが、8 つの頂点はすべて含まれます。2 つのリングは頂点を共有しており、互いに入れ子になってフィットします。また、左と右の八角形ヘリックスは 8 辺のパスが異なりますが、24 辺も共有しています。[ac]
完全に直交する大正方形が 3 組あるため、[c] 2 つの 8 セル リングから 16 セルを構成する 3 つの合同な方法があります。16 セルには、異なる方向にある 3 つの左右の 8 セル リングのペアがあり、各セル リングにはその軸等傾斜があります。[w]左右の等傾斜の各ペアは、左右の異なる等傾斜回転のペアの軌跡です。等傾斜回転とは、完全に直交する不変回転面の 1 組における回転です。[g]各頂点には、3 つの大正方形と 6 つの八角形等傾斜があり、頂点で交差して 16 セルの軸弦を共有しています。[ad]
構成として
この構成マトリックスは16 個のセルを表します。行と列は、頂点、辺、面、およびセルに対応します。対角の数字は、16 個のセル全体に各要素がいくつ出現するかを示します。非対角の数字は、列の要素が行の要素内または行の要素にいくつ出現するかを示します。
テッセレーション
4次元ユークリッド空間を、規則的な16セルでモザイク状に並べることができます。これは16セルハニカムと呼ばれ、シュレーフリ記号は{3,3,4,3}です。したがって、16セルの二面角は120°です。[21]各16セルには、四面体を共有する16個の隣接セル、辺のみを共有する24個の隣接セル、および1つの点のみを共有する72個の隣接セルがあります。このモザイク状の任意の頂点では、24個の16セルが接しています。
24 セルのハニカムの双対のタイル分割{3,4,3,3} は、通常の24 セルで構成されています。タイル分割ハニカム{4,3,3,4}とともに、これらはR 4の唯一の 3 つの通常のタイル分割です。
予測
16 セルを 3 次元空間にセルを先に平行投影すると、立方体の外皮ができます。最も近いセルと最も遠いセルは、立方体内の内接四面体に投影されます。これは、正四面体を立方体に内接させる 2 つの方法に対応しています。これらの四面体のそれぞれを囲むのは、4 つの他の (非正則) 四面体ボリュームです。これらは、周囲の 4 つの四面体セルのイメージであり、内接四面体と立方体の間の空間を埋めています。残りの 6 つのセルは、立方体の正方形の面に投影されます。この 16 セルの投影では、そのすべての辺が立方体の外皮の面上にあります。
16 セルを 3 次元空間にセル ファースト パースペクティブ投影すると、三角四面体のエンベロープが形成されます。このエンベロープ内のセルのレイアウトは、セル ファースト平行投影のレイアウトと類似しています。
16 セルを 3 次元空間に頂点優先で平行投影すると、八面体の外殻が形成されます。この八面体は、座標平面に沿って切断することで、8 つの四面体の体積に分割できます。これらの体積はそれぞれ、16 セル内の 1 組のセルのイメージです。16 セルの観察者に最も近い頂点は、八面体の中心に投影されます。
最後に、エッジファースト平行投影には短縮された八面体のエンベロープがあり、面ファースト平行投影には六角形両錐体のエンベロープがあります。
4球のベン図
16 セルの 3 次元投影と 4 つの交差する球 ( 4 セットのベン図) は位相的に同等です。
対称構造
16セルの対称性の低い形式は、半超立方体ファミリーのメンバーである半四面体または4半立方体と呼ばれ、h{4,3,3}とコクセター図で表される。 
または
四面体セルを
交互に配置して 2 色で描くこともできます。
また、対称性の低い形では、2 つの平行な四面体が二重構成で構成さ れ、8 つの (おそらく細長い) 四面体で接続された四面体反柱として見ることもできます。これは s{2,4,3} とコクセター図で表されます。。
これは、s{2 1,1,1 }で表されるスナブ4直交座標とコクセター図としても見ることができます。または
。
四次元立方体が4-4デュオプリズムとして構築されている場合、16 セルはその双対である 4-4デュオピラミッドとして考えることができます。
関連する複雑なポリゴン
メビウス・カントール多角形は正複素多角形 3 {3} 3であり、
は16セルと同じ頂点を共有しています。8つの頂点と8つの3辺を持ちます。[22] [23]
正複素多角形2 {4} 4、
は、8頂点、162辺を持つ4次元空間の16セルとして実数表現され、16セルの辺の半分だけを持つ。その対称性は4 [4] 2、次数32である。 [24]
関連する均一多面体とハニカム
正 16 セルと四次元多面体は、同じ B 4対称性を持つ15 個の一様 4 多面体の正則メンバーです。16 セルは、 D 4対称性の一様多面体の 1 つでもあります。
16 セルは、立方体ハニカム、4 次十二面体ハニカム、4 次六角形タイリングハニカムとも関連があり、これらはすべて八面体の頂点図形を持ちます。
これは、四面体セルを持つ{3,3,p} 4 次元多面体のシーケンスに属します 。シーケンスには、ユークリッド 4 次元空間の3 つの正4 次元多面体、 5 セル{3,3,3}、16 セル {3,3,4}、および600 セル{3,3,5})、および双曲空間の 6 次四面体ハニカム{3,3,6} が含まれます。
これは、準正則多面体とハニカムのシーケンスh{4,p,q} の最初のものであり、正則形式 {p,3,4} の 半対称シーケンスです。
参照
注記
- ^ 凸正多面体は、同じ半径の 4 次元コンテンツ (超体積) の尺度として、サイズで順序付けることができます。シーケンス内の各大きな多面体は、前のものよりも丸みを帯びており、同じ半径内により多くのコンテンツ[5]を囲んでいます。4 単体 (5 セル) が最小のケースで、120 セルが最大です。複雑さ (構成マトリックスの比較または単に頂点の数によって測定) も同じ順序に従います。これにより、16 セルが 8 ポイント 4 多面体である正多面体の別の数値命名スキームが提供されます。これは、5 ポイント 4 多面体から 600 ポイント 4 多面体までの昇順で 2 番目です。
- ^ 8 セル (テッセラクト) には 16 セルが 2 個だけ内接しており、24 セルには 16 セルが 3 個だけ内接しており、600 セルには 75 個の異なる 16 セル (ただし、分離した 16 セルは 15 個のみ) が内接しており、120 セルには 675 個の異なる 16 セル (ただし、分離した 16 セルは 75 個のみ) が内接しています。
- ^ abcdefg 4 次元空間では、点を通る 4 本の垂直軸と 6 本の垂直平面を作成できます。一般性を失うことなく、これらを (w、x、y、z) デカルト座標系の軸と直交中心平面と見なすことができます。4 次元には、3 次元と同じ 3 つの直交平面 (xy、xz、yz) があり、さらに他の 3 つの直交平面 (wx、wy、wz) もあります。6 つの直交平面のそれぞれは、他の 4 つの平面と軸を共有し、他の平面のうち 1 つとのみ反対または完全に直交します。つまり、軸を共有しない平面だけです。したがって、完全に直交する平面が 3 組あります。xy と wz は原点のみで交差します。xz と wy は原点のみで交差します。yz と wx は原点のみで交差します。
- ^ abc 16 セルの各頂点は 八面体ピラミッドの頂点であり、その底辺は頂点が辺で接続された他の 6 つの頂点によって形成される八面体である。16 セルは、4 つの八面体中心超平面の 1 つで半分に切断することにより、2 つの八面体ピラミッドに分解できる (4 つの異なる方法)。16 個の面結合四面体の境界面の湾曲した 3 次元体積の内側から見ると、16 セルの頂点図形は八面体である。4 次元では、頂点八面体は実際には八面体ピラミッドである。八面体ピラミッドの頂点 (6 つの辺が交わる頂点) は、実際には八面体の中心ではありません。頂点は、八面体の 6 つの頂点によって定義される超平面から、4 次元で放射状に外側にずれています。頂点の周りの 6 つの辺は、3 次元 (および4 面体ピラミッドの 3 次元投影) で直交する 3 軸交差を形成しますが、3 本の線は実際には 4 次元で頂点で交わるところで 90 度曲がっています。
- ^ 16 セルの境界面は、16 個の四面体が向かい合って配置された (1 つの四面体の周りに 4 つ) 有限の 3 次元空間です。これは閉じた、きつく曲がった (非ユークリッド) 3 次元空間で、その内部では 4 つの四面体をどの方向にもまっすぐ移動でき、出発点の四面体に戻ることができます。この四面体のジャングルジムの内部を動き回り、24 本の支柱 (エッジ) を使って 1 つの四面体から別の四面体へと登り、どの方向に進んでも (どの方向を見ても) 16 個の四面体から出る (または外を見る) ことができない様子を思い浮かべることができます。私たちは常に16 セルの表面上 (または表面内) におり、16 セル自体の内部 (または外部) にいることはありません。各頂点の周りの 6 つの辺は 3 次元で対称的に放射状に広がり、八面体の半径と同じように直交する 3 軸の交差を形成していることがわかります (したがって、16 セルの頂点図形は八面体であると言えます)。[d]
- ^ abc 4次元ユークリッド空間の2つの平面AとBは、 Aのすべての直線がBのすべての直線に直交する場合に限り、完全に直交していると呼ばれます。その場合、平面AとBは1つの点Oで交差するため、Aの直線がBの直線と交差する場合、それらはOで交差します。AとBは垂直であり、クリフォード平行です。[c]
- ^ abcd 完全に直交する大正方形は交差せず、独立して回転します。これは、それらの頂点がある大円がクリフォード平行であるためです。[l]これらは、最も近い頂点の各ペアで√ 2離れています（16 セルでは、対蹠ペアを除くすべてのペアが最も近いです）。2 つの正方形は、16 セルの中心という 1 点のみで交差する平面上にあるため、まったく交差できません。[c]これらは垂直で共通の中心を共有しているため、2 つの正方形は明らかに平行ではなく、3 次元で平行な正方形が通常どのように分離しているかを示しています。むしろ、それらはチェーン内の隣接する正方形のリンクのように接続されており、それぞれが他の正方形を貫通して交差することなく、ホップリンクを形成しています。
- ^ ab 16 セルの各頂点 (および反対の頂点) で 3 つの大きな正方形が交わります。それぞれが完全に直交する正方形が異なります。[f]したがって、各頂点とその反対の頂点 (各軸) に完全に直交する 3 つの大きな正方形があります。これらは 8 面体 (中心超平面) を形成します。16 セル内のすべての軸線は、中央の 8 面体超平面に完全に直交し、すべての大きな正方形平面は別の大きな正方形平面に完全に直交します。[c]軸と 8 面体は 1 点 (16 セルの中心) でのみ交差し、完全に直交する大きな正方形の各ペアは 1 点 (16 セルの中心) でのみ交差します。各中心の 8 面体は、8 つの頂点のうち 2 つの 8 面体頂点図形でもあります。つまり、2 つは完全に直交する軸上にあります。
- ^ 16 セルの各頂点で交差する3 つの不完全直交大正方形は、頂点の八面体頂点図形を形成します。[d]これらのうちの任意の 2 つは、3 つ目の完全に直交する正方形と一緒に八面体、つまり中心八面体超平面を形成します。[h] 16 セルでは、各八面体頂点図形は中心八面体超平面でもあります。
- ^ 各大正方形の頂点は、正方形の他の 2 つの頂点から√ 2離れており、反対側の頂点からは√ 4離れています。16 セルの他の 4 つの頂点 (これも√ 2離れています) は、正方形の完全に直交する正方形の頂点です。[g]各 16 セルの頂点は、そこで交差する3 つの直交する大正方形の頂点です。各大正方形には、それぞれ異なる完全に直交する正方形があります。したがって、各頂点に完全に直交する 3 つの大正方形、つまり頂点が一部ではない正方形があります。[i]
- ^ abcd 各大正方形平面は、他の 5 つの正方形平面と等斜線 (クリフォード平行) ですが、完全に直交[f]しているのはそのうちの 1 つの平面だけです。完全に直交する平面のすべてのペアにはクリフォード平行大円がありますが、すべてのクリフォード平行大円が直交しているわけではありません。完全に直交する平面がクリフォード平行平面の特別なカテゴリに属するもう 1 つの方法もあります。それは、それらがキラルではないということです。等斜線(クリフォード平行) 平面のペアは、 2 つの角度が 90° (完全に直交する平面) または 0° (一致する平面) で分離されていない限り、左ペアまたは右ペアのいずれかです。 [20]ほとんどの等斜面は、それぞれ左等斜回転または右等斜回転によってのみ一緒になります。完全に直交する平面は特別です。つまり、平面のペアは左ペアと右ペアの両方であるため、左または右の等斜回転のいずれかで一緒になります。 90°等傾斜回転によって分離された平面は180°離れているため、左側の平面と右側の平面は同じ平面です。[r]
- ^ abc クリフォード平行線は交差しない曲線で、各点でそれらの間の垂直（最短）距離が同じという意味で平行です。[7]二重らせんは、通常の3次元ユークリッド空間におけるクリフォード平行線の例です。 4次元空間では、クリフォード平行線は3次元球面上の測地線大円として発生します。[8] 16セルでは、完全に直交する大円正方形の対応する頂点はすべて√2離れているため、これらの正方形はクリフォード平行多角形です。[k]大正方形の頂点（大円上の点）のみが√2離れていることに注意してください。正方形の辺（円の弦上）の点は互いに近くなっています。
- ^ 単位半径 4 次元多面体の反対側の頂点は、8 セルの超立方体 (テッセラクト) の反対側の頂点に対応します。この放射状に正三角形の 4 次元立方体の長い対角線は√ 4です。90° 等傾斜回転では、16 セルの各頂点は、長さ 𝝅 (180°) の螺旋状の測地線弧に沿って移動し、単位半径 4 次元多面体 (16 セルまたはテッセラクト) の長径に沿って√ 4離れた頂点まで移動して、反対側の頂点に移動します。これは、テッセラクト上の 4 つの連続する直交辺のパスに沿って移動して√ 1 を4 回移動した場合と同じ合計移動量です。
- ^ 大正方形の辺に沿って、一対の対蹠頂点を結ぶ 2 辺パスは 6 つあります。左等傾斜回転はそのうち 3 つの間を対角線で走り、右等傾斜回転は残りの 3 つの間を対角線で走ります。これらの対角線は、それぞれ左手 8 セル リングと右手 8 セル リングの面結合四面体セルの反対側の頂点を結ぶ直線 (測地線) です。
- ^ abc 16セルでは、2つの対蹠頂点は、面結合した2つの四面体セルの反対側の頂点です。2つの対蹠頂点は、四面体セルの辺に沿った（3つの異なる）2辺の大円経路、さまざまな3辺経路、および等傾斜線とペトリー多角形上の4辺経路によって接続されています。[p]
- ^ abcd 等傾斜線は、 メビウスの輪でつながれた一対のヴィラルソーの円に対応する特殊な円です。2次元だけでなく4次元にわたって曲がっています。通常の円の円周はすべて2𝝅ですが、16セルの等傾斜線は4𝝅の円周（90°弦8本分）です。等傾斜線は平面上にない円ですが、混乱を避けるために常に等傾斜線と呼び、円という用語は平面上の通常の円に使用します。
- ^ ab 等傾斜回転では、6 つの直交平面すべてが 2 つの直交方向に同時に移動されます。つまり、同じ角度で回転し、同時に同じ角度で横に傾けられます。等傾斜変位 (クリフォード変位とも呼ばれる) は 4 次元の対角です。点は 4 つの直交方向に同時に等距離移動し、合計ピタゴラス距離はその距離の 2 乗の 4 乗根に等しい距離だけ移動します。正 4 次元多面体の頂点はすべて、少なくとも 2 辺の長さ離れた頂点に移動します。たとえば、単位半径の 16 セルが大正方形不変平面で等傾斜 90° 回転すると、完全に直交する大正方形不変平面でも 90° 回転します。[c]大正方形平面も、完全に直交する平面を占めるために横に 90° 傾きます。 (等傾斜対称性により、すべての大正方形は 90° 回転し、完全に直交する平面内で横に 90° 傾きます。) すべての大正方形内の各頂点は、 4 つの直交方向のそれぞれに√ 1の距離、合計距離√ 4で、その対蹠頂点まで移動します。[m]元の頂点と移動した頂点は、大正方形の 2 つの辺に沿った 3 つの[n]つの異なるパスによって 2 辺の長さだけ離れています。しかし、等傾斜 (等傾斜回転中に頂点がたどる螺旋状の弧) は辺に沿って走っていません。等傾斜は、元の頂点と移動した頂点の間の測地線 (最短の弧) 上で、これらの異なる辺のパスの間を斜めに走ります。[o]この等傾斜測地線弧は、通常の大円の一部ではなく、どの大正方形の平面にも存在しません。これは、2 つの完全に直交する平面で同時に円を描いて曲がる螺旋状の 180° 弧です。このメビウスの円は、元の頂点とずれた頂点の間のどの平面にも存在せず、どの頂点とも交差しません。[p]
- ^ abc 2 つの完全に直交する平面を 90 度等傾斜回転すると、平面は互いに接近します。16 セルの剛体のこのような回転では、6 つの直交平面すべてが 90 度回転し、完全に直交する (クリフォード平行) [l]平面に対して横に 90 度傾きます。[9] 2 つの完全に直交する大正方形の対応する頂点は√ 4 (180°) 離れています。大正方形 (クリフォード平行多面体) は√ 4 (180°) 離れています。しかし、2 つの完全に直交する平面は、それらを隔てる2 つの直交角度で 90° 離れています。等傾斜回転をさらに 90° 続けると、各頂点は 360° 回転し、各大正方形は元の平面に戻りますが、方向が異なります (軸が入れ替わります)。つまり、16 セルの表面で「上下逆さま」になります (つまり、「裏返し」になります)。2 回目の 360° 等傾斜回転 (90° x 90° の等傾斜ステップを 4 回、720° 回転) を続けると、すべてが元の位置と方向に戻ります。
- ^ オルソスキームとは、直角三角形の面を持つキラルな不規則単体であり、ある多面体を自身の面（鏡面壁）に映し出して正確に埋める場合に、その多面体の特性となる。すべての正多面体は、その中心を囲む特性オルソスキームのインスタンスに放射状に分割できる。特性オルソスキームは、生成点環のない正多面体と同じコクセター・ディンキン図で表せる形状を持つ。
- ^ 次元kの正多面体には、特性k直交配位と特性 ( k -1) 直交配位がある。正 4 多面体には、その (3 次元) 対称超平面によって分割される特性 5 セル (4 直交配位) と、その表面がセルの (2 次元) 対称平面によって分割される特性四面体 (3 直交配位) がある。その (3 次元) 表面を各セル中心を囲む特性四面体に分割した後、その (4 次元) 内部は、表面特性四面体の頂点と 4 多面体の中心を結ぶ半径を追加することで、特性 5 セルに分割できる。[12]このようにして形成された内部四面体と三角形も直交配位となる。
- ^ ab (Coxeter 1973) では、ギリシャ文字の 𝝓 (ファイ) を使用して、正多面体の3 つの特性角𝟀、𝝓、𝟁 のいずれかを表します。𝝓 は、Coxeter が 𝝉 (タウ) を使用する黄金比定数 ≈ 1.618 を表すためによく使用されるため、ここでは Coxeter の慣例を逆にして、特性角を表すために 𝝉 を使用します。
- ^ 正 4 次元多面体の中心で交わる各 4 次元正方格子の 4 辺の長さは等しくありません。これは、正 4 次元多面体の 4 つの特性半径 (頂点半径、辺中心半径、面中心半径、セル中心半径) であるためです。4 次元正方格子の 5 つの頂点には、常に 1 つの正 4 次元多面体の頂点、1 つの正 4 次元多面体の辺中心、1 つの正 4 次元多面体の面中心、1 つの正 4 次元多面体のセル中心、および正 4 次元多面体の中心が含まれます。これらの 5 つの頂点 (この順序) は、4 次元正方格子の特徴である、互いに垂直な 4 辺 (3 回の直角ターン) に沿ったパスを構成します。4 次元正方格子には、5 つの異なる 3 次元正方格子面があります。
- ^ ab 16 セルは、セルが互いに素な 8 セル リングを 2 つ組み合わせて 3 通りの方法で構築できます。つまり、リングのペアには 3 つの方向があります。各方向には、左右の等傾斜回転のペアと、完全に直交する大正方形 (クリフォード平行繊維) のペアが「含まれ」ているため、各方向は 16 セルの個別の繊維です。各 8 セル リングには、3 つの個別の繊維で異なる方向 (役割が交換される) を持つ 3 つの軸オクタグラムと、セル リングを通る 6 つの個別の等傾斜回転 (左 3 つと右 3 つ) が含まれます。単一セル リングの図には、ペトリ多角形の役割、右等傾斜の役割、左等傾斜の役割を持つ 3 つのオクタグラム (異なる色) が見られます。各オクタグラムは 3 つの役割を果たすため、16 セルには 18 ではなく 6 つの異なる等傾斜があります。
- ^ 5 つのビューはすべて、16 セルを同じ平面 (8 セル リング シリンダーの円形断面) に正射影したもので、シリンダーの一方の端から、上図のカット リング シリンダーの中心軸に沿って見ています。唯一の違いは、どの√ 2辺と√ 4弦がフォーカスのために省略されているかです。√ 2辺の色が異なるのは、見る人に対して斜めの角度が異なるため、長さが異なって見えるためです。頂点には、反時計回りに 1 (上) から 8 まで番号が付けられています。
- ^ ab 各等傾斜線には、その辺経路の8 本の√ 2弦と、六芒星{8/3}の 4 つ目の頂点ごとに接続する 4 本の√ 4直径弦があります。対蹠頂点にも、それらを接続する 4 本の互いに直交する√ 2辺のねじれた経路があります。対蹠頂点間では、等傾斜線は、辺経路の√ 2弦の上を螺旋状に滑らかに曲がり、介在する3 つの頂点に当たります。各√ 2辺は、別の大正方形に完全に直交する大正方形の辺であり、その大正方形では√ 4弦が対角線になっています。
- ^ ab 回転の左等傾斜と右等傾斜が同じ頂点セットを訪れる別の例として、5 セルの特性等傾斜回転を参照してください。これら 2 つの特殊なケースでは、同じ回転の左等傾斜と右等傾斜が同じ頂点セットを訪れますが、異なる順序で同じ頂点を訪れるため、回転経路は大きく異なります。
- ^ ab 5セルと16セルを除いて、[z]左右の等傾斜円のペアは頂点が分離しています。左右の等傾斜らせんは交差しない平行線ですが、逆回転しており、3次元では発生しない特殊な種類の二重らせんを形成しています（同じ半径の逆回転らせんは交差する必要があります）。
- ^ ab 16セルでは、各等傾斜線は8つの頂点すべてを通って曲がりくねっており、2つの完全に直交する大正方形の完全な繊維化である。[k] 5セルと16セルは、各離散繊維化が1つの等傾斜線繊維のみを持つ唯一の正則4次元多面体である。[aa]
- ^ 左等傾斜線と右等傾斜線はすべての頂点で交差しています。これらは同じ 8 頂点の異なる配列です。√ 2離れた4頂点ペアの集合に関してのみ、これらはクリフォード平行であると考えられます。√ 4離れた4 頂点ペアの集合に関してのみ、これらは完全に直交していると考えられます。[k]
- ^ これは一般に等傾斜回転では異例です。通常、左等傾斜と右等傾斜の両方が同じ頂点に発生することはありません。それぞれ左または右の回転でのみ到達可能な、互いに交わらない 2 つの頂点セットが存在します。[aa] 16 セルの左等傾斜と右等傾斜は、非常に特殊な二重らせんを形成します。これは円形であるという理由だけでなく、異なる左および右のらせんが同じ反対蹠頂点セットを介して互いにねじれているという点でも珍しいことです。 [ab]自然界で見られるほとんどの等傾斜回転で等傾斜ペアが行うように、反対蹠頂点の2 つの互いに交わらないサブセットを介してねじれているわけではありません。 [z]完全に直交する不変平面における等傾斜回転は特殊です。[k]これらがなぜ特殊であるかを理解するには、それぞれがある回転角度で回転し、同じ回転角度で横に傾いて完全に異なる平面になっている、完全に直交する不変回転平面を視覚化します。[q] 回転角度が 90° のときのみ、傾斜不変面が着地する別の平面は、完全に直交する不変面そのものです。回転の目的の平面は、完全に直交する不変面です。90° 等傾斜回転は、完全に直交する不変面を互いに近づける唯一の回転です。[r]この相互性により、左回転と右回転の両方が同じ場所に到達します。
引用
- ^ Coxeter 1973、p. 141、§ 7-x。歴史的考察。
- ^ NW ジョンソン：幾何学と変換、（2018）ISBN 978-1-107-10340-5第11章：有限対称群、11.5球面コクセター群、p.249
- ^ マティラ・ギカ『芸術と人生の幾何学』（1977年）、68ページ
- ^ Coxeter 1973、pp. 120=121、§ 7.2。図 7.2Bを参照。
- ^ Coxeter 1973、pp. 292-293、表 I(ii): 4 次元の 16 個の正多面体 { p、q、r }。各 4 次元多面体の 20 個の測定基準すべてを辺の長さ単位で示す貴重な表。単位半径の多面体を比較するには、代数的に変換する必要があります。
- ^ Kim & Rote 2016、p. 6、§ 5. 4次元回転。
- ^ Tyrrell & Semple 1971、pp. 5-6、§ 3。Cliffordによる平行法のオリジナルの定義。
- ^ Kim & Rote 2016、pp. 7–10、§ 6. 4次元空間における2つの平面間の角度。
- ^ Kim & Rote 2016、pp. 8–10、クリフォード平行主義との関係。
- ^ Coxeter 1973、p. 121、§ 7.21。図 7.2 Bを参照：「は、（2 つの頂点が 4 次元に沿って反対方向にある）に基づく 4 次元の二面体です。」
- ^ ティレル＆センプル 1971年。
- ^ Coxeter 1973、p. 130、§ 7.6;「単体分割」。
- ^ Coxeter 1973、pp. 292-293、表I(ii)；「16セル、𝛽 4」。
- ^ Coxeter 1973、p. 139、§ 7.9 特性単体。
- ^ Coxeter 1973、p. 290、表I(ii)、「二面角」。
- ^ Coxeter 1970、p. 45、表2：反射ハニカムとそのグループ。ハニカム[3,3,4] 4は、3次元球面を8つの四面体セルの2つのリングでタイリングしたものです。
- ^ バンチョフ 2013.
- ^ Coxeter 1973、pp. 292-293、表I(ii); 24セルh 1。
- ^ Coxeter 1973、pp. 292-293、表I(ii); 24セルh 2。
- ^ Kim & Rote 2016、pp. 7–8、§ 6 4次元空間における2つの平面間の角度、等傾斜面の左と右のペア。
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外部リンク
- Weisstein、Eric W.「16 セル」。MathWorld。
- Der 16-Zeller (16 セル) Marco Möller の R の正多面体4 (ドイツ語)
- 16セル投影の説明と図
- Klitzing、リチャード。「4D 均一多面体 (ポリコラ) x3o3o4o – 六角形」。