デミハイパーキューブ

幾何学において、半超立方体（n-半立方体、n-半立方体、半測度多面体とも呼ばれる）は、n-超立方体の交代から構成されるn-多面体のクラスであり、超立方体族γnの_半分であるためhγnと名付けられる_。頂点の半分が削除され、新しい面が形成される。2 n面は2 n ( n −1)-半立方体になり、削除された頂点の代わりに2 ⁿ ( n −1)-単体面が形成される。^[1]

各超立方体の名前にはdemi- という接頭辞が付けられ、 demi立方体、 demi四面体などと名付けられています。 demicube は正四面体と同一であり、 demitesseract は正16 セルと同一です。demipenteract は正面のみを持つため、半正多面体と見なされます。より高次の形式では、すべての面が正ではありませんが、すべて均一な多面体です。

半超立方体の頂点と辺は、半立方体グラフの 2 つのコピーを形成します。

nが偶数の場合、nデミキューブは反転対称性を持ちます。

ソロルド・ゴセットは、 1900 年に発表した出版物の中で、3 を超えるn次元の正則図形と半正則図形をすべて列挙し、デミペンテラクトについて説明しました。彼はこれを5 次元半正則図形と呼びました。これは半正則k ₂₁多面体族にも存在します。

半超立方体は、{4,3,...,3} の頂点の半分として、h{4,3,...,3} の形式の拡張シュレーフリ記号で表すことができます。半超立方体の頂点図形は、 n単体の修正 図形です。

これらは、次の 3 つの構成形式の Coxeter-Dynkin 図によって表されます。

1. ...（交互 正位 として）s{2 ^1,1,...,1 }
2. ...（交代超立方体として）h{4,3 ^{n −1} }
3. ...（半超立方体として）{3 ^{1, n −3,1} }

HSM Coxeter はまた、3 番目の分岐図を1 _{k 1}と名付け、3 つの枝の長さを表し、環状枝が先頭に来るようにしました。

nが2 より大きい n デミキューブでは、各頂点で n ( n −1)/2 の辺が交わります。以下のグラフは、対称投影で辺が重なり合うため、各頂点の辺の数が少なくなっていることを示しています。

一般に、デミキューブの要素は元のnキューブから決定できます。(C _{nの場合、m} = nキューブのm^番目の面の数= 2 ^{n − m} n !/( m !( n − m )!))

• 頂点: D _{n ,0} = 1/2 C _{n ,0} = 2 ^{n −1} ( n立方体の頂点の半分が残ります)
• エッジ: D _{n ,1} = C _{n ,2} = 1/2 n ( n −1) 2 ^{n −2} (元のエッジはすべて失われ、各正方形の面が新しいエッジを作成します)
• 面: D _{n ,2} = 4 * C _{n ,3} = 2/3 n ( n −1)( n −2) 2 ^{n −3} (元の面はすべて失われ、各立方体は4つの新しい三角形の面を作成します)
• セル: D _{n ,3} = C _{n ,3} + 2 ³ C _{n ,4} (元のセルの四面体と新しいセル)
• ハイパーセル: D _{n ,4} = C _{n ,4} + 2 ⁴ C _{n ,5} (それぞれ 16 セルと 5 セル)
• ...
• [ m = 3,..., n −1の場合]: D _{n , m} = C _{n , m} + 2 ^m C _{n , m +1} (それぞれm-デミキューブとm-単体)
• ...
• ファセット: D _{n , n −1} = 2 n + 2 ^{n −1} (それぞれ ( n −1)-デミキューブと ( n −1)-単体)

超八面体群（コクセター群 [4,3 ^{n −1} ]）の半超立方体の安定群は指数2である。これは位数のコクセター群[3 ^{n −3,1,1} ]であり、座標軸の順列と座標軸のペアに沿った鏡映によって生成される。^[2]${\displaystyle BC_{n}}$${\displaystyle D_{n},}$${\displaystyle 2^{n-1}n!}$

交互直交面としての構成は同じトポロジを持ちますが、対称のn軸で異なる長さに引き伸ばすことができます。

菱形二蝶形は、交互直方体としての 3 次元の例です。3 組の辺の長さと不等辺三角形の面を持ちます。

• ハイパーキューブハニカム
• 半正則 E 多面体

• T. ゴセット：n 次元空間の正則図形と半正則図形について、数学のメッセンジャー、マクミラン、1900 年
• ジョン・H・コンウェイ、ハイディ・バーギエル、チャイム・グッドマン＝シュトラウス、『The Symmetries of Things』 2008年、ISBN 978-1-56881-220-5（第26章、409ページ：ヘミキューブ：1 _n1） 
• 万華鏡：HSMコクセター選集、F.アーサー・シャーク、ピーター・マクマレン、アンソニー・C・トンプソン、アジア・アイヴィック・ワイス編、ワイリー・インターサイエンス出版、1995年、ISBN 978-0-471-01003-6 [1]  
  • (論文 24) HSM Coxeter,正則多面体と半正則多面体 III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]

• Olshevsky, George. 「Half measure polytope」. Hyperspace の用語集。2007 年 2 月 4 日時点のオリジナルよりアーカイブ。