5セル

この構成行列は5 セルを表します。行と列は、頂点、辺、面、セルに対応します。対角線上の数値は、5 セル全体に各要素がいくつ存在するかを示します。非対角線上の数値は、列の要素が行の要素内またはその位置に存在する数を示します。この自己双対多面体の行列は、180 度回転させたものと同一です。^{[ 8 ]} k面は対角線の左側の行として読み取ることができ、k図形は対角線の後の行として読み取ることができます。^{[ 9 ]}

5セルを構成するこれらの要素はすべて、ブランコ・グリュンバウムの5点のベン図に列挙されており、これは文字通り平面に投影された正則5セルの図解である。

5セルは、頂点を通る二角形中心平面のみを持つ。5セルには10個の二角形中心平面があり、各頂点ペアは5セルの軸ではなく辺である。各二角形平面は他の3つの平面と直交するが、完全に直交する平面はない。5セルの特性等傾斜回転の不変平面のペアは、これらの10個の二角形平面と、それらと完全に直交する中心平面であり、これらの中心平面は5セルのどの頂点とも交差しない0角形平面である。

下図は、回転する5セル空間を、4次元目を圧縮して色で表示したものです。クリフォード・トーラスは、長方形（巻き付き）の形で描かれています。

• 4次元回転の可視化
• XY平面内で単純に回転させる
• ZW平面内で単純に回転させる
• XY平面とZW平面で4:3の角速度比で二重回転する
• 左等傾斜回転
• 右等傾斜回転

A4コクセター平面は_、 5胞体を正五角形と正五芒星に投影します。5胞体のA3コクセター平面への投影は、正四角錐になります_。正5胞体のA2コクセター平面への投影は、_{2つの対向する頂点が中心にある}三角両錐（2つの正四面体が面と面を合わせて結合したもの）になります。

4-直交スキームは、10個の面すべてが直角三角形である5セルです。（5つの頂点は、互いに面結合した5つの四面体セルを形成し、合計10の辺と10個の三角形面を持ちます。）直交スキームは、すべての辺が互いに垂直である木の凸包である不規則単体です。4次元直交スキームでは、木は、3つの直角に曲がる直線経路で5つの頂点すべてを接続する4つの垂直な辺で構成されます。直交スキームの要素も直交スキームです（正単体の要素も正単体であるのと同様です）。4-直交スキームの各四面体セルは3-直交スキームであり、各三角形面は2-直交スキーム（直角三角形）です。

直交スキームは正多面体の特性単体です。なぜなら、各正多面体は、その特定の特性直交スキームの境界ファセットでの反射によって生成されるからです。 ^{[ 10 ]}例えば、長さが等しい垂直な辺を持つ 4 直交スキームの特殊なケースは、3 次元立方体の 4 次元アナログである4 立方体(テセラクトまたは8 セルとも呼ばれる) の特性直交スキームです。4 直交スキームの 3 つの垂直な辺の長さが単位である場合、そのすべての辺の長さは√1 、√2、√3 、または√4であり、これは正確に単位 4 立方体の弦の長さ(4 立方体の辺の長さとさまざまな対角線の長さ) です。したがって、この4-直交スキームは4-立方体の中に収まり、4-立方体（すべての正凸多面体と同様に）は、その特徴的な直交スキームのインスタンスに分割することができます。

3-直交図は簡単に図示できますが、4-直交図は視覚化するのが難しくなります。4-直交図は、底面が3-直交図である正四面体ピラミッドです。底面の4つの頂点を頂点（5セルの5番目の頂点）に繋ぐ辺が3-直交図より4つ多くあります。3-立方体の図に示されている6つの3-直交図のうち、どれか1つを選んでください。それが立方体の8つの頂点のうち4つに接しており、その4つの頂点は2回直角に曲がる3辺の経路で繋がっていることに注目してください。この 3 直交スキームが 4 直交スキームの基底であると想像してください。つまり、4 つの頂点のそれぞれから、見えない 4 直交スキームの辺が 5 番目の頂点 (3 キューブの外側にあり、図には全く表示されていません) に接続します。 4 つの追加辺はすべて同じ頂点に到達しますが、長さはすべて異なります。 3 辺の直交経路の一方の端にある最初の辺は、3 回目の90 度回転を行い、頂点まで 4 次元に垂直に伸びることで、その経路を 4 番目の直交√ 1辺で拡張します。 4 つの追加辺のうちの 2 番目は、立方体の面の√ 2対角線です (図示されている 3 キューブではなく、テセラクトの 8 つの 3 キューブの別の面)。 3 番目の追加辺は、 3 キューブの√ 3対角線です (これも、元の図示されている 3 キューブではありません)。 4番目の追加辺（直交経路のもう一方の端）は、テセラクト自体の長い直径で、長さは√4です。これはテセラクトの正確な中心を通って、反対側の3立方体の頂点である対蹠点まで達します。したがって、 4立方体の特性5セルは、 4つの√1辺、3つの√2辺、2つの√3辺、および1つの√4辺を持ちます。

4キューブは、8つの異なる方法で24個の4直交スキームに分割でき、それぞれが4つの直交する√4テセラクトの直径の周囲に6つの4直交スキームが存在します。また、4キューブは、そのすべての対称超平面によって一度に分割され、384個の4直交スキームに分割されるという、同じ特徴を持つ384個のより小さなインスタンスに1つの方法で分割することもできます。これらの4直交スキームはすべて4キューブの中心で交わります。

より一般的には、任意の正多面体は、正多面体の中心で交わる特性直交スキームのg個のインスタンスに分割できます。 ^{[ 11 ]}数gは多面体の位数であり、単一の鏡面直交スキームインスタンスをそのファセットで反射したときに多面体を構成する特性直交スキームの反射インスタンスの数です。さらに一般的には、特性単体は多面体の必要な要素をすべて持っているため、均一多面体を埋めることができます。また、要素間の必要な角度 (90 度以下) もすべて持っています。特性単体は多面体の遺伝暗号です。スイスアーミーナイフのように、複製によって多面体を構築するために必要なすべてのものを 1 つずつ含んでいます。

正多面体（正5胞体を含む）はすべて、固有の直交スキームを持つ。正5胞体には、固有の5胞体である4直交スキームが存在する。これは、正四面体固有の四面体に基づく四面体ピラミッドである。正5胞体は、そのすべての対称超平面によって一度に分割される120個の固有の4直交スキームに分割され、それらはすべて正5胞体の中心で交わる。

正5胞体の特性5胞体（4直交スキーム）は、その基底特性四面体（3直交スキーム）よりも4つ多い辺を持ち、基底の4つの頂点をその頂点（正5胞体の中心にある4直交スキームの5番目の頂点）に結びます。正4多面体の中心で交わる各4直交スキームの4つの辺は、正4多面体の4つの特性半径（頂点半径、辺の中心半径、面の中心半径、胞の中心半径）であるため、長さが異なります。正5胞体の半径が1で辺の長さが1の場合、${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {5}{2}}}}$その特徴的な5セルの10辺の長さは${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{10}}}}$、${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{30}}}}$、${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {2}{15}}}}$その外側の直角三角形面（特徴的な角度𝟀、𝝉、𝟁 の反対側の辺）の周囲に、^{[ a ]}プラス${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {3}{20}}}}$、${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{20}}}}$、${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{60}}}}$（外側の3直交スキームの他の3つの辺は、正四面体の特性半径である特性四面体をファセットします）${\displaystyle {\sqrt {1}}}$、${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {3}{8}}}}$、${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{6}}}}$、${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{16}}}}$（正5胞体の特性半径である辺）。直交スキームの直交辺に沿った4辺パスは${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{30}}}}$、${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {2}{15}}}}$、${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{60}}}}$、${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{16}}}}$まず、正5セル頂点から正5セル辺の中心へ移動し、次に90°回転して正5セル面の中心へ移動し、次に90°回転して正5セル四面体セルの中心へ移動し、次に90°回転して正5セルの中心へ移動します。

5胞体には、対称性の低い形態が多数存在し、その中には均一多面体頂点図形として見られるものも含まれる。

正四面体ピラミッドは、5セル多面体ピラミッドの特殊なケースであり、 3次元空間の超平面上に正四面体の底面を持ち、その超平面より上に頂点を持つ構造です。ピラミッドの4つの側面は、三角錐のセルで構成されています。

多くの均一な5次元多面体は、シュレーフリ記号（ ）∨{3,3}を持つ四面体ピラミッド頂点図形を持つ。

他の均一な5次元多面体は、不規則な5セル頂点図形を持つ。均一な多面体の頂点図形の対称性は、コクセター図の環状ノードを取り除くことによって表される。

5 セルは、 5 つの連鎖した四面体のBoerdijk–Coxeter らせんを4 次元のリングに折り畳んだものとして構築できます。^{[ 15 ]} 10 個の三角形の面は、三角形のタイル張り内の 2D ネットで見ることができ、各頂点の周りに 6 つの三角形がありますが、4 次元に折り畳むと辺が一致します。紫色の辺は、5 セルのPetrie 多角形である正五角形を形成します。青色の辺は、2 つおきの頂点を結び、5 セルのClifford 多角形である五芒星を形成します。五芒星の青色の辺は、5 セルのアイソクラインの弦であり、アイソクライン回転中に頂点がたどる円形の回転経路であり、Clifford 変位としても知られています。

5 つの正四面体のネットを 4 次元空間で折り畳み、各正四面体が他の 4 つの正四面体と面結合するようにすると、結果として得られる 5 セルは合計 5 つの頂点、10 の辺、および 10 の面を持ちます。各頂点で 4 つの辺が交わり、各辺で 3 つの正四面体セルが交わります。これにより、6 つの正四面体がセルになります。^{[ 6 ]}

最も単純なデカルト座標のセットは $(2,0,0,0),(0,2,0,0),(0,0,2,0),(0,0,0,2),(\phi ,\phi ,\phi ,\phi ),$ 辺の長さ${\displaystyle 2{\sqrt {2}}}$、 どこ${\displaystyle \phi }$は黄金比です。^{[ 16 ]}これらの座標は原点中心ではありませんが、${\displaystyle (1,1,1,1)/\left(2-{\tfrac {1}{\phi }}\right)}$それぞれから、4次元多面体の外心は半径で原点に移動します。${\displaystyle 2\left(\phi -1/\left(2-{\tfrac {1}{\phi }}\right)\right)={\sqrt {\tfrac {16}{5}}}\approx 1.7888}$以下の座標を持つ： $${\displaystyle {\begin{aligned}\left({\tfrac {2}{\phi }}-3,1,1,1\right)/\left({\tfrac {1}{\phi }}-2\right),&\quad \left(1,{\tfrac {2}{\phi }}-3,1,1\right)/\left({\tfrac {1}{\phi }}-2\right)\\\left(1,1,{\tfrac {2}{\phi }}-3,1\right)/\left({\tfrac {1}{\phi }}-2\right)&\quad \left(1,1,1,{\tfrac {2}{\phi }}-3\right)/\left({\tfrac {1}{\phi }}-2\right)\\\left({\tfrac {2}{\phi }},{\tfrac {2}{\phi }},{\tfrac {2}{\phi }},{\tfrac {2}{\phi }}\right)/\left({\tfrac {1}{\phi }}-2\right)\end{aligned}}}$$

上記と同じ半径と辺の長さを持つ、原点を中心とする以下の座標系は、3次元空間において正四面体を底面とする超ピラミッドと見なすことができる。

${\displaystyle \left(1,1,1,{\frac {-1}{\sqrt {5}}}\right)}$

${\displaystyle \left(1,-1,-1,{\frac {-1}{\sqrt {5}}}\right)}$

${\displaystyle \left(-1,1,-1,{\frac {-1}{\sqrt {5}}}\right)}$

${\displaystyle \left(-1,-1,1,{\frac {-1}{\sqrt {5}}}\right)}$

${\displaystyle \left(0,0,0,{\frac {4}{\sqrt {5}}}\right)}$

これらの座標または前の座標セットをスケーリングして${\displaystyle {\tfrac {\sqrt {5}}{4}}}$半径が1の原点中心の正5セルを辺の長さで与える${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {5}{2}}}}$ハイパーピラミッドの座標は次のとおりです。

${\displaystyle \left({\sqrt {5}},{\sqrt {5}},{\sqrt {5}},-1\right)/4}$

${\displaystyle \left({\sqrt {5}},-{\sqrt {5}},-{\sqrt {5}},-1\right)/4}$

${\displaystyle \left(-{\sqrt {5}},{\sqrt {5}},-{\sqrt {5}},-1\right)/4}$

${\displaystyle \left(-{\sqrt {5}},-{\sqrt {5}},{\sqrt {5}},-1\right)/4}$

${\displaystyle \left(0,0,0,1\right)}$

 原点を中心とする辺の長さが2で半径が1の正5胞体の頂点の座標${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {8}{5}}}\approx 1.265}$は：

${\displaystyle \left({\frac {1}{\sqrt {10}}},\ {\frac {1}{\sqrt {6}}},\ {\frac {1}{\sqrt {3}}},\ \pm 1\right)}$

${\displaystyle \left({\frac {1}{\sqrt {10}}},\ {\frac {1}{\sqrt {6}}},\ {\frac {-2}{\sqrt {3}}},\ 0\right)}$

${\displaystyle \left({\frac {1}{\sqrt {10}}},\ -{\sqrt {\frac {3}{2}}},\ 0,\ 0\right)}$

${\displaystyle \left(-2{\sqrt {\frac {2}{5}}},\ 0,\ 0,\ 0\right)}$

これらをスケーリングする${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {5}{8}}}}$単位半径と辺の長さ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {5}{2}}}}$与える：

${\displaystyle \left({\sqrt {3}},{\sqrt {5}},{\sqrt {10}},\pm {\sqrt {30}}\right)/(4{\sqrt {3}})}$

${\displaystyle \left({\sqrt {3}},{\sqrt {5}},-{\sqrt {40}},0\right)/(4{\sqrt {3}})}$

${\displaystyle \left({\sqrt {3}},-{\sqrt {45}},0,0\right)/(4{\sqrt {3}})}$

${\displaystyle \left(-1,0,0,0\right)}$

4-単体（辺の長さが√2 、半径が1）の頂点は、 5-空間の超平面上に、(0,0,0,0,1)または(0,1,1,1,1)の（異なる）順列として、より簡単に構築できます。これらの位置では、それぞれ5-直交複体または整列ペンタラクトのファセットになります。