nスケルトン

数学、特に代数位相幾何学において、単体複体（またはCW複体）として表される位相空間Xのnスケルトンは、次元m ≤ nのXの単体（またはXのセル）の和集合である部分空間X _nを指します。言い換えれば、複体の帰納的定義が与えられた場合、 nスケルトンはn番目のステップで停止することによって得られます。

これらの部分空間はnとともに増加します。0スケルトンは離散空間であり、1 スケルトンは位相グラフです。空間のスケルトンは、妨害理論、濾過によるスペクトル列の構築、および一般に帰納的議論を行うために使用されます。これらは、 Xが無限次元の場合、つまりn → ∞ としてX _{n が}一定にならない場合に特に重要です。

幾何学では、n次元多面体Pのk次元スケルトン（関数的にはskel _k ( P )と表される）は、k次元までのすべてのi次元多面体要素から構成される。^[1]

例えば：

スケルトン₀ (立方体) = 8 頂点

スケルトン₁ (立方体) = 8 頂点、12 辺

スケルトン₂ (立方体) = 8 頂点、12 辺、6 正方形面

単体複体のスケルトンの上記の定義は、単体集合のスケルトンの概念の特別な場合です。簡単に言えば、単体集合は、いくつかの方程式を満たす面とそれらの間の退化写像とともに、集合のコレクションによって記述できます。nスケルトンの考え方は、まず の集合を破棄し、次に のコレクションを「可能な限り最小の」単体集合に完成させて 、結果として得られる単体集合に次数の退化していない単体が含まれないようにすることです。 ${\displaystyle K_{*}}$${\displaystyle K_{i},\ i\geq 0}$${\displaystyle sk_{n}(K_{*})}$${\displaystyle K_{i}}$${\displaystyle i>n}$${\displaystyle K_{i}}$${\displaystyle i\leq n}$${\displaystyle i>n}$

より正確には、制限関数

${\displaystyle i_{*}:\Delta ^{op}Sets\rightarrow \Delta _{\leq n}^{op}Sets}$

は左随伴関数を持ち、 と表記される。^[2]（表記は層の像関数の表記と同等である。）ある単体集合のnスケルトンは次のように定義される。 ${\displaystyle i^{*}}$${\displaystyle i^{*},i_{*}}$${\displaystyle K_{*}}$

${\displaystyle sk_{n}(K):=i^{*}i_{*}K.}$

さらに、は右随伴を持つ。n補骨格は次のように定義される 。${\displaystyle i_{*}}$${\displaystyle i^{!}}$

${\displaystyle cosk_{n}(K):=i^{!}i_{*}K.}$

例えば、Kの0-スケルトンは、によって定義される定数単体集合である。0-コスケルトンは、チェフ神経によって与えられる。${\displaystyle K_{0}}$

${\displaystyle \dots \rightarrow K_{0}\times K_{0}\rightarrow K_{0}.}$

(境界射影と退化射影は、それぞれさまざまな射影と対角埋め込みによって与えられます。)

上記の構成は、カテゴリがファイバー積を持つ限り、集合ではなくより一般的なカテゴリに対しても機能します。コスケルトンは、ホモトピー代数と代数幾何学におけるハイパーカバーの概念を定義するために必要です。^[3]

• ワイスタイン、エリック W.「スケルトン」。MathWorld。