正四面体-正八面体ハニカム

正四面体-正八面体ハニカム、交互立方体ハニカムは、ユークリッド3次元空間における準正則な空間充填テセレーション（またはハニカム）である。これは、正八面体と正四面体が1:2の比率で交互に配置された構造をしている。

その他の名称としては、半立方体ハニカム、半立方体セルレーション、または正方二面体セルレーションなどがあります。ジョン・ホートン・コンウェイはこのハニカムを正八面体、その双対を正十二面体と呼びました。

R. バックミンスター・フラーは、正八面体（oct ahedron）と正四面体（tet rahedron）という2つの単語を組み合わせて、正八面体（または2つの正四角錐）と2つの対向する正四面体からなる菱面体である「オクテットトラス（octet truss）」という言葉を作り出した。

頂点推移性があり、各頂点の周りには8個の四面体と6個の八面体が存在します。また、辺推移性があり、各辺には2個の四面体と2個の八面体が交互に配置されています。四面体-八面体ハニカムの頂点の位置は、結晶中の面心立方格子（FCC）を形成します。

幾何学的ハニカム構造とは、多面体またはそれ以上の次元のセルを隙間なく埋め尽くした構造のことである。これは、任意の次元におけるより一般的な数学的タイル張り、すなわちテセレーションの一例である。

ハニカムは通常、凸型一様ハニカムのように、通常のユークリッド空間（「平面」空間）で構築されます。双曲型一様ハニカムのように、非ユークリッド空間で構築することも可能です。任意の有限一様多面体は、その外接球に投影することで、球面空間における一様ハニカムを形成できます。

これは、ハイパーキュービックハニカムの交互配置として形成され、デミハイパーキュービック面とクロスポリトープ面から構成される、交互ハイパーキュービックハニカムと呼ばれる均一なハニカムの無限族の一部である。また、シンプレクティックハニカムと呼ばれる別の均一なハニカムの無限族の一部でもある。

この3次元空間の場合、立方体ハニカムが交互に配置され、立方体セルが四面体に縮小され、削除された頂点によって八面体の空隙が形成されます。そのため、{4,3,4}立方体ハニカムの頂点の半分を含む拡張シュレーフリ記号h{4,3,4}で表すことができます。

同様のハニカム構造として、回転四面体-八面体ハニカムと呼ばれるものがあり、これは層が60度回転しているため、辺の半分は四面体と八面体が交互に並ぶのではなく、隣接する四面体と八面体が並んでいる。

正四面体-正八面体ハニカムは、正八面体セル上に正四面体を配置することで対称性を2倍にすることができ、正四面体と正八面体（三角反角柱として）からなる不均一なハニカムが生成される。その頂点図形は、3次切頂三角四面体である。このハニカムは、三角切頂四面体セルを持つ三角切頂四面体ハニカムの双対である。

軸に平行な辺を持ち、辺の長さが 1 である交互立方ハニカムの場合、頂点のデカルト座標は次のようになります。（ i、j、kはすべて整数値で、 i + j + kは偶数です）

(i、j、k)

反射構造が2種類と、交互に配置された立方体ハニカム構造が多数あります。例：

その頂点配置はA ₃格子またはD ₃格子を表します。^{[ 2 ] [ 3 ]}この格子は結晶学では面心立方格子として知られており、その頂点が可能な限り最高の平均密度を達成する等しい球による密充填の中心であるため、立方最密充填格子とも呼ばれます。四面体-八面体ハニカムは、単体ハニカムの 3 次元の場合です。そのボロノイセルは菱形十二面体であり、四面体-八面体ハニカムの立方八面体頂点図形の双対です。

D ⁺ _{3パッキングは、2 つの D 3} (または A ₃ ) 格子の結合によって構築できます。D ⁺ _nパッキングは偶数次元の格子のみです。キッシング ナンバーは 2 ² =4 (n<8 の場合は 2 ⁿ⁻¹、n=8 の場合は 240、n>8 の場合は 2n(n−1)) です。^{[ 4 ]}

∪

A ^* ₃または D ^* ₃格子 (A ⁴ ₃または D ⁴ ₃とも呼ばれる) は、4 つの A ₃格子の和集合によって構築でき、一様な二切頂立方体ハニカムの双対ハニカムである二面体四面体ハニカムの頂点配置と同一である。^{[ 5 ]} また、双対位置にある 2 つの立方体ハニカムの和集合である体心立方格子でもある。

∪ ∪ ∪ = ∪の双対。

D ^* ₃格子のキス数は8 ^{[ 6 ]}であり、そのボロノイ分割は、切頂八面体ボロノイセルをすべて含む、二重切頂立方体ハニカム、である。^{[ 7 ]}

• 建築的および反射鏡的テセレーション
• 立方体ハニカム
• スペースフレーム
• 正方晶系二面体ハニカム
• 16セルハニカム
• 24セルハニカム

• ジョン・H・コンウェイ、ハイディ・ブルギエル、ハイム・グッドマン＝ストラウス(2008) 『物の対称性』、ISBN 978-1-56881-220-5（第21章「アルキメデス多面体とカタロニア多面体およびタイリングの命名、建築的およびカトプトリックなテセレーション」、292～298ページには、すべての非角柱状の形態が含まれています。）
• ジョージ・オルシェフスキー著、「均一な全倍数体テトラコーム」、原稿（2006年）（11種類の凸型均一タイリング、28種類の凸型均一ハニカム、143種類の凸型均一テトラコームの完全なリスト）
• ブランコ・グリュンバウム、「3次元空間の均一なタイリング」、ジオビナトリクス4(1994)、49-56。
• ノーマン・ジョンソン著『均一多面体』原稿（1991年）
• ウィリアムズ、ロバート（1979）。自然構造の幾何学的基礎：設計の資料集。ドーバー出版。ISBN 0-486-23729-X。

• クリッチロー、キース（1970）。空間の秩序：デザイン資料集。バイキング・プレス。ISBN 0-500-34033-1。
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• Conway JH、Sloane NJH (1998)。球体充填、格子、群（第3 版）。Springer。ISBN 0-387-98585-9。

• 正四面体と正ピラミッドを基本とした正方形を用いた建築デザイン。(2003) 2016年3月4日にWayback Machineにアーカイブ済み
• クリッツィング、リチャード。「3D ユークリッドハニカム x3o3o *b4o - 八重奏 - O21」。
• 3空間における均一ハニカム構造：11オクテット