保存量

保存量とは、システムに変化が生じても、時間とともに一定に保たれる性質または値のことです。数学では、動的システムの保存量は、従属変数の関数として正式に定義され、その値はシステムの各軌跡に沿って一定に保たれます。 ^{[ 1 ]}

すべてのシステムに保存量が存在するわけではなく、また保存量は一意ではない。なぜなら、保存量に定数を加えるなどの適切な関数を適用することで、常に別の保存量を作り出すことができるからである。

物理法則の多くは何らかの保存則を表しているため、物理システムの数理モデルには保存量が一般的に存在します。例えば、古典力学モデルでは、関係する力が保存力である限り、力学的エネルギーは保存量として存在します。

1階微分方程式系の場合

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}=\mathbf {f} (\mathbf {r} ,t)}$

ここで太字はベクトル量を示し、スカラー値関数H ( r ) は、ある特定の領域におけるすべての時間と初期条件に対して、次の条件が成り立つ場合、システムの保存量である。

${\displaystyle {\frac {dH}{dt}}=0}$

多変数連鎖律を使用すると、

${\displaystyle {\frac {dH}{dt}}=\nabla H\cdot {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}=\nabla H\cdot \mathbf {f} (\mathbf {r} ,t)}$

定義は次のように書ける。

${\displaystyle \nabla H\cdot \mathbf {f} (\mathbf {r} ,t)=0}$

これはシステム固有の情報を含んでおり、保存量を見つけたり、保存量が存在するかどうかを判断したりするのに役立ちます。

ハミルトニアンで定義されるシステムの場合$\displaystyle {\mathcal {H}}}$一般化座標qと一般化運動量pの関数fは時間発展する

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} t}}=\{f,{\mathcal {H}}\}+{\frac {\partial f}{\partial t}}}$

したがって、保存されるのは、${\textstyle \{f,{\mathcal {H}}\}+{\frac {\partial f}{\partial t}}=0}$。 ここ${\displaystyle \{f,{\mathcal {H}}\}}$はポアソン括弧を表します。

システムが一般化座標qを持つラグランジアンLで定義されていると仮定します。Lに明示的な時間依存性がない場合 (したがって${\textstyle {\frac {\partial L}{\partial t}}=0}$)、エネルギーEは次のように定義される。

${\displaystyle E=\sum _{i}\left[{\dot {q}}_{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\right]-L}$

保存されている。

さらに、もし${\textstyle {\frac {\partial L}{\partial q}}=0}$すると、qは周期座標と呼ばれ、一般化運動量pは次のように定義される。

${\displaystyle p={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}}$

は保存される。これはオイラー・ラグランジュ方程式を用いて導出できる。

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