並行する路線

三角形において、交わる直線の基本的な種類は、垂線、角の二等分線、中線、垂直二等分線の4つである。

• 三角形では、各頂点から垂線が引かれ、対辺と直角に交わります。これら3つの垂線が交わる点を垂心といいます。
• 角の二等分線とは、三角形の各頂点から伸びて、対応する角を二等分する半直線のことです。それらはすべて内心で交わります。
• 中線は、三角形の各頂点と対辺の中点を結ぶ線です。3つの中線は重心で交わります。
• 垂直二等分線とは、三角形の各辺の中点から90度の角度で伸びる線のことです。3本の垂直二等分線は外心で交わります。

三角形に関連する他の線群も、互いに交わっています。例えば、次のようになります。

• 任意の中央線（三角形の面積の二等分線であることは必須である）は、それぞれ辺に平行な他の2つの面積二等分線と一致する。^{[ 1 ]}
• 三角形のクリーバーとは、三角形の周を二等分し、その一端が3辺のうちの1辺の中点にある線分のことです。3本のクリーバーは、スピーカ円の中心で交わります。スピーカ円は、中点三角形の内接円です。
• 三角形の分割線とは、三角形の3つの頂点のいずれかを端点とし、周長を二等分する線分のことである。これら3つの分割線は、三角形のナーゲル点で交わる。
• 三角形の面積と周長を二等分する線は、三角形の内心を通る。そして、各三角形にはこのような線が 1 つ、2 つ、または 3 つ存在する。^{[ 2 ]}したがって、3 つの線がある場合は、それらは内心で交わる。
• 三角形のタリー点とは、三角形の頂点を通る直線と、その三角形の最初のブロカール三角形の対応する辺に垂直な直線が交わる点のことである。
• 三角形のシフラー点とは、4つの三角形のオイラー線が交わる点のことである。その4つの三角形とは、対象となる三角形と、その三角形と2つの頂点を共有し、かつその三角形の内心がそのもう一方の頂点となる3つの三角形のオイラー線が交わる点である。
• ナポレオン点とその一般化は、交点です。例えば、最初のナポレオン点は、頂点から正三角形の重心に向かって引いた3本の直線が、その頂点の反対側の辺の外側に引かれたときの交点です。この概念の一般化がヤコビ点です。
• ド・ロンシャン点とは、複数の直線がオイラー線と交わる点のことである。
• 与えられた三角形の1辺上に正三角形を描き、その新しい頂点を元の三角形の反対側の頂点に結ぶことによって形成される3本の直線は、第一等角中心と呼ばれる点で交わる。元の三角形の角度が120°を超えるものがない場合、この点はフェルマー点でもある。
• アポロニウス点とは、三角形の外接円が内接する円の接点と、三角形の反対側の頂点を結ぶ3本の直線が交わる点である。

• 四角形の2つの二中線（対辺の中点を結ぶ線分）と対角線の中点を結ぶ線分は一点で交わり、いずれも交点で二等分される。^{[ 3 ]： p.125}
• 接線四角形では、4つの角の二等分線は内接円の中心で交わる。^{[ 4 ]}
• 接線四角形のその他の共線については、ここに示します。
• 円に内接する四角形では、各辺に垂直で、反対側の辺の中点を通る4 つの線分が一点で交わります。^{[ 3 ] : p.131、[ 5 ]}これらの線分は、中点高さの略である、高さ^{[ 6 ]}と呼ばれます。それらの共通点は反中心と呼ばれます。
• 凸四角形が接線に接する のは、6つの角の二等分線が一点で交わる場合、かつその場合に限る。すなわち、2つの対向する頂角における内角の二等分線、他の2つの頂角における外角の二等分線、および対向する辺の延長線が交わる角における外角の二等分線である。

• 円環六角形の連続する辺がa、b、c、d、e、fである場合、3 つの主対角線が一点で交わるのはace = bdfの場合に限る。^{[ 7 ]}
• 六角形に内接円錐曲線がある場合、ブリアンションの定理により、その主対角線は一点で交わります（上の図のように）。
• パップスの六角形定理の双対では、共線が生じる。
• 円に内接する六角形の各辺について、隣接する辺をその交点まで延長し、与えられた辺の外側に三角形を形成する。すると、対向する三角形の外心を結ぶ線分は一点で交わる。^{[ 8 ]}

• 正多角形の辺の数が偶数の場合、対向する頂点を結ぶ対角線は、その多角形の中心で交わる。

• 円のすべての弦の垂直二等分線は、円の中心で一点で交わる。
• 円の接点における接線に垂直な直線は、円の中心で一点で交わる。
• 円の面積二等分線と周長二等分線はすべて直径であり、円の中心で交わります。

• 楕円の面積二等分線と周長二等分線はすべて、楕円の中心で一点で交わる。

• 双曲線では、次のものが一点で交わります。(1) 双曲線の焦点を通る、双曲線の中心を中心とする円。(2) 双曲線の頂点で接する直線のいずれか。(3) 双曲線の漸近線のいずれか。
• 以下のものも一点で交わります。(1)双曲線の中心を中心とし、双曲線の頂点を通る円。(2)準線。(3)漸近線のいずれか。

• 正四面体では、4つの中央線と3つの二中央線はすべて、正四面体の重心と呼ばれる点で交わります。 ^{[ 9 ]}
• 等力学的四面体とは、頂点と対向する面の内心を結ぶチェビアンが一点で交わる四面体のことであり、等角的四面体とは、頂点と対向する面が四面体の内接球と接する点を結ぶチェビアンが一点で交わる四面体のことである。
• 正心四面体では、4つの高さは一点で交わる。