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数学において、正 4 次元多面体または正多角形は、正 4 次元多面体です。これらは、3 次元の正多面体と 2 次元の正多角形の 4 次元版です。
凸正則 4 次元多面体は 6 個、星型正則 4 次元多面体は 10個あり、合計 16 個になります。
歴史
凸正四面体は、19世紀半ばにスイスの数学者 ルートヴィヒ・シュレーフリによって初めて記述されました。 [1]彼は、そのような図形が正確に6つあることを発見しました。
シュレーフリはまた、正則な星型 4 次元多面体のうち 4 つを発見した。すなわち、大 120 細胞、大星型 120 細胞、大 600 細胞、大大星型 120 細胞である。彼は、細胞や頂点図形のオイラー特性を満たさない形(ゼロ穴トーラスの場合: F − E + V = 2)を許容しないため 、残りの 6 つを省略した。これには、大十二面体{5, 5/2 } と小さな星型十二面体{ 5/2 ,5}。
Edmund Hess (1843–1903) は、1883 年のドイツ語の著書『Einleitung in die Lehre von der Kugeltailung mit besonderer Berücksichtigung ihrer Anwendung auf die Theorie der Gleichflächigen und der gleicheckigen Polyeder』で完全なリストを発表しました。
工事
正4次元多面体の存在は、そのセルを形成する正多面体の存在と二面角制約 によって制約される。
セルが集まって閉じた 3 次元表面を形成するようにします。
記述された 6 つの凸多面体と 10 個の星型多面体は、これらの制約に対する唯一の解です。
有効なセル{p,q}と頂点図形{q,r}を持ち、二面体テストに合格するが有限図形を生成できない非凸シュレーフリ記号{p,q,r}が4つあります: {3, 5/2 ,3}, {4,3, 5/2 }, { 5/2 ,3,4}, { 5/2 ,3, 5/2 }.
正則凸4次元多面体
正凸 4 次元多面体は、3 次元のプラトン立体と 2 次元の凸正多角形の 4 次元版です。
各凸正則 4 次元多面体は、すべて同じタイプとサイズのプラトン立体である 3 次元セルのセットによって境界が定められています。これらは、それぞれの面 (向かい合って) に沿って規則的に組み合わされ、閉じた湾曲した 3 次元空間である 4 次元多面体の表面を形成します(地球の表面が閉じた湾曲した 2 次元空間であるのと同様です)。
プロパティ
3次元の類似体と同様に、凸正則4次元多面体は、同じ半径の4次元コンテンツ（超体積）の尺度として、自然にサイズで順序付けることができます。シーケンス内の各大きな多面体は、前のものよりも丸みを帯びており、同じ半径内により多くのコンテンツを囲んでいます。[2] 4単体（5セル）のコンテンツは最小で、120セルのコンテンツは最大です。
次の表は、6 つの凸正則 4 次元多面体のいくつかの特性を示しています。これらの 4 次元多面体の対称群はすべてCoxeter 群であり、その記事で説明されている表記法で与えられています。群の名前の後の数字は、群の 順序です。
ジョン・コンウェイは、シンプレックス、オルソプレックス、テッセラクト、オクタプレックスまたはポリオクタヘドロン（pO）、テトラプレックスまたはポリテトラヘドロン（pT）、ドデカプレックスまたはポリドデカヘドロン（pD）という名前を提唱しました。[3]
ノーマン・ジョンソンは、nセル、またはペンタコロン、ヘキサデカコロン、テッセラクトまたはオクタコロン、イコシテトラコロン、ヘキサコシコロン、ヘカトニコサコロン（またはドデカコンタコロン）という名前を提唱し、3D多面体と2Dポリゴンの4D類似物としてポリコロンという用語を作り出した。これはギリシャ語の語源であるポリ（「多くの」）とコロス（「部屋」または「空間」）から表現されている。[4] [5]
すべての 4 次元多面体のオイラー特性は 0 なので、オイラーの多面体公式の 4 次元版は次のようになります。
ここで、N k は多面体のk面の数を表します(頂点は 0 面、辺は 1 面など)。
任意の4次元多面体の位相はベッティ数とねじれ係数によって定義される。[6]
構成として
正 4 次元多面体は、その構成要素の数を含む構成行列として完全に記述できます。行と列は、頂点、辺、面、およびセルに対応します。対角の数字 (左上から右下) は、4 次元多面体全体に各要素がいくつ出現するかを示します。非対角の数字は、列の要素が行の要素内または行の要素にいくつ出現するかを示します。たとえば、正 4 次元多面体では、各辺に2 つの頂点があり (各辺には 2 つの頂点があります)、各面には2 つのセルが接しています (各面には 2 つのセルがあります)。双対多面体の構成は、行列を 180 度回転することで得られます。[7] [8]
視覚化
次の表は、これらの 4 次元多面体の 2 次元投影を示しています。その他のさまざまな視覚化については、以下の外部リンクを参照してください。Coxeter -Dynkin 図のグラフも、 Schläfli 記号の下に示されています。
正星 (シュレーフリ・ヘス) 4 多面体
シュレーフリ・ヘス 4次元多面体は、 10個の正則な自己交差星型多面体（4次元多面体）の完全な集合である。 [10]これらは、発見者であるルートヴィヒ・シュレーフリとエドムント・ヘスにちなんで名付けられている。それぞれは、シュレーフリ記号{ p、q、r }で表され、そのうちの1つの数は5/2 。したがって、これらは正多面体のケプラー・ポアンソ多面体に類似しており、ケプラー・ポアンソ多面体は五芒星に類似しています。
名前
ここで与えられた名前は、ジョン・コンウェイによって与えられたもので、ケプラー・ポアンソ多面体に対するケイリーの名前を拡張したものです。星型と巨大に加えて、彼はgrand という修飾語を加えています。コンウェイは次のような操作的定義を提示しました。
- 星形化– 同じ線上にある長い辺に辺を置き換えます。(例:五角形が星形化して五芒星になります)
- 拡大– 同じ平面にある面をより大きな面に置き換えます。(例:二十面体が大きくなって大二十面体になります)
- 拡大– 同じ 3 つのスペースにあるセルを大きなセルに置き換えます。(例: 600 セルが600 セルに拡大されます)
ジョン・コンウェイは、3つの正多面体からなる4次元多面体から10の形式に名前を付けました。pT=多四面体{3,3,5}（四面体の600セル）、pI=多二十面体{3,5 、5/2 } (二十面体の 120 セル)、および pD=多十二面体 {5,3,3} (十二面体の120 セル) で、接頭辞修飾子はそれぞれ、大、(ag)大、星型を表します。最終的な星型である大星型多十二面体には、これらがすべてgaspDとして含まれています。
対称
10個のポリコーラはすべて [3,3,5] ( H 4 )ヘキサコシコーラ対称性を持ちます。これらは、6つの関連するグルサット四面体 有理順序対称群[3,5,5/2]、[5,5/2,5]、[5,3,5/2]、[5/2,5,5/2]、[5,5/2,3]、[3,3,5/2] から生成されます。
各グループには、2 つの通常の星型ポリコーラがありますが、自己双対の 2 つのグループには 1 つしかありません。したがって、10 個の通常の星型ポリコーラの中には、4 つの双対ペアと 2 つの自己双対形式があります。
プロパティ
注記：
- 120 セルと600 セルの頂点配置に一致する2 つの固有の頂点配置があります。
- 4 つの固有のエッジ配置があり、ワイヤーフレームの 正投影として表示されます。
- 7 つの固有の面配置があり、ソリッド(面色) 正投影として表示されます。
セル（多面体）、その面（多角形）、多角形の辺の図形、および多面体の頂点の図形は、シュレーフリ記号によって識別されます。
参照
- 正多面体
- 正多面体の一覧
- 無限正則4次元多面体:
- 1つの正則ユークリッドハニカム: {4,3,4}
- 4 つのコンパクトな正則双曲型ハニカム: {3,5,3}、{4,3,5}、{5,3,4}、{5,3,5}
- 11 個のパラコンパクト正則双曲型ハニカム: {3,3,6}、{6,3,3}、{3,4,4}、{4,4,3}、{3,6,3}、{4,3,6}、{6,3,4}、{4,4,4}、{5,3,6}、{6,3,5}、および {6,3,6}。
- 抽象的な正則4次元多面体:
- これらの 6 つの正規形式から構築された均一 4 次元多面体 均一4 次元多面体族。
- プラトン立体
- ケプラー・ポアンソ多面体—正星型多面体
- スターポリゴン— 正星型ポリゴン
- 4次元多面体
- 5-多面体
- 6次元多面体
注記
参考文献
引用
- ^ Coxeter 1973、p. 141、§7-x。歴史的考察。
- ^ Coxeter 1973、pp. 292-293、表I(ii): 4次元における16個の正多面体{ p,q,r }。
- ^ コンウェイ、バーギエル、グッドマン・ストラウス 2008、第26章。さらに高い
- ^ 「凸多面体と抽象多面体」、プログラムと概要、MIT、2005 年
- ^ ジョンソン、ノーマン W. (2018)。「§ 11.5 球面コクセター群」。幾何学と変換。ケンブリッジ大学出版局。pp. 246– 。ISBN 978-1-107-10340-5。
- ^ Richeson, David S. (2012). 「23. アンリ・ポアンカレとトポロジーの台頭」。オイラーの逸品: 多面体公式とトポロジーの誕生。プリンストン大学出版局。256～256 ページ。ISBN 978-0-691-15457-2。
- ^ Coxeter 1973、§ 1.8 構成
- ^ コクセター『複素正多面体』p.117
- ^ コンウェイ、バーギエル、グッドマン・ストラウス 2008、p. 406、図26.2
- ^ コクセター、星型多面体とシュレーフリ関数 f{α,β,γ) p. 122 2.シュレーフリ・ヘスのポリトープ
文献
- Coxeter, HSM (1973) [1948]. Regular Polytopes (第3版). ニューヨーク: ドーバー.
- コクセター、HSM ( 1969)。幾何学入門（第2版）。Wiley。ISBN 0-471-50458-0。
- DMY Sommerville (2020) [1930]. 「X. 正多面体」. n次元幾何学入門. クーリエ・ドーバー. pp. 159–192. ISBN 978-0-486-84248-6。
- Conway, John H. ; Burgiel, Heidi; Goodman-Strauss, Chaim (2008) 「26. 正則星型多面体」 『物の対称性』 pp. 404–8. ISBN 978-1-56881-220-5。
- ヘス、エドマンド(1883)。 「Einleitung in die Lehre von der Kugeltailung mit besonderer Berücksichtigung ihrer Anwendung auf die Theorie der Gleichflächigen und der gleicheckigen Polyeder」。
- ヘス、エドマンド(1885)。 「ポリトープ ヘヘラー アートを定期的に使用する」。シッツングスベル・ゲゼルス・ビフェルデルング・ゲザムテン・ナトゥールヴィス・マールブルク: 31–57。
- Sherk, F. Arthur; McMullen, Peter; Thompson , Anthony C.; Weiss, Asia Ivic 編 (1995)。Kaleidoscopes : Selected Writings of HSM Coxeter。Wiley。ISBN 978-0-471-01003-6。
- (論文 10)コクセター、HSM (1989)。 「星の多面体とシュラフリ関数 f(α,β,γ)」。数学の要素。44 (2): 25-36。
- コクセター、HSM (1991)。正則複素多面体（第2版）。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-0-521-39490-1。
- McMullen, Peter; Schulte, Egon (2002) 「抽象正則多面体」(PDF)。
外部リンク
- Weisstein、Eric W.「正則多角形」。MathWorld。
- ジョナサン・バウワーズ、16 個の正多面体
- 通常の 4D 多面体折り紙
- 多面体画像のカタログ 4 次元多面体の立体投影のコレクション。
- 均一多面体のカタログ
- ディメンション 4次元についての2時間の映画（すべての正4次元多面体の立体投影が含まれています）
- 正多面体
- 恒星ポリコラ
- ハイパーソリッド