グルサット四面体

幾何学において、グルサ四面体（グルサ テトラヘドロン）は、ウィトフ構成の四面体 基本領域である。四面体の各面は、3 次元表面（3 次元球面、ユークリッド 3 次元空間、双曲 3 次元空間）上の反射超平面を表す。コクセターは、これらの領域を初めて研究したエドゥアール グルサにちなんで、これらに名前を付けた。これは、球面上のウィトフ構成に対する シュワルツの三角形の理論の拡張である。

Goursat四面体は、基本ドメイン四面体の双対構成である四面体グラフでグラフィカルに表現できます。グラフでは、各ノードは Goursat 四面体の面 (ミラー) を表します。各エッジには、反射順序に対応する有理値 (π/二面角)が付けられます。

4 ノードのCoxeter-Dynkin 図は、次数 2 のエッジが隠されたこの四面体グラフを表します。多くのエッジが次数 2 の場合、Coxeter グループは括弧表記で表すことができます。

存在するためには、このグラフの 3 ノード サブグラフ (pqr)、(pus)、(qtu)、(rst) のそれぞれがシュワルツの三角形に対応している必要があります。

グルサ四面体の拡張対称性は、コクセター群対称性と基本領域対称性 (この場合はグルサ四面体)の半直積です。コクセター表記法では、この対称性は二重括弧 [Y[X]] のように、完全なコクセター群対称性 [X] を意味し、Yはグルサ四面体の対称性としてサポートされます。Yが純粋な反射対称性である場合、グループは別のコクセター群の鏡像を表します。単純な倍加対称性が 1 つしかない場合、Y はコンテキストに応じて反射対称性または回転対称性のいずれかを持つ [[X]] のように暗黙的になります。

各グルサ四面体の拡張対称性も以下に示す。最も高い対称性は正四面体の[3,3] であり、これは柱状点群 [2,2,2] または [2 ^[3,3] ] とパラコンパクト双曲群 [3 ^[3,3] ] で発生する。

四面体の 7 つの下対称等長変換については、四面体#不規則四面体の等長変換を参照してください。

以下の節では、3 次元球面、3 次元ユークリッド空間、3 次元双曲空間上の Goursat 四面体の整数解をすべて示します。各四面体の拡張対称性も示します。

下の色付きの四面体図は、各対称性ファミリーの、全切多面体とハニカムの頂点図です。辺のラベルは、コクセター グラフの分岐順序の 2 倍である多角形の面の順序を表します。2nのラベルが付いた辺の二面角はπ/ nです。4 のラベルが付いた黄色の辺は、コクセター図の直角 (接続されていない) ミラー ノードから来ています。

密度1の3次元球面の解は次の通りである。(一様多球)

密度1の解:凸型均一ハニカム:

密度 1 の解: (双曲空間の凸一様ハニカム) (コクセター図#コンパクト (ラネル単体群) )

密度 1 の解: (コクセター図#パラコンパクト (コシュール単体群)を参照)

3次元球面の有理解は数百種類あり、その中には、シュレーフリ-ヘス多角形を生成する以下の6つの線型グラフや、コクセターの非線型グラフが11種類含まれています。

全部で、有理角を持つ散在四面体は59個あり、無限族は2つある。^[1]

• ( n -1)-球面上のn-単体解の点群。

• Regular Polytopes、（第3版、1973年）、ドーバー版、 ISBN  0-486-61480-8（280ページ、Goursatの四面体）[1]
• ノーマン・ジョンソン『 一様多面体とハニカムの理論』博士号（1966年）彼はコクセターによるグルサ四面体の列挙が完全であることを証明した。
• Goursat、Edouard、Sur les substitutions orthogonales et les Divisions régulières de l'espace、Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure、Sér。 3、6 (1889)、(9–102 ページ、80–81 四面体)
• Klitzing、Richard。「Dynkin ダイアグラム Goursat 四面体」。
• ノーマン・ジョンソン『幾何学と変換』（2018年）、第11章、第12章、第13章
• NW ジョンソン、R. ケラーハルス、JG ラトクリフ、ST チャンツ、「双曲型コクセター単体の大きさ」、変換群 1999、第 4 巻、第 4 号、pp 329–353 [2]