コクセター・ディンキン図

幾何学において、コクセター・ディンキン図（またはコクセター図、コクセターグラフ）は、コクセター群、または群から構築された一様多面体や一様タイリングを表す、数値ラベル付きのエッジ（枝と呼ばれる）を持つグラフです。

密接に関連するオブジェクトのクラスにディンキン図があり、これはコクセター図とは2つの点で異なります。第1に、「4」以上のラベルが付けられた枝は有向ですが、コクセター図は無向です。第2に、ディンキン図は追加の（結晶学的な）制限を満たす必要があり、許可される枝ラベルは2、3、4、6のみです。ディンキン図はルートシステムに対応し、ルートシステム、つまり半単純リー代数を分類するために使用されます。^[1]

コクセター群は、次のように表現できる群である。 ここで、m _{i,j は}、対角要素に1を持つ対称行列Mの要素である。^[a]この行列M、つまりコクセター行列は、コクセター群を完全に決定する。 $${\displaystyle \langle r_{0},r_{1},\dots ,r_{n}\mid (r_{i}r_{j})^{m_{i,j}}=1\rangle }$$

Coxeter 行列は対称なので、頂点が生成元 r i に対応し、頂点_間の辺が m i,j でラベル付けされたグラフ_の隣接_行列として見ることができます。これらの図を簡略化するために、次の 2 つの変更を加えることができ ます_。

• 2のラベルが付けられたエッジは省略可能で、省略されたエッジは2であるとみなされます。ラベル2 は、対応する 2 つのジェネレータが交換可能であることを示します。2は、エッジのラベル付けに使用できる最小の数字です。
• 3というラベルの付いたエッジはラベルなしのままにしておくことができ、ラベルなしのエッジは3として機能することを意味します。

結果として得られるグラフは、検討中の Coxeter グループを記述する Coxeter-Dynkin 図です。

すべてのコクセター図には、対応するシュレーフリ行列（ルートヴィヒ・シュレーフリにちなんで名付けられた）Aがあり、行列要素はa _i,j = a _j,i = −2 cos( π / p _i,j )です。ここで、p _{i,j は}ミラーiとjの間の分岐順序です。つまり、π / p _{i,j は}ミラーiとj の間の二面角です。コサイン行列であるAは、グラミアン行列とも呼ばれます。コクセター群のシュレーフリ行列はすべて、ルートベクトルが正規化されているため対称です。A は、類似しているが有向グラフであるディンキン図で使用されるカルタン行列と密接に関連しています。これは、一般には対称ではないp = 2、3、4、および6の限られたケースで使用されます。

シュレーフリ行列の行列式はシュレーフリ行列式と呼ばれる。^[要出典]シュレーフリ行列式とその符号は、群が有限（正）、アフィン（ゼロ）、または不定（負）であるかを決定する。^[2]この規則はシュレーフリの基準と呼ばれる。^{[3] [検証に失敗した]}

シュレーフリ行列の固有値によって、コクセター群が有限型(すべて正)、アフィン型(すべて非負、少なくとも 1 つはゼロ)、または不定型(それ以外) のいずれであるかが決まります。不定型は、たとえば双曲型コクセター群やその他のコクセター群など、さらに細分化されることがあります。ただし、双曲型コクセター群には、同等ではない定義が複数あります。次の定義を使用します。

• 連結図を持つ Coxeter 群は、有限型でもアフィン型でもない場合に双曲型になりますが、すべての適切な連結部分図は有限型またはアフィン型になります。
• 双曲コクセター群は、そのすべての部分群が有限である（つまり、正の行列式を持つ）場合はコンパクトであり、そのすべての部分群が有限またはアフィンである（つまり、非負の行列式を持つ）場合はパラコンパクトです。

有限群とアフィン群はそれぞれ楕円群と放物群とも呼ばれる。双曲群は、1950年にコンパクト双曲群を列挙したF. LannérにちなんでLannérとも呼ばれ、^[4]パラコンパクト群についてはKoszul（または準Lannér）とも呼ばれる。

階数2 のCoxeter 群、つまり 2 つの異なるミラーによって生成される群のタイプは、Schläfli 行列の行列式によって完全に決定されます。この行列式は、単に固有値の積であるため、有限 (正の行列式)、アフィン (ゼロの行列式)、または双曲 (負の行列式) タイプです。Coxeter は、ノード分岐のグラフィック ダイアグラムの代わりに、分岐順序のシーケンスをリストする同等の括弧表記を使用します。有理解[ p / q ]、 gcd ( p , q )=1となるものも存在します。これらは重複する基本領域を定義します。たとえば、3/2、4/3、5/2、5/3、5/ 4、6/5などです。

コクセター・ディンキン図は、鏡の基本領域を図式的に表したものと見ることができます。鏡は、与えられた次元の球面、ユークリッド、または双曲空間内の超平面を表します。(2D 空間では、鏡は線であり、3D では、鏡は平面です。)

これらの視覚化は、2D および 3D ユークリッド群と 2D 球面群の基本領域を示しています。それぞれについて、90度の二面角を無視して、超平面ミラーを識別し、それらの接続にラベルを付けることによって、コクセター図を推測できます (順序2、以下の脚注 [a] を参照)。

コクセター・ディンキン図は、ほぼすべての種類の一様多面体と一様モザイクを明示的に列挙できます。純粋な鏡映対称性を持つすべての一様多面体 (いくつかの特殊なケースを除いてすべて純粋な鏡映対称性を持ちます) は、マークアップの順列を含むコクセター・ディンキン図で表すことができます。各一様多面体は、このようなミラーと単一の生成点を使用して生成できます。ミラー イメージは反射として新しいポイントを作成し、次に、ポイントとミラー イメージ ポイントの間に多面体のエッジを定義できます。面は、最終的に元のジェネレータに巻き付くエッジを繰り返し反射することによって生成されます。最終的な形状、および高次元のファセットも同様に、面が反射されて領域を囲むことによって作成されます。

生成頂点を指定するには、1 つ以上のノードにリングを付けます。これは、頂点がリング ノードによって表されるミラー上にないことを意味します (2 つ以上のミラーがマークされている場合、頂点はそれらのミラーから等距離にあります)。ミラーは、その上にない点に関してのみアクティブ(反射を作成) になります。ダイアグラムでは、多面体を表すために少なくとも 1 つのアクティブ ノードが必要です。接続されていないダイアグラム (次数 2 のブランチで分離されたサブグループ、または直交ミラー) では、各サブグラフに少なくとも 1 つのアクティブ ノードが必要です。

シュレーフリ記号{ p , q , r , ...}で表されるすべての正多面体の基本領域は、 p 、 q、r、 ... でラベル付けされ、最初のノードが環状になったノードとブランチのラインの関連するコクセター・ディンキン図を持つn 個のミラーのセットによって表すことができます。

1 つのリングを持つ一様多面体は、基本領域単体の角にある生成点に対応します。2 つのリングは単体の辺に対応し、自由度を持ち、辺の長さが等しい場合の一様解は中点のみです。一般に、kリング生成点は単体の(k-1)面上にあり、すべてのノードがリング状になっている場合、生成点は単体の内部にあります。

非反射対称性を持つ一様多面体の特殊なケースは、環状ノードの中心点が削除された二次マークアップ（ホールと呼ばれる）によって表されます。これらの形状は、反射対称性を持つ多面体の交代であり、1 つおきの頂点が削除されていることを意味します。結果として得られる多面体は、元のCoxeter 群の部分対称性を持ちます。切り詰められた交代はスナブと呼ばれます。

• 1 つのノードは 1 つのミラーを表します。これはグループ A ₁と呼ばれます。リングされている場合は、ミラーに垂直な線分が作成され、{} として表されます。
• 2 つの接続されていないノードは、2 つの直交するミラーを表します。両方のノードがリング状になっている場合は長方形が作成され、ポイントが両方のミラーから等距離にある場合は正方形が作成されます。
• n次ブランチによって接続された 2 つのノードは、点が 1 つのミラー上にある場合はn角形を作成し、点が両方のミラーから外れている場合は 2 n角形を作成できます。これにより、I ₁ (n)グループが形成されます。
• 2つの平行な鏡は、 Ĩ ₁とも呼ばれる無限多角形I ₁ (∞)群を表すことができます。
• 三角形の 3 つの鏡は、従来の万華鏡で見られる画像を形成し、三角形に接続された 3 つのノードで表すことができます。繰り返しの例には、(3 3 3)、(2 4 4)、(2 3 6) というラベルの付いた枝がありますが、最後の 2 つは線として描くことができます ( 2 つの枝は無視されます)。これにより、均一なタイリングが生成されます。
• 3 つの鏡で均一な多面体を生成できます。有理数を含めると、シュワルツの三角形の集合が得られます。
• 3 つの鏡のうち 1 つが他の 2 つに対して垂直になるように配置すると、均一なプリズムを形成できます。

一様多面体の双対は、環状ノードの代わりに垂直の斜線でマークアップされることがあります。また、スナブの穴ノードには斜線ホールがマークアップされます。たとえば、長方形（2つのアクティブな直交ミラーとして）を表し、二重多角形である菱形を表します。

たとえば、B ₃ Coxeter グループには次の図があります。これは八面体対称性とも呼ばれます。

この対称群から構築できる凸一様多面体は7 つあり、その交代部分対称からは 3 つあり、それぞれに Coxeter–Dynkin 図が一意にマークアップされています。Wythoffシンボルは、階数 3 のグラフの Coxeter 図の特殊なケースを表し、階数 2 の分岐を抑制するのではなく、3 つの分岐順序すべてに名前を付けます。Wythoff シンボルはスナブ形式を処理できますが、すべてのノードがリング化されていない一般的な交代は処理できません。

同じ構成は、一様柱のような非接合（直交）コクセター群にも適用でき、球面上の二面体と細面体のタイリングとしてより明確に見ることができる。例えば、[6]×[]または[6,2]族である。

比較すると、[6,3]、ファミリーは、ユークリッド平面の 7 つの均一なタイリングの並列セットと、それらの二重タイリングを生成します。また、3 つの交代といくつかの半対称バージョンがあります。

双曲面[7,3]では、族は、一様タイリングの並列セットと、それらの双対タイリングを生成します。すべての分岐順序が奇数なので、交替 (スナブ) は 1 つだけです。一様タイリングのその他の多くの双曲族は、双曲面の一様タイリングで見ることができます。

1 つの用法には、直接的なDynkin 図の用法からの非常に拡張された定義が含まれます。これは、アフィン群を拡張、双曲群を過剰拡張、 3 番目のノードを非常に拡張された単純群と見なします。これらの拡張は通常、拡張されたノードの数を表す 1、2、または3の指数 + 記号で示されます。この拡張シリーズは、グラフ内の同じ位置からノードを順番に削除することで後方に拡張できますが、分岐ノードを削除した後でプロセスは停止します。E _{8拡張ファミリーは、E 3から後方に拡張し、E 11}に前方に拡張する最もよく示される例です。

拡張プロセスは、有限からアフィン、双曲、ローレンツへと進むコクセターグラフの限られたシリーズを定義できます。カルタン行列の行列式は、シリーズが有限（正）からアフィン（ゼロ）から双曲（負）に変化し、少なくとも1つの双曲部分群を含むローレンツ群として終了する場所を決定します。^[5]非結晶学的なH _{nグループは、H 4}がコンパクトな双曲として拡張され、ローレンツ群に過剰拡張された 拡張シリーズを形成します。

シュレーフリ行列の順位による行列式は以下の通りである: ^[6]

• det( A ₁ ⁿ = [2 ^{n −1} ]) = 2 ⁿ （すべてのnに対して有限）
• det( A _n = [3 ^{n −1} ]) = n + 1 （すべてのnに対して有限）
• det( B _n = [4,3 ^{n −2 ]) = 2 (すべての}nに対して有限)
• det( D _n = [3 ^{n −3,1,1 ]) = 4 (すべての}nに対して有限)

例外級数におけるシュレーフリ行列の行列式は次のとおりです。

• det( E _n = [3 ^{n −3,2,1} ]) = 9 − n（E ₃ (= A ₂ A ₁ )、E ₄ (= A ₄ )、E ₅ (= D ₅ )、E ₆、E ₇、E _{8については有限、} E ₉ ( )についてはアフィン、 E ₁₀については双曲的）${\displaystyle {\tilde {E}}_{8}}$
• det([3 ^{n −4,3,1} ]) = 2(8 − n ) （ n = 4から7までは有限、アフィン（ ）、n = 8では双曲的。）${\displaystyle {\tilde {E}}_{7}}$
• det([3 ^{n −4,2,2} ]) = 3(7 − n ) （ n = 4から6までは有限、アフィン（ ）、n = 7では双曲的。）${\displaystyle {\tilde {E}}_{6}}$
• det( F _n = [3,4,3 ^{n −3} ]) = 5 − n （F ₃ (= B ₃ )からF ₄までは有限、 F ₅ ( )ではアフィン、F ₆では双曲的）${\displaystyle {\tilde {F}}_{4}}$
• det( G _n = [6,3 ^{n −2} ]) = 3 − n （ G ₂では有限、G ₃ ( )ではアフィン、G ₄では双曲的）${\displaystyle {\tilde {G}}_{2}}$

対称性（以下の1つの条件を満たす）を持つ（単純化された）コクセター・ディンキン図（有限、アフィン、または双曲型）は、その対称性で割ることができ、一般的には多重に組み合わされた新しい図を生成する。このプロセスは「折り畳み」と呼ばれる。^{[8] [9]}

例えば、D _{4 が}G _{2に折り畳まれる場合、G 2}の辺は3つの外側のノードのクラス（価数1）から中心ノードのクラス（価数3）を指します。そして、E _{8 はH 4}の2つのコピーに折り畳まれ、2番目のコピーはτでスケーリングされます。^[10]

幾何学的には、これは一様多面体とモザイク状の直交投影に対応します。特に、任意の有限単純コクセター・ディンキン図は I ₂ ( h ) に折りたたむことができます。ここで、hはコクセター数であり、幾何学的にはコクセター平面への投影に対応します。

コクセター・ディンキン図は複素空間C ⁿに拡張されており、ここでノードは周期が 2 より大きいユニタリ反射である。ノードはインデックスでラベル付けされ、省略されている場合は、通常の実反射に対して 2 と想定される。コクセターは複素群 p[q]r を図式として書く。^[11 ]

の1次元正則複素多面体は次のように表される。${\displaystyle \mathbb {C} ^{1}}$、p個の頂点を持つ。その実表現は正多角形{ p } である。その対称性は_p [] または、p次。ユニタリ演算子生成器はは反時計回りに2π / pラジアン回転し、${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$エッジは、単一のユニタリ反射を連続的に適用することで作成されます。p頂点を持つ 1 次元多面体のユニタリ反射生成子は、 e ^{2 π i / p} = cos(2 π / p ) + i sin(2 π / p )です。p = 2 のとき、生成子はe ^{π i} = –1 で、実平面での点反射と同じです。

高次の多面体では、_p {}または2辺を持つp辺要素を表す{}または2 つの頂点間の通常の実辺を表します。

の正複素多角形は、_p { q } _rまたはコクセター図の形をとる。${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$正複素多角形の対称群はコクセター群ではなく、シェパード群と呼ば_れる複素反射群の一種である。p [ q ] _rの位数はである。^[13]${\displaystyle 8/q\cdot (1/p+2/q+1/r-1)^{-2}}$

ランク2のシェパードグループは次のとおりです: ₂ [ q ] ₂、_p [4] ₂、₃ [3] ₃、₃ [6] ₂、₃ [ 4 ] ₃、_{4 [3] 4}、₃ [8 ] ₂、₄ [6] ₂、₄ [4] ₃、₃ [ 5] ₃、₅ [3] ₅、₃ [10] ₂、₅ [6] ₂、および₅ [4] ₃または、、、、、、、、、、、、、それぞれ 2 q、 2 p ²、 24、 48、 72、 96、 144、 192、 288、 360、 600、 1200、 1800 の順序です。

対称群_{p 1} [ q ] _{p 2は2つの生成元 R 1}、 R ₂によって表される。ここで、

R ₁ ^{p ₁} = R ₂ ^{p ₂} = I です。

qが偶数の場合、 (R ₂ R ₁ ) ^{q /2} = (R ₁ R ₂ ) ^{q /2}です。q が奇数の場合、 (R ₂ R ₁ ) ^(q-1)/2 R ₂ = (R ₁ R ₂ ) ^{( q -1)/2} R ₁です。q が奇数の場合、p ₁ = p ₂です。

グループ​${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$または[1 1 1] ^pは3周期2ユニタリー反射{R ₁、R ₂、R ₃ }によって定義されます。

R ₁ ² = R ₁ ² = R ₃ ² = (R ₁ R ₂ ) ³ = ( R ₂ R ₃ ) ^{3 = (R} ₃ R ₁ ) ³ = (R ₁ R ₂ R ₃ R ₁ ) ^p = 1.

周期p は、実数では2 重回転として考えることができます。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$

同様のグループ${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$または[1 1 1] ^{(p)は3周期2ユニタリー反射{R} ₁、R ₂、R ₃ }によって定義されます。

R ₁ ² = R ₁ ² = R ₃ ² = (R ₁ R ₂ ) ³ = (R 2 _R 3 ₎ 3 ^{= (R} ₃ R ₁ ) ³ = (R ₁ R ₂ R ₃ R ₂ ) ^p = 1.

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• ウィトホフ構造とウィトホフ記号

• ジェームズ・E・ハンフリーズ、「反射群とコクセター群」、ケンブリッジ高等数学研究、29（1990）
• 万華鏡：HSMコクセター選集、F.アーサー・シャーク、ピーター・マクマレン、アンソニー・C・トンプソン、アジア・アイビック・ワイス編、ワイリー・インターサイエンス出版、1995年、ISBN 978-0-471-01003-6 [1]、Googlebooks [2]  
  • (論文 17) Coxeter、Coxeter-Dynkin ダイアグラムの進化、[Nieuw Archief voor Wiskunde 9 (1991) 233-248]
• コクセター『幾何学の美：12のエッセイ』ドーバー出版、1999年、ISBN 978-0-486-40919-1（第3章：ワイトフの一様多面体の構成） 
• コクセター『正多面体』（1963年）、マクミラン社
  • Regular Polytopes、第 3 版、(1973)、Dover 版、 ISBN 0-486-61480-8 (第 5 章: 万華鏡、および第 11.3 節 グラフによる表現) 
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• ノーマン・ジョンソン、幾何学と変換、第 11、12、13 章、プレプリント 2011
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ウィキメディア・コモンズには、コクセター・ディンキン図に関連するメディアがあります。

• Weisstein, Eric W.「Coxeter–Dynkin 図」。MathWorld。
• 1978 年 10 月、カナダのトロントで Coxeter と Dynkin が Coxeter ダイアグラムの歴史について議論した様子。Eugene Dynkin 数学インタビュー コレクション、コーネル大学図書館。