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幾何学において、交代または部分的な切断とは、多角形、多面体、タイル張り、または高次元多面体に対して、交代する頂点を除去する操作のことである。[ 1 ]
コクセターは交代を接頭辞hで表す。hはhemi（半）の略である。交代は多角形のすべての面を半分の辺数に縮小するため、すべての面が偶数である多面体にのみ適用できる。交代された正方形の面は二角形となり、退化しているため、通常は1辺に縮小される。
より一般的には、偶数個の要素のみで構成される頂点構成を持つ任意の頂点均一多面体またはタイリングは交代させることができます。たとえば、2a.2b.2cの頂点図形の交代はa.3.b.3.c.3であり、3 はこの頂点図形の要素の数です。特殊なケースとして、順序が退化した二角形に半分に分割される正方形の面があります。たとえば、立方体4.4.4は2.3.2.3.2.3に交代され、これは 3.3.3 に縮小され、正四面体になります。また、正四面体の 6 つの辺はすべて、元の立方体の退化した面と見なすこともできます。
（コクセターの用語では）スナブとは、正多面体または準正多面体の切頂を交代させたものと考えることができる。一般に、切頂された面がすべて偶数面である場合、その多面体はスナブ化できる。正多面体だけでなく、すべての切頂された整列多面体もスナブ化できる。
この交代操作は高次元多面体やハニカムにも適用できますが、一般的にこの操作の結果は均一になりません。削除された頂点によって生成される空隙は、一般的に均一な面を生成せず、新しい辺を適切に再スケーリングするための自由度が通常不足しています。ただし、切り詰められた 24 胞体からスナブ 24 胞体を導出するなど、例外も存在します。
例：
コクセターは、両方の半分を含む演算子aも使用し、元の対称性を保持しました。偶数辺の正多面体の場合、a{2p,q} は h{2p,q} の反対方向のコピー 2 つを持つ複合多面体を表します。3 より大きい奇数辺の正多面体の場合、a{p,q} は星型多面体になります。
ノーマン・ジョンソンは、ブレンドされた、 、 および変換された、 、 および に対して、変更された演算子a {p,q}、b {p,q }、およびc {p,q}の使用を拡張しました。
星型八面体として知られる複合多面体は、a{4,3}（変形した立方体）および、で表すことができます。
小さな二角錐二十十二面体として知られる星型多面体は、 a{5,3}（変形十二面体）および、で表すことができます。ここでは、すべての五角形が交互に五芒星に置き換えられ、結果として生じた自由辺を埋めるために三角形が挿入されています。
大二角二十十二面体として知られる星型多面体は、a{5/2,3}（変形された大星型十二面体）および、で表すことができます。ここでは、すべての五芒星が交互に五角形に戻され、結果として生じた自由辺を埋めるために三角形が挿入されています。
同様の操作で、頂点を単に削除するのではなく、交互に切り詰めることもできます。以下は、カタラン立体から生成できる多面体のセットです。これらには、交互に切り詰めることができる2種類の頂点があります。「高次」の頂点と両方の種類の頂点を切り詰めると、次の形状が得られます。
