ウィトフ建設

幾何学において、ウィトフ構築法は、数学者ウィレム・アブラハム・ウィトフにちなんで名付けられた、均一な多面体または平面タイリングを構築する手法である。ウィトフの万華鏡構築法とも呼ばれる。

この方法は、球面三角形で球をタイル張りするというアイデアに基づいています。シュワルツの三角形を参照してください。この構造では、万華鏡のように、三角形の辺に 3 つの鏡を配置します。ただし、万華鏡とは異なり、鏡は平行ではなく、1 つの点で交差します。したがって、その点を中心とした球の表面に球面三角形が囲まれ、反射を繰り返すと、三角形のコピーが多数生成されます。球面三角形の角度が適切に選択されている場合、三角形は 1 回以上球をタイル張りします。

鏡で囲まれた球面三角形内の適切な点に頂点を配置すると、その点の反射によって均一な多面体が生成されることが保証されます。球面三角形ABCの場合、均一な多面体を生成する 4 つの可能性があります。

1. 頂点は点Aに配置されます。これにより、 Wythoff 記号a | b  cを持つ多面体が生成されます。ここで、a はAにおける三角形の角度で割った π に等しく、bとcについても同様です。
2. 頂点は、線分AB上の点に配置され、Cで角度を二等分します。これにより、 Wythoff 記号a b | cを持つ多面体が生成されます。 
3. 頂点はABCの内心に位置するように配置されます。これにより、Wythoff 記号a b c |を持つ多面体が生成されます。  
4. 頂点は、三角形のどの角の周りでもその点の角度の 2 倍だけ回転させると、すべての角度で同じ距離だけ移動する点にあります。元の頂点の偶数番目の反射のみが使用されます。多面体には、ウィトフ記号 | a  b  cが付けられます。

このプロセスは一般に、4 次元の一様 4 次元多面体を含む高次元の正多面体にも適用されます。

ウィトホフの鏡像構成では作成できない均一多面体は、非ウィトホフ多面体と呼ばれます。これらは通常、交代(交互の頂点の削除) または部分図形の交互の層の挿入によってウィトホフ形式から派生します。これらの両方の種類の図形には回転対称性が含まれます。スナブ形式は、全切断形式の交代によってのみ作成できるにもかかわらず、ウィトホフ形式と見なされることがあります。

• ウィトフ記号-均一な多面体と均一なタイリングのウィトフ構築を表す記号。
• コクセター・ディンキン図-均一な多面体とハニカムの Wythoff 構成を表す一般化された記号。

• Coxeter Regular Polytopes、第 3 版、(1973)、Dover 版、ISBN  0-486-61480-8 (第 5 章: 万華鏡、セクション: 5.7 Wythoff の構築)
• コクセター 『幾何学の美：12のエッセイ』、ドーバー出版、1999年、ISBN 0-486-40919-8（第3章：ワイトフの一様多面体の構成） 
• Har'El, Z.均一多面体の均一解。Geometriae Dedicata 47, 57-110, 1993. [1] (第4章: 万華鏡)
• WA Wythoff、「C600 ファミリーのポリトープ間の関係」、Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam、Proceedings of the Section of Sciences、20 (1918) 966–970。

• グレッグ・イーガンのアプレットは、ワイトフの構築法を使用して均一な多面体を表示します。
• Wythoff の構築法の Shadertoy レンダリング
• Jenn、対称群から（球状の）多面体と多面体のビューを生成するソフトウェア