星型八面体

星型八面体

タイプ	通常の化合物
コクセターのシンボル	{4,3}[2{3,3}]{3,4} [1]
シュレーフリ記号	{{3,3}} a{4,3} ß{2,4} ßr{2,2}
コクセター図	∪
ステレーションコア	正八面体
凸包	キューブ
索引	UC 4、W 19
多面体	2つの四面体
顔	8つの三角形
エッジ	12
頂点	8
二重多面体	自己双対
対称群とコクセター群	O h、[4,3]、順序48 D 4h、[4,2]、順序16 D 2h、[2,2]、順序8 D 3d、[2 +、6]、順序12
1つの構成要素に制限されたサブグループ	T d、[3,3]、次数 24 D 2d、[2 +、4]、次数 8 D 2、[2,2] +、次数 4 C 3v、[3]、次数 6

星型八面体は、八面体 の中で唯一星型になっている。この星型は、1609年にヨハネス・ケプラーが命名したステラ・オクタングラ（ラテン語で「八芒星」）とも呼ばれるが、この名前はそれ以前の幾何学者にも知られていた。パチョーリの『神による比例について』（ 1509年）に描かれている。 ^[2]

これは 5 つの正多面体化合物の中で最も単純であり、2 つの四面体からなる唯一の正多面体化合物です。また、密度は 2 であり、正多面体化合物の中で最も密度が低いです。

これは、ヘキサグラムの 3D 拡張として見ることができます。ヘキサグラムは、互いに中心対称な2 つの重なり合った正三角形から形成される 2 次元形状であり、同様に、星型八面体は、中心対称な 2 つの重なり合った四面体から形成されます。これは、任意の高次元に一般化できます。4 次元の同等の構造は、 2 つの 5 セルの複合体です。これは、3Dコッホ スノーフレークの構築段階の 1 つとして見ることもできます。これは、より大きな図形の各三角形の面に小さな四面体を繰り返し取り付けることで形成されるフラクタル形状です。コッホ スノーフレークの構築の最初の段階は、単一の中央四面体であり、中央の四面体の面に 4 つの小さな四面体を追加することで形成される 2 番目の段階は、星型八面体です。

星型八面体はいくつかの方法で構築できます。

• これは正八面体の星型であり、同じ面を共有しています。（ウェニンガーモデル W ₁₉を参照。）

• 2 つの正四面体(正四面体とその双対四面体)の結合として構築される場合、それは正多面体複合体でもあります。
• これは、正八面体の各面に四面体ピラミッドを追加することで得られます。この構成では、ピラミッドがはるかに短い凸カタラン立体である三角八面体と同じ位相を持ちます。
• これは立方体のファセット化であり、立方体の新しい頂点を作成せずに多角形の面の一部を削除することを意味します。^[3]
• これは {4/2}反プリズムとして見ることができます。{4/2} は 2 つの双対二角形の合成である四角形であり、四面体は反角柱として見られるため、これは 2 つの反角柱の合成として見ることができます。
• これは、中央の八面体とその周囲を囲む 8 つの四面体からなる、4 次元の八面体ピラミッドの網として見ることができます。

図に示すように、2 つの球状四面体の複合体を構築できます。

星型八面体の複合図の 2 つの四面体は「デスミック」であり、これは (射影空間内の線として解釈した場合) 一方の四面体の各辺がもう一方の四面体の 2 つの反対の辺と交差することを意味します。これらの 2 つの交差のうち 1 つは星型八面体で見ることができます。もう 1 つの交差は射影空間の無限遠点で発生し、一方の四面体の各辺がもう一方の四面体の平行な辺と交差します。これらの 2 つの四面体は、 3 つの四面体からなるデスミック システムに完成させることができます。この場合、3 番目の四面体は、無限遠点の 3 つの交差点と 2 つの有限四面体の重心を 4 つの頂点として持ちます。同じ 12 個の四面体頂点は、ライの構成の点も形成します。

星八面体数は、星型八面体の形に並べることができるボールの数を数える 図形数です。

0、1、14、51、124、245、426、679、1016、1449、1990、....（OEISのシーケンスA007588）

星型八面体は、MCエッシャーの版画「星」の中で他のいくつかの多面体や多面体複合体とともに登場し、^{[4]エッシャーの}二重小惑星（1949年）では中心的な形状を呈している。^[5]

スペインのサラゴサにあるヨーロッパ広場の中央にあるオベリスクは、ヨーロッパの旗の立体版を形成するように形作られた12本の星型八面体の街灯柱に囲まれている。^[6  ]

現代の神秘主義者の中には、この形を「マカバ」と関連付ける者もいる。^[7 ]彼らによれば、マカバとは「逆回転するエネルギー場」であり、古代エジプト語にちなんで名付けられたものである。^[8]しかし、「マカバ」という言葉は実際にはヘブライ語であり、より正確にはエゼキエルの幻視に出てくる戦車を指す。^{[9]この形と二次元的な}ダビデの星 との類似性も頻繁に指摘されている。^[10]

タリー・ホールのメンバー、ジョー・ホーリーがバンドメイトのロス・フェダーマン、名誉バンドメイトのボラ・カラカとともに率いる音楽プロジェクト「ミラクル・ミュージカル」（日本語の原題はミラクルミュージカルと表記されることが多い）では、^星型八面体をステラ・オクタングラと何度も呼んでいる。この形はプロジェクトのメインウェブサイトやグッズストアで紹介されている。^{[11] [12]}彼らの最初で唯一のスタジオアルバム「ハワイ：パートII」の3曲目「ブラック・レインボー」では、マディ・ディアスが「ステラ・オクタングラ」とだけ歌詞を歌っている。^[13]

ウィキメディア・コモンズには、星型八面体に関連するメディアがあります。

• Weisstein, Eric W.、「Stella Octangula」（「2 つの四面体の合成」）（MathWorld）。
• クリッツィング、リチャード、「3D 複合」