四面体パッキング

幾何学において、四面体パッキングは、三次元空間全体に同一の正四面体を配置して、空間の最大部分を埋める 問題です。

現在、正四面体の最適な充填率の下限値は85.63%である。^{[1]四面体は空間を}タイル状に並べることはなく、^[2] 100%未満の上限値（すなわち、1 − (2.6...)·10 ⁻²⁵）が報告されている。^[3]

アリストテレスは四面体は空間を完全に満たすことができると主張した。^{[4] [5]}

2006年、コンウェイとトルクアートは、四面体の非ブラベー格子充填（繰り返し単位ごとに一般に異なる方向を持つ複数の粒子）を構築することによって約72％の充填率が得られることを示しました。これにより、最良の四面体充填は格子充填（繰り返し単位ごとに1つの粒子があり、各粒子が共通の方向を持つ）ではあり得ないことを示しました。^[6]これらの充填構成は、ホイルマンによって得られた最適なブラベー格子充填率36.73％のほぼ2倍でした。^[7] 2007年と2010年に、チャイキンと同僚は、四面体のようなサイコロが有限の容器に75％から76％の充填率までランダムに充填できることを実験的に示しました。^[8] 2008年に、陳は球よりも高密度に詰め込まれた硬い正四面体のパッキングを初めて提案し、数値的に77.86%のパッキング率を実証しました。^{[9] [10]} 2009年にはトルクアートとジャオによってさらなる改良が行われ、コンピューターアルゴリズムを使用して陳の構造を圧縮し、パッキング率を78.2021%にまで高めました。^[11]

2009 年半ば、ハジ・アクバリらは、最初はランダムなシステムのMCシミュレーションを使用して、充填密度が 50% を超えると、硬い四面体の平衡流体が 12 角形の準結晶に自発的に変化し、83.24% まで圧縮できることを示しました。彼らはまた、密度が 78% を超えるとガラス状の無秩序な充填になることも報告しました。82 四面体の単位格子を持つ準結晶の周期近似体では、充填密度が 85.03% にも達しました。^[12]

2009 年後半、Kallus、Elser、Gravel によって、充填率が 85.47% の新しい、はるかに単純な充填ファミリーが発見されました。^[13]これらの充填は、2009 年末に Torquato と Jiao によって得られた充填率 85.55% のわずかに改良された充填の基礎でもありました。 ^[14]また、2010 年初頭には Chen、Engel、Glotzer によって充填率 85.63% のわずかに改良された充填の基礎でもありました。^[1] Chen、Engel、Glotzer の結果は現在、硬い正四面体の最も密な充填として知られています。驚くべきことに、四面体がわずかに丸みを帯びている場合（四面体と球体のミンコフスキー和）、正方形-三角形のタイリング^{[12]は、この}三角形の双錐体の二重格子よりも高密度に詰め込まれ、82個の四面体結晶は、これまでで最も高密度に詰め込まれた同一粒子の最大の単位格子となります。^[15]

四面体の充填に関する最も初期の下限値は球体の下限値よりも小さかったため、正四面体は、合同な球体の充填の最適密度は他の凸体の充填の最適密度よりも小さいというウラムの予想に対する反例になるのではないかと示唆された。しかし、最近の結果は、そうではないことを示している。

• 梱包の問題
• 二蝶形四面体ハニカム- 3 次元空間における不規則四面体の等面体パッキング。
• トリアキス切頂四面体ハニカムはセル遷移型であり、正四面体に基づいています。

• 四面体を詰め込み、完璧なフィットに近づく、NYTimes
• 効率的な形状、エコノミスト
• ピラミッドは荷造りに最適な形状、ニューサイエンティスト