メビウスの配置

幾何学において、メビウス配置またはメビウス四面体は、ユークリッド空間または射影空間における特定の配置であり、互いに内接する2つの四面体から構成されます。つまり、一方の四面体の各頂点は他方の四面体の面上にあり、その逆もまた同様です。したがって、結果として得られる8つの点と8つの平面のシステムでは、各点は4つの平面上に位置し（その点を四面体の頂点として定義する3つの平面と、その点が存在するもう一方の四面体の4番目の平面）、各平面には4つの点が含まれます（その面の3つの四面体の頂点と、その面上にあるもう一方の四面体の頂点）。

この配置は、 1828年に、2 つの四面体の 7 つの頂点がもう 4 つの四面体の対応する面上にあるという性質を持つ場合、8 番目の頂点も対応する面の平面上にあり、このタイプの配置を形成することを証明した August Ferdinand Möbius にちなんで名付けられました。この接続定理は、3 次元射影空間では、その空間でPappus の定理が成り立つ場合に限り、より一般的に成り立ちます( Reidemeister、Schönhardt )。また、分割環をモデルとした 3 次元空間では、その環が交換法則を満たし、したがって体である場合に限り、この定理が成り立ちます(Al-Dhahir)。射影双対性により、Möbius の結果は、2 つの四面体の 8 つの面のうち 7 つの面にもう 4 つの四面体の対応する頂点が含まれている場合、8 番目の面にも同じ頂点が含まれているという記述と同等です。

コクセター（1950）は、この構成の簡単な構成法を説明しています。ユークリッド空間内の任意の点pから始め、 pを通る 4 つの平面をA、B、C、Dとし、これらの平面のどの 3 つの平面も共通の交線を共有しないようにし、これらの平面のペアごとの交線によって形成される 6 つの線上に 6 つの点q、r、s、t、u、vを配置し、これらの点のどの 4 つの点も同一平面上にないようにします。平面A、B、C、Dのそれぞれについて、7 つの点p、q、r、s、t、u、v のうち 4 つはその平面上にあり、3 つはその平面から外れています。A、B、C、Dから外れた点の 3 つを通る平面をそれぞれA'、B'、C' 、D' とします。すると、メビウスの定理の双対形式により、これら 4 つの新しい平面は 1 つの点wで交わります。 8つの点p、q、r、s、t、u、v、wと8つの平面A、B、C、D、A'、B'、C'、D'は、メビウスの軸の配置の一例を形成する。

ヒルベルトとコーン＝フォッセン（1952）は（参考文献なしで）8つの点と8つの平面を持ち、各平面上に4つの点があり、各点を通る4つの平面を持つ、3次元ユークリッド空間で実現可能な5つの構成が存在すると述べています。このような構成は、8 ₄という略記法で表されます。彼らは、エルンスト・シュタイニッツ（1910 ）の論文から情報を得たに違いありません。この論文は、P.ムート（1892 ）、G.バウアー（1897 ）、V.マルティネッティ（1897 ）の結果に基づいて、最大で2つの平面が2つの点を共有し、双対的に最大で2つの点が2つの平面に共通するという性質を持つ5つの8 ₄構成が存在すると述べています。 （この条件は、任意の 3 点が共線でない可能性があり、双対的に 3 つの平面が共通の線を持たない可能性があることを意味します。）しかし、この条件を満たさない他の8 ₄構成が 10 個あり、15 個の構成すべてが実際の 3 次元空間で実現可能です。関心のある構成は、互いに内接および外接する 2 つの四面体を持つもので、これらはまさに上記の特性を満たすものです。したがって、四面体を持つ構成は 5 つあり、それらは対称群S _{4の 5 つの共役類に対応します。1 つの四面体}S = ABCDの 4 つの点からそれ自身への置換は次のように得られます。Sの各点Pは、2 番目の四面体 T の 3 つの点を含む平面上にあります。これにより、 Tのもう 1 つの点が残り、これはSの平面の 3 つの点上にあり、 Sのもう1 つの点Qが残るため、置換はP → Qを写します。 5 つの共役類には、e、(12)(34)、(12)、(123)、(1234) の代表があり、これらのうち、メビウス配置は共役類eに対応します。これはKeと表記できます。シュタイニッツによれば、 Keの相補的な四面体のうち 2 つがA ₀、B ₀、C ₀、D ₀、およびA ₁、Bである場合、    ₁、C ₁、D ₁の場合、8 つの平面はA _i、 B _j、 C _k、 D _lで与えられ、 i + j + k + lは奇数です。一方、偶数の合計とその補数は、 Keのモデルに内接および外接するすべての相補的な四面体のペアに対応します。

シュタイニッツによれば、幾何学的定理である唯一のS ₄はメビウス配置であるとも述べられている。しかし、これは異論がある。グリン (2010) は、コンピュータ検索と証明を用いて、実際に「定理」であるS ₄は正確に 2 つあることを示している。それはメビウス配置ともう 1 つである。後者 (上記の共役類(12)(34)に対応) は、体上のすべての 3 次元射影空間の定理でもあるが、一般的な可除環上の定理ではない。2 つの配置の間には、マトロイド双対性の下で両方とも自己双対であるという事実を含め、他にも密接な類似点がある。抽象的に言えば、後者の配置は「点」0、...、7と「平面」0125 + i ( i = 0、...、7)を持ち、これらの整数は法 8 である。この配置は、メビウスの配置と同様に、互いに内接および外接する 2 つの正四面体として表すこともできます。整数表現では、正四面体は0347と1256になります。ただし、メビウスの配置には 4 組の互いに素な平面があるのに対し、後者の配置には互いに素な平面がないため、これら 2 つのS ₄配置は同型ではありません。同様の理由 (および平面のペアが退化した二次曲面であるため) により、メビウスの配置は、後者の配置よりも多くの 3 次元空間の二次曲面上に存在します。

メビウス配置のレヴィグラフは、配置の各点または平面に対応する16個の頂点を持ち、すべての接続点と平面のペアに対応する辺を持ちます。これは、16個の頂点を持つ超立方体グラフQ4_と同型です。密接に関連する配置である、互いに内接する2つの四角形によって形成されるメビウス・カントール配置は、 Q4の部分グラフで_あるメビウス・カントールグラフをレヴィグラフとして持ちます。

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