九角円

幾何学において、九点円とは、任意の三角形に対して作図できる円のことである。この円は、三角形から定義される9つの重要な同心円上の点を通ることから、そのように名付けられている。これらの9つの点は以下のとおりである。

• 三角形の各辺の中点
• 各高度の麓
• オイラー点：三角形の各頂点から垂心（3つの垂線が交わる点。これらの線分はそれぞれの垂線上にある）までの線分の中点。 ^{[ 1 ] [ 2 ]}

9点円は、 フォイエルバッハの円（カール・ヴィルヘルム・フォイエルバッハにちなんで）、オイラーの円（レオンハルト・オイラーにちなんで）、 テルケムの円（オルリー・テルケムにちなんで）、6点円、12点円、n点円、内接円、中点円、または外接中点円とも呼ばれます。その中心は、三角形の9点中心です。 ^{[ 3 ] [ 4 ]}

上の図は、9点円の9つの重要な点を示しています。点D、E、Fは三角形の3辺の中点です。点G、H、Iは三角形の垂線の足です。点J、K、Lは、各垂線の頂点交点（点A、B、C）と三角形の垂心（点S ）を結ぶ線分の中点です。

鋭角三角形の場合、6つの点（中点と垂線の足）は三角形自体の上にある。鈍角三角形の場合、2つの垂線の足は三角形の外側にあるが、これらの足も9点円の一部である。

カール・ヴィルヘルム・フォイエルバッハは、その発見者として知られていますが、実際には9点円を完全に発見したのではなく、三角形の3辺の中点と垂線の足の重要性を認識した6点円を発見したのです。（図1の点D、E、F、G、H、Iを参照。）（それより少し前に、シャルル・ブリアンションとジャン＝ヴィクトル・ポンセレが同じ定理を述べ、証明していました。）しかし、フォイエルバッハの直後、数学者のオルリー・テルケム自身が円の存在を証明しました。彼は、三角形の頂点と垂心の間の3つの中点の重要性を初めて認識した人物です。（図1の点J、K、Lを参照。）したがって、テルケムが9点円という名称を初めて使用した人物です。

1822年、カール・フォイエルバッハは、任意の三角形の9点円は、その三角形の3つの外接円に接し、内接円に接することを発見しました。この結果はフォイエルバッハの定理として知られています。彼は次のことを証明しました。

...三角形の高さの足を通る円は、三角形の3辺に接する4つの円すべてに接する... ^{[ 5 ]}

内接円と九点円が接する三角形の中心をフォイエルバッハ点と呼ぶ。

• 三角形の外接円の半径は、その三角形の9点円の半径の2倍である。^{[ 6 ]： p.153}図3
• 9点円は、対応する三角形の垂心から外接円上の任意の点までを結ぶ線分を二等分する。図4
• 9点円の中心Nは、垂心Hから外心Oへの線分を二等分する（垂心は両方の円の拡大中心となる）： ^{[ 6 ]： p.152}$${\displaystyle {\overline {ON}}={\overline {NH}}.}$$
• 9点中心Nは、重心Gから垂心Hまでのオイラー線上の4分の1の位置にある。^{[ 6 ]： p.153}$${\displaystyle {\overline {HN}}=3{\overline {NG}}.}$$
• ω を円に 内接する四角形の対角三角形の 9 点円とする。円に内接する四角形の二中線の交点は 9 点円に属する。^{[ 7 ] [ 8 ]}

  

• 基準三角形の9点円は、基準三角形の中点三角形（頂点が基準三角形の辺の中点にある三角形）と垂線三角形（頂点が基準三角形の垂線の足にある三角形）の両方の外接円である。^{[ 6 ]： p.153}
• 三角形の頂点を通るすべての直角双曲線の中心は、その三角形の9点円上にある。例としては、ケイペルト、イェラベク、フォイエルバッハの有名な直角双曲線が挙げられる。この事実は、フォイエルバッハの円錐曲線定理として知られている。

  

• 4点A、B、C、Hからなる直交座標系が与えられた場合、その座標系の異なる3点の任意の組み合わせによって形成される4つの三角形はすべて、同じ9点円を共有します。これは対称性の結果です。ある三角形の頂点が別の三角形の直交座標系の中心である場合、その頂点に隣接する三角形の辺は、その2番目の三角形の線分になります。3つ目の中点は、それらの共通辺上にあり​​ます。（同じ「中点」によって定義される9点円は、必ず一点で交わります。）
• したがって、これら4つの三角形は、半径が等しい外接円を持つ。Nを共通の9点中心とし、Pを直交座標系の平面上の任意の点とする。すると$${\displaystyle {\overline {NA}}^{2}+{\overline {NB}}^{2}+{\overline {NC}}^{2}+{\overline {NH}}^{2}=3R^{2}}$$ここで、Rは共通外接半径であり、$${\displaystyle {\overline {PA}}^{2}+{\overline {PB}}^{2}+{\overline {PC}}^{2}+{\overline {PH}}^{2}=K^{2},}$$Kを一定に保つと、 Pの軌跡はNを中心とする半径の円となる。${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {K^{2}-3R^{2}}}.}$PがNに近づくと、対応する定数Kに対するPの軌跡は、9点中心Nに縮退する。さらに、9点円は、Pの軌跡であり、$${\displaystyle {\overline {PA}}^{2}+{\overline {PB}}^{2}+{\overline {PC}}^{2}+{\overline {PH}}^{2}=4R^{2}.}$$
• 三角形の内接円と外接円の中心は、直交座標系を形成します。この直交座標系に基づいて作成される9点円は、元の三角形の外接円です。直交座標系における垂線の足は、元の三角形の頂点です。
• 直交座標系を形成しない任意の4点A、B、C、Dが与えられた場合、 △ ABC、△ BCD、△ CDA、△ DABの9点円は、 A、B、C、Dのポンセレット点と呼ばれる1点で交わります。これらの9点円の残りの6つの交点は、それぞれ4つの三角形の中点と一致します。驚くべきことに、これら4つの任意の点の重心を中心とする、これらの9点円の7つの交点すべてを通る一意の9点円錐曲線が存在します。さらに、前述のフォイエルバッハ円錐曲線定理により、4つの9点円の共通交点を中心とする、元の4つの任意の点と4つの三角形の直交座標を通る一意の長方形外接円錐曲線が存在します。
• 円に内接する四角形を形成する4点A、B、C、Dが与えられている場合、 △ ABC、△ BCD、△ CDA、△ DABの9点円は円に内接する四角形の反心で一致します。これらの9点円はすべて、円に内接する四角形の外接円の半径の半分の半径で合同です。これらの9点円は4つのジョンソン円を形成します。したがって、4つの9点円の中心は円に内接し、円に内接する四角形の反心を中心とする、4つの9点円と合同な円上にあります。さらに、4つの9点円の中心から形成される円に内接する四角形は、基準となる円に内接する四角形ABCDと-1/2倍の相似関係にあり、その相似中心Nは外心Oと反心Mを結ぶ線上にあります。$${\displaystyle {\overline {ON}}=2{\overline {NM}}.}$$
• 外心を通る直線の直交極は、九点円上にある。
• 三角形の外接円、その九点円、その極円、およびその接三角形の外接円^{[ 9 ]}は同軸である。^{[ 10 ]}
• キーペルト双曲線の中心の三線座標は次のとおりです。$${\displaystyle {\frac {(b^{2}-c^{2})^{2}}{a}}:{\frac {(c^{2}-a^{2})^{2}}{b}}:{\frac {(a^{2}-b^{2})^{2}}{c}}}$$
• Jeřábek双曲線の中心の三線座標は次のとおりです。$${\displaystyle \cos(A)\sin ^{2}(B-C):\cos(B)\sin ^{2}(C-A):\cos(C)\sin ^{2}(A-B)}$$
• x  : y  : z を三線形座標における変数点とすると、9点円の方程式は次のようになる。$${\displaystyle x^{2}\sin 2A+y^{2}\sin 2B+z^{2}\sin 2C-2(yz\sin A+zx\sin B+xy\sin C)=0.}$$

円は円錐曲線の一例であり、9点円は、三角形△ ABCと第 4 番目の点Pに関連して構成された一般的な 9点円錐曲線の一例です。ここで、特定の 9点円は、P が△ ABCの垂心である場合に生じます。三角形の頂点とP は完全な四角形と、四角形の対辺が交わる 3 つの「対角点」を決定します。四角形には 6 つの「辺」があり、9点円錐曲線はこれらの辺の中点と交わり、対角点も含みます。円錐曲線は、P が△ ABC の内部にある場合、または三角形と対頂角を共有する領域にある場合は楕円になりますが、 P が3 つの隣接する領域のいずれかにある場合は9 点双曲線となり、P が△ ABCの外接円上にある場合は双曲線は直角になります。

• ハート円（円形三角形の作図法）
• レスターの定理
• ポンセレットポイント
• 合成幾何学
• オイラー線

• アルトシラー＝コート、ネイサン（1925）、『大学幾何学：三角形と円の現代幾何学入門』（第2 版）、ニューヨーク：バーンズ＆ノーブル、LCCN 52013504 
• フォイエルバッハ、カール・ヴィルヘルム; Buzengeiger、Carl Heribert Ignatz (1822)、Eigenschaften einiger merkwürdigen Punkte des geradlinigen Dreiecks und mehrerer durch sie bestimmten Linien und Figuren。 Eine Analytisch-Trigonometrische Abhandlung (Monograph  ed.)、ニュルンベルク: Wiessner。
• ケイ、デイビッド・C. (1969)、『大学幾何学』、ニューヨーク：ホルト・ラインハート・アンド・ウィンストン、LCCN 69012075 
• Fraivert, David (2019)、「9点円に属する新しい点」、The Mathematical Gazette、103 (557): 222–232、doi : 10.1017/mag.2019.53、S2CID 213935239 
• Fraivert, David (2018)、「円に内接する四角形の幾何学における複素数法の新しい応用」（PDF）、International Journal of Geometry、7（1）：5–16

• 九点円- 九点円とその特性をインタラクティブに図解したもの
• rykap.comの「9点円のJavaScriptによるデモンストレーション」
• クラーク・キンバーリング著『三角形の中心百科事典』。9点中心はX(5)、フォイエルバッハ点はX(11)、キーペルト双曲線の中心はX(115)、イェラベク双曲線の中心はX(125)と記されている。
• 1892年のJSマッケイの記事「九点円の歴史」に基づく九点円の歴史
• ワイススタイン、エリック・W. 「九点円」 . MathWorld .
• ワイススタイン、エリック W. 「直交極」 . MathWorld .
• ナインポイントサークルat cut-the-knot
• Wolfram Demonstrations Project のインタラクティブな九点円アプレット
• Dynamic Geometry Sketchesの9 点円錐曲線とオイラー線の一般化は、 9 点円を、関連するオイラー線の一般化とともに 9 点円錐曲線に一般化します。
• NJ Wildberger著『クロモジオメトリー』では、3つの異なる二次形式（青、赤、緑）に関して9点円について論じている。
• オイラー円、オイラー円 - 中心 I、オイラー円 - 中心 II、オイラー円 - 半径、シムソン線 - オイラー円、シムソン線 - オイラー円(インタラクティブジオメトリ)