三次元空間

数学では、解析幾何学（デカルト幾何学とも呼ばれる）は、3 次元空間のすべての点を 3 つの座標によって記述します。3 つの座標軸が与えられ、それぞれが原点（それらが交わる点）で他の 2 つの軸に垂直です。これらは通常、 x、y、zとラベル付けされます。これらの軸に対して、3 次元空間内の任意の点の位置は、実数の順序付き 3 つで与えられ、各数値は、与えられた軸に沿って測定された原点からのその点の距離を表し、これは他の 2 つの軸によって決定される平面からのその点の距離に等しくなります。^{[ 21 ]}

3次元空間における点の位置を表す他の一般的な方法としては、円筒座標や球面座標などがありますが、可能な方法は無数に存在します。^{[ 22 ] [ 23 ]}詳しくは、ユークリッド空間を参照してください。

以下に、上記システムの画像を示します。

• 
  デカルト座標系
• 
  円筒座標系
• 
  球面座標系

2つの異なる点は常に（直線）を決定します。3つの異なる点は共線であるか、または一意の平面を決定します。一方、4つの異なる点は共線、共平面であるか、または空間全体を決定する可能性があります。^{[ 24 ]}

2つの異なる線は、交差するか、平行になるか、ねじれの位置にあるかのいずれかです。2つの平行線、または2つの交差する線は、一意の平面上にあります。したがって、ねじれの位置にある線は、交わらず、共通の平面上にない線です。^{[ 25 ]}

2つの異なる平面は、共通の線で交わるか、平行である（つまり、交わらない）かのいずれかである。^{[ 25 ]} 3つの異なる平面は、どのペアも平行ではなく、共通の線で交わるか、唯一の共通点で交わるか、共通点を持たないかのいずれかである。最後のケースでは、各平面ペアの3つの交線は互いに平行である。^{[ 26 ]}

直線は、与えられた平面上にあるか、その平面と一点で交わるか、平面に平行であるかのいずれかである。^{[ 25 ]}最後のケースでは、与えられた直線に平行な直線が平面上に形成される。

超平面は、元の空間の次元より1次元少ない部分空間です。3次元空間の超平面は、2次元部分空間、つまり平面です。デカルト座標では、超平面上の点は1つの線形方程式を満たすため、この3次元空間の平面は線形方程式で記述されます。直線は、それぞれが共通の交点を持つ平面を表す2つの独立した線形方程式で記述できます。^{[ 27 ]}

ヴァリニョンの定理によれば、$\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$平行四辺形を形成し、したがって同一平面上にある。^{[ 28 ]}

3次元空間における球（すべての表面と同様に本質的に2次元であるため、2次元球とも呼ばれる）は、中心点Pから一定の距離rにある3次元空間のすべての点の集合から構成される。球によって囲まれた立体はボール（または3次元ボール）と呼ばれる。^{[ 29 ]}

球の体積は^{[ 30 ]で与えられる。}$${\displaystyle V={\frac {4}{3}}\pi r^{3},}$$ そして球の表面積は^{[ 30 ]}$${\displaystyle A=4\pi r^{2},}$$

別の種類の球は4次元球から生じ、その3次元表面は3次元球面、すなわちユークリッド空間R ⁴の原点から等距離にある点である。点の座標がP ( x , y , z , w )である場合、x ² + y ² + z ² + w ² = 1は、原点を中心とする単位3次元球面上の点を特徴づける。^{[ 31 ]}

この3次元球面は3次元多様体の例であり、局所的には3次元空間のように見える空間である。 ^{[ 32 ]}正確な位相幾何学的用語では、3次元球面の各点は、3次元空間の開部分集合と同相な近傍を持つ。

3次元空間には、正多面体9種類が存在する。すなわち、凸型のプラトン立体5種類と、非凸型のケプラー・ポアンソ多面体4種類である。^{[ 33 ]}

平面曲線をその平面内の固定線を軸として回転させることによって生成される曲面を回転面と呼ぶ。その平面曲線は曲面の母線と呼ばれる。回転面を軸に垂直（直交）な平面で切断することによってできる曲面の断面は円である。^{[ 34 ] [ 35 ]}

母線が直線の場合の簡単な例が挙げられます。母線が軸線と交わる場合、回転面は交点を頂点とする直円錐になります。ただし、母線と軸が平行な場合、回転面は円筒になります。^{[ 34 ] [ 35 ]}

円錐曲線と同様に、デカルト座標が次の一般方程式（2次）を満たす点の集合は、 $${\displaystyle Ax^{2}+By^{2}+Cz^{2}+Fxy+Gyz+Hxz+Jx+Ky+Lz+M=0,}$$ ここで、 A、B、C、F、G、H、J、K、L、Mは実数であり、A、B、C、F、G、Hのすべてがゼロではない場合、二次曲面と呼ばれる。^{[ 36 ]}

非退化二次曲面には6種類あります。 ^{[ 36 ]}

1. 楕円
2. 一葉双曲面
3. 2葉双曲面
4. 楕円錐
5. 楕円放物面
6. 双曲放物面

退化した二次曲面は、空集合、一点、一直線、一平面、平面のペア、または二次円筒（平面π内の非退化円錐曲線と、その円錐曲線を通るπに垂直なR ³のすべての直線からなる曲面）である。^{[ 36 ]}楕円錐も退化した二次曲面とみなされることがある。

1葉双曲面と双曲放物面はどちらも線織面であり、直線の族から構成できることを意味します。実際、それぞれに2つの生成線族があり、各族の要素は互いに素であり、一方の族の各要素は、1つの例外を除いて、もう一方の族のすべての要素と交差します。^{[ 36 ]}各族はレグルスと呼ばれます。^{[ 37 ]}

ベクトルは矢印としてイメージできます。ベクトルの大きさはその長さであり、方向は矢印が指す方向です。$\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$は、実数の順序付き三つ組で表すことができる。これらの数値は、ベクトルの成分と呼ばれる。

2 つのベクトルA = [ A ₁ , A ₂ , A ₃ ]とB = [ B ₁ , B ₂ , B ₃ ]の内積は次のように定義されます。^{[ 39 ]}

${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =A_{1}B_{1}+A_{2}B_{2}+A_{3}B_{3}=\sum _{i=1}^{3}A_{i}B_{i}.}$

ベクトルAの大きさは|| A ||で表されます。ベクトルA = [ A ₁ , A ₂ , A ₃ ]とそれ自身との内積は

${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {A} =\|\mathbf {A} \|^{2}=A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+A_{3}^{2},}$

これにより^{[ 39 ]が得られる。}

${\displaystyle \|\mathbf {A} \|={\sqrt {\mathbf {A} \cdot \mathbf {A} }}={\sqrt {A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+A_{3}^{2}}},}$

ベクトルのユークリッド長の公式。

ベクトルの成分を参照せずに、2 つの非ゼロのユークリッドベクトルAとBのドット積は^{[ 39 ]}で与えられます。

${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =\|\mathbf {A} \|\,\|\mathbf {B} \|\cos \theta ,}$

ここで、θはAとBの間の角度である。

物理的な例として、重力によって下向きに引っ張られている斜面上のブロックを考えてみましょう。内積は仕事を計算するために使用できます。${\displaystyle W}$一定の力ベクトルによって実行される${\displaystyle \mathbf {g} }$斜めに適用される${\displaystyle \theta }$下り坂方向への動き${\displaystyle \mathbf {d} }$つまり：^{[ 40 ]}

${\displaystyle W=\mathbf {g} \cdot \mathbf {d} =\|\mathbf {g} \|\,\|\mathbf {d} \|\cos \theta }$

外積またはベクトル積は、 3 次元空間の 2 つのベクトルに対する二項演算であり、記号 × で表されます。ベクトルAとBの外積A × Bは、両方に垂直なベクトルであり、したがってそれらを含む平面に垂直です。数学、物理学、工学において多くの応用があります。^{[ 41 ]}例えば、レンチで回されるボルトにかかるトルクの量や、磁場を通過する電子にかかるローレンツ力を計算するために使用できます。^{[ 42 ]}

関数言語では、外積は関数である。${\displaystyle \times$ :\mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} ^{3}} . ^{[ 43 ]}

クロス積の構成要素は${\displaystyle \mathbf {A} \times \mathbf {B} =[A_{2}B_{3}-B_{2}A_{3},A_{3}B_{1}-B_{3}A_{1},A_{1}B_{2}-B_{1}A_{2}]}$また、アインシュタインの総和規約を用いて、次のように成分別に記述することもできます。${\displaystyle (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )_{i}=\varepsilon _{ijk}A_{j}B_{k}}$どこ${\displaystyle \varepsilon _{ijk}}$はレヴィ＝チヴィタのシンボルである。^{[ 44 ]}は、$\displaystyle \mathbf {A} \times \mathbf {B} =-\mathbf {B} \times \mathbf {A} }$[ ^{41 ]​}

その大きさは角度に関係している${\displaystyle \theta }$間${\displaystyle \mathbf {A} }$そして${\displaystyle \mathbf {B} }$同一性^{[ 41 ]によって}$${\displaystyle \left\|\mathbf {A} \times \mathbf {B} \right\|=\left\|\mathbf {A} \right\|\cdot \left\|\mathbf {B} \right\|\cdot \left|\sin \theta \right|}$$

空間と積は体上の代数を形成し、それは可換でも結合でもなく、クロス積がリー括弧であるリー代数である。 ^{[ 45 ]}具体的には、空間と積は、${\displaystyle (\mathbb {R} ^{3},\times )}$は、 3次元回転のリー代数と同型であり、と表記される。${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$[ ^{43 ]}リー代数の公理を満たすために、結合法則の代わりに、外積はヤコビ恒等式を満たす^。任意の3つのベクトルに対して、${\displaystyle \mathbf {A} ,\mathbf {B} }$そして${\displaystyle \mathbf {C} }$^{[ 45 ]}

$${\displaystyle \mathbf {A} \times (\mathbf {B} \times \mathbf {C} )+\mathbf {B} \times (\mathbf {C} \times \mathbf {A} )+\mathbf {C} \times (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )=0}$$

n次元では、n − 1 個のベクトルの積をとって、それらすべてに垂直なベクトルを生成することができます。しかし、積がベクトル結果を持つ非自明な二項積に限定される場合、それは 3 次元と7 次元でのみ存在します。^{[ 46 ]}

3次元空間を3次元ベクトル空間として記述することは有用である。${\displaystyle V}$実数に対して。これは、${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$微妙な方法で。定義上、基礎が存在する${\displaystyle {\mathcal {B}}=\{e_{1},e_{2},e_{3}\}}$のために${\displaystyle V}$これは、${\displaystyle V}$そして${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$[ ^{38 ]}同型性の構成はここにあります^。ただし、${\displaystyle V}$。

一方、好ましい根拠としては、${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$これは、コピーのデカルト積として記述されているためです。${\displaystyle \mathbb {R} }$つまり、${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}=\mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R} }$3次元ユークリッド空間。^{[ 47 ]}これにより、正準射影の定義が可能になり、${\displaystyle \pi _{i}:\mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} }$、 どこ${\displaystyle 1\leq i\leq 3}$。 例えば、${\displaystyle \pi _{1}(x_{1},x_{2},x_{3})=x}$これにより、標準基準の定義が可能になります。${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\text{Standard}}=\{E_{1},E_{2},E_{3}\}}$定義される $${\displaystyle \pi _{i}(E_{j})=\delta _{ij}}$$ どこ${\displaystyle \delta _{ij}}$はクロネッカーデルタです。完全に書き出すと、標準基底は^{[ 48 ]となります。}

$${\displaystyle E_{1}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},E_{2}={\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}},E_{3}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}.}$$

したがって${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$は、基底の選択という追加構造を伴う抽象的なベクトル空間と見なすことができる。逆に、${\displaystyle V}$から始めることで入手できます${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$そして、デカルト積の構造、あるいはそれと同等の標準的な基底の選択を「忘れる」。

一般的なベクトル空間とは対照的に${\displaystyle V}$空間${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$座標空間と呼ばれることもある。^{[ 49 ]}

物理的には、特定の問題のパラメータによって構造が与えられていない場合、できるだけ構造を仮定しないようにするために、抽象的な形式論を使用することが概念的に望ましい。たとえば、回転対称性を持つ問題では、3次元空間のより具体的な記述を扱う${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$これは、一連の軸に対応する基底の選択を前提としている。しかし、回転対称性においては、例えば任意に回転させた同じ軸のセットよりも、ある一連の軸が好ましい理由はない。言い換えれば、特定の軸の選択は、物理空間の回転対称性を破ることになる。

計算上、より具体的な記述を扱う必要がある${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$具体的な計算を行うため。

勾配は、関数の増加が最も大きい方向とその大きさを表します。例えば、粒子の流れでは、勾配はある位置における流れの大きさと方向を表します。^{[ 53 ]}直交座標系では、微分可能な関数の勾配は${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} }$^{[ 54 ]}によって与えられる

${\displaystyle \nabla f={\frac {\partial f}{\partial x}}\mathbf {i} +{\frac {\partial f}{\partial y}}\mathbf {j} +{\frac {\partial f}{\partial z}}\mathbf {k} }$

ここで、 i、j、kはそれぞれx軸、y軸、z軸の単位ベクトルである。インデックス表記では^{[ 55 ]と表記される。}

$${\displaystyle (\nabla f)_{i}=\partial _{i}f.}$$

発散は、粒子密度の増加または減少など、ある点の周りのベクトル場の正味のフラックスを示します。つまり、その場所がソースかシンクかということです。^{[ 56 ]} （微分可能な）ベクトル場F = U i + V j + W kの発散、つまり関数${\displaystyle \mathbf {F}$ :\mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} ^{3}} は、スカラー値関数に等しい^{。 [ 54 ]}

${\displaystyle \operatorname {div} \,\mathbf {F} =\nabla \cdot \mathbf {F} ={\frac {\partial U}{\partial x}}+{\frac {\partial V}{\partial y}}+{\frac {\partial W}{\partial z}}.}$

インデックス表記では、アインシュタインの総和規約では、これは^{[ 55 ]}$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} =\partial _{i}F_{i}.}$$

カール（またはローター）は、ベクトル場の回転循環を示すベクトルです。デカルト座標で展開すると（球面座標と円筒座標の表現については、 Del の円筒座標と球面座標を参照）、 Fが [ F _x、F _y、F _z ]から構成される場合、カール ∇ × Fは次のようになります。 ^{[ 57 ]}

${\displaystyle {\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\\\{\frac {\partial }{\partial x}}&{\frac {\partial }{\partial y}}&{\frac {\partial }{\partial z}}\\\\F_{x}&F_{y}&F_{z}\end{vmatrix}}}$

これは次のように展開されます。^{[ 54 ]}

${\displaystyle \operatorname {curl} \,\mathbf {F} =\nabla \times \mathbf {F} =\left({\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{y}}{\partial z}}\right)\mathbf {i} +\left({\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial x}}\right)\mathbf {j} +\left({\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}\right)\mathbf {k} .}$

インデックス表記では、アインシュタインの総和規約では、これは^{[ 55 ]}$${\displaystyle (\nabla \times \mathbf {F} )_{i}=\epsilon _{ijk}\partial _{j}F_{k},}$$ どこ${\displaystyle \epsilon _{ijk}}$は完全に反対称なシンボル、レヴィ＝チヴィタのシンボルです。

曲線に沿った関数の線積分は、その曲線のあらゆる微小増分に沿った関数値の連続的な総和と考えることができる。あるスカラー場f : U ⊆ R ⁿ → Rに対して、区分的に滑らかな曲線C ⊂ Uに沿った線積分は次のように定義される^{[ 58 ]} 

${\displaystyle \int \limits _{C}f\,ds=\int _{a}^{b}f(\mathbf {r} (t))|\mathbf {r} '(t)|\,dt.}$

ここで、r : [a, b] → Cは曲線Cの任意の全単射(1 対 1 対応) パラメータ化であり、r ( a ) とr ( b ) はCの端点と${\displaystyle a<b}$。

ベクトル場F  : U ⊆ R ⁿ → R ⁿに対して、 rの方向の区分的に滑らかな曲線C ⊂ Uに沿った線積分は次のように定義される^{[ 58 ]}

${\displaystyle \int \limits _{C}\mathbf {F} (\mathbf {r} )\cdot \,d\mathbf {r} =\int _{a}^{b}\mathbf {F} (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)\,dt,}$

どこ${\displaystyle \cdot }$はドット積であり、 r : [a, b] → Cは曲線Cの全単射パラメータ表示であり、r ( a ) とr ( b ) はCの端点を与えます。物理学で見られる線積分のサブタイプは平面閉ループであり、これはループの周りの関数の循環を決定します^{[ 59 ] 。}

${\displaystyle \oint _{C}\mathbf {F} (\mathbf {r} )\cdot \,d\mathbf {r} .}$

面積分は、多重積分を曲面上の積分に一般化したものです。これは、線積分の二重積分版と考えることができます。面積分を明示的に表すには、対象となる曲面Sを、球面上の緯度と経度のような曲線座標系でパラメータ化する必要があります。このようなパラメータ化をx ( s , t ) とします。ここで、( s , t ) は平面上の領域Tで変化します。すると、面積分は次のように与えられます。

${\displaystyle \iint _{S}f\,\mathrm {d} S=\iint _{T}f(\mathbf {x} (s,t))\left\|{\partial \mathbf {x} \over \partial s}\times {\partial \mathbf {x} \over \partial t}\right\|\mathrm {d} s\,\mathrm {d} t}$

ここで、右辺のバーで囲まれた式は、 x ( s , t )の偏微分の外積の大きさを表し、表面積分として知られています。S上のベクトル場v 、つまりS内の各xにベクトルv ( x ) を割り当てる関数が与えられた場合、表面積分はスカラー場の表面積分の定義に従って成分ごとに定義できます。結果はベクトルになります。

体積積分とは、 3次元領域または領域上の積分です。被積分関数が自明（1）の場合、体積積分は単にその領域の体積になります。^{[ 60 ] [ 1 ]}また、 R³内の領域Dにおける関数の三重積分 を意味することもあります^。${\displaystyle f(x,y,z),}$そして通常は次のように表記されます。

${\displaystyle \iiint \limits _{D}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz.}$

線積分の基本定理によれば、勾配場を通る線積分は、曲線の両端で元のスカラー場を評価することによって計算できる。^{[ 61 ]}

させて${\displaystyle \varphi :U\subseteq \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$。 それから

${\displaystyle \varphi \left(\mathbf {q} \right)-\varphi \left(\mathbf {p} \right)=\int _{\gamma [\mathbf {p} ,\,\mathbf {q} ]}\nabla \varphi (\mathbf {r} )\cdot d\mathbf {r} .}$

ストークスの定理は、ユークリッド3次元空間における曲面Σ上のベクトル場Fの回転の面積分を、その境界∂Σ上のベクトル場の線積分と関連付けている。 ^{[ 62 ]}

${\displaystyle \iint _{\Sigma }\nabla \times \mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {\Sigma } =\oint _{\partial \Sigma }\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {r} .}$

V が以下の部分集合であると仮定します。${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$( n = 3の場合、 V は3D 空間内の体積を表します)コンパクトで、区分的に滑らかな境界S ( ∂ V = Sとも表記) を持ちます。FがVの近傍で定義された連続微分可能なベクトル場である場合、発散定理は次のようになります。^{[ 63 ]}

${\displaystyle \iiint _{V}\left(\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {F} \right)\,dV=}$${\displaystyle \scriptstyle S}$${\displaystyle (\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} )\,dS.}$

左辺は体積V上の体積積分、右辺は体積Vの境界上の面積積分です。閉多様体∂ Vは一般に、外向き法線によって向き付けられたVの境界であり、nは境界∂ Vの外向き単位法線場です。（d S はn dSの略記として使用できます。）