数学的分析

解析学は、連続関数、極限、微分、積分、測度、無限列、級数、解析関数などの関連理論を扱う数学の分野です。^[1]^[2]

これらの理論は通常、実数、複素数、関数の文脈で研究されます。解析学は、解析学の基本的な概念と手法を含む微積分学から発展しました。解析学は幾何学とは区別されますが、近さの定義 (位相空間) またはオブジェクト間の特定の距離 (距離空間) を持つ数学的オブジェクトの任意の空間に適用できます。

歴史

古代

数学的解析は17世紀の科学革命の時代に正式に発展したが、^[3]そのアイデアの多くはそれ以前の数学者に遡ることができる。解析における初期の結果は、古代ギリシャ数学の黎明期に暗黙のうちに存在していた。例えば、無限の幾何和はゼノンの二分法のパラドックスに暗黙のうちに含まれている。 ^[4]（厳密に言えば、このパラドックスのポイントは、無限和の存在を否定することである。）後に、エウドクソスやアルキメデスなどのギリシャの数学者は、領域や立体の面積と体積を計算するために枯渇法を使用した際に、極限と収束の概念をより明示的かつ非公式に使用した。 ^[5]無限小の明示的な使用は、20世紀に再発見されたアルキメデスの著作『機械的定理の方法』に見られる。 ^[6]アジアでは、中国の数学者劉徽が3世紀に円の面積を求めるために消尽法を使用しました。^[7]ジャイナ教の文献によると、ヒンズー教徒は紀元前4世紀にはすでに等差数列と幾何級数の和の公式を持っていたようです。 ^[8]アーチャーリャ・バドラバーフは紀元前433年に著したカルパスートラの中で等差数列の和を使用しています。^[9]

中世

祖崇志は5世紀に球体の体積を求めるための、後にカヴァリエリの原理と呼ばれる方法を確立した。 ^[10] 12世紀にはインドの数学者バースカラ2世が無限小を用いて、現在ではロールの定理として知られているものを使用した。^[11]

14世紀、サンガマグラマのマドハヴァは、現在テイラー級数と呼ばれる、正弦、余弦、正接、逆正接などの関数の無限級数展開を開発した。^[12]彼は三角関数のテイラー級数の開発と並行して、これらの級数を切り捨てることによって生じる誤差項の大きさを推定し、いくつかの無限級数の有理近似値を与えた。彼の弟子であるケーララ天文学数学学校は、16世紀まで彼の研究をさらに発展させた。

モダンな

基礎

数学的解析の現代的な基礎は、17世紀のヨーロッパで確立されました。^[3]これは、フェルマーとデカルトが現代の微積分学の前身である解析幾何学を開発したことに始まりました。フェルマーの等式法は、関数の最大値と最小値、および曲線の接線を決定することを可能にしました。^[13]デカルトが1637年に出版したLa Géométrieで直交座標系が導入されたことは、数学的解析の確立と見なされています。ニュートンとライプニッツが独立して微分積分学を開発したのは数十年後のことでした。これは、18世紀を通じて続いた応用研究の刺激を受けて、変分法、常微分方程式と偏微分方程式、フーリエ解析、および生成関数などの解析トピックに成長しました。この期間中、微積分の手法は、離散問題を連続問題で近似するために適用されました。

近代化

18世紀に、オイラーは数学的な関数の概念を導入した。^[14]実解析は、1816年にベルナルド・ボルツァーノが連続性の現代的な定義を導入したときに独立した科目として登場し始めたが、 ^[15]ボルツァーノの研究は1870年代まで広く知られることはなかった。 1821年、コーシーは、特にオイラーによる以前の研究で広く使用された代数の一般性の原理を否定することにより、微積分をしっかりとした論理的基礎の上に置き始めた。代わりに、コーシーは幾何学的なアイデアと無限小の観点から微積分を定式化した。したがって、彼の連続性の定義では、 xの無限小の変化がyの無限小の変化に対応することを要求した。彼はまた、コーシー列の概念を導入し、複素解析の形式理論を開始した。ポアソン、リウヴィル、フーリエらは偏微分方程式と調和解析を研究した。これらの数学者やワイエルシュトラスなどの他の数学者の貢献により、(ε, δ)-極限定義アプローチが開発され、現代の数学的解析の分野が確立されました。同じ頃、リーマンは積分理論を発表し、複素解析に大きな進歩をもたらしました。

19 世紀末になると、数学者たちは、証明なしに実数の連続体の存在を仮定しているのではないかと心配し始めた。デデキントは、デデキントカットによって実数を構築した。デデキントカットでは無理数が正式に定義され、有理数間の「隙間」を埋める役割を果たし、完全な集合、つまり実数の連続体を作り出した。これは、シモン・ステヴィンによって小数展開の観点で既に開発されていた。その頃、リーマン積分の定理を改良する試みは、実関数の不連続集合の「大きさ」の研究につながった。

また、一般的に「モンスター」として知られるさまざまな病的な対象（どこでも連続しない関数、連続だがどこでも微分できない関数、空間充填曲線など）の研究も始まりました。この文脈で、ジョーダンは測度論を開発し、カントールは現在素朴集合論と呼ばれるものを開発し、ベールはベールの圏定理を証明しました。20世紀初頭、微積分は公理的集合論を使用して形式化されました。ルベーグは測度論を大幅に改良し、現在ルベーグ積分として知られる独自の積分理論を導入し、リーマンの理論を大幅に改良したものであることが証明されました。ヒルベルトは積分方程式を解くためにヒルベルト空間を導入しました。ノルムベクトル空間のアイデアが浮上し、1920年代にバナッハが関数解析を作成しました。

重要な概念

メトリック空間

数学において、距離空間とは、集合の要素間の距離の概念(距離と呼ばれる) が定義されている集合です。

解析の多くは何らかの距離空間で行われます。最も一般的に使用されるのは、実数直線、複素平面、ユークリッド空間、その他のベクトル空間、および整数です。距離を使用しない解析の例には、測度論（距離ではなくサイズを記述する）や関数解析（距離の感覚を必要としない位相ベクトル空間を研究する）などがあります。

正式には、計量空間は、が集合でありが上の計量である順序付きペア、すなわち関数である。 $(M,d)$ $M$ $d$ $M$

d\colon M\times M\rightarrow \mathbb {R}

任意のに対して、次が成り立つ。 $x,y,z\in M$

$d(x,y)\geq 0$ 、等号は（識別不能なものの同一性）の場合にのみ成り立ちます。 $x=y$
$d(x,y)=d(y,x)$ （対称性）、そして
$d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)$ （三角不等式）。

3 番目の特性を取り、とすると、 (非負)であることが示されます。 $z=x$ $d(x,y)\geq 0$

シーケンスと制限

シーケンスは順序付けられたリストです。セットと同様に、シーケンスにはメンバー（要素または項とも呼ばれます）が含まれます。セットとは異なり、順序が重要であり、シーケンス内の異なる位置にまったく同じ要素が複数回出現する場合があります。最も正確には、シーケンスは、自然数などの可算な全順序集合を定義域とする関数として定義できます。

数列の最も重要な性質の 1 つは収束です。非公式には、数列が収束するとは、数列に極限がある場合です。非公式に続けると、（単無限）数列は、 n が非常に大きくなるにつれて、極限と呼ばれるある点xに近づくと、極限を持ちます。つまり、抽象数列 ( a _n ) ( nは 1 から無限大までと理解されています) の場合、 a _nとxの間の距離はn → ∞ で 0 に近づき、次のように表されます。

\lim _{n\to \infty }a_{n}=x.

主な支店

微積分

実分析

実解析（伝統的には「実変数関数の理論」）は、実数と実変数の実数値関数を扱う数学解析の分野です。[ ^16]^[17]特に、実数列の収束と極限、実数の微積分、実数値関数の連続性、滑らかさ、および関連する特性を含む、実関数と列の解析特性を扱います。

複雑な分析

複素解析（伝統的に「複素変数の関数の理論」として知られている）は、複素数の関数を調査する数学解析の分野です。^{[18]複素解析は、}代数幾何学、数論、応用数学を含む数学の多くの分野で有用であり、また、流体力学、熱力学、機械工学、電気工学、特に量子場の理論を含む物理学でも有用です。

複素解析は、特に複素変数の解析関数（または、より一般的には有理型関数）に関係します。解析関数の実部と虚部はそれぞれラプラス方程式を満たす必要があるため、複素解析は物理学の 2 次元問題に広く適用できます。

機能分析

関数解析は数学的解析学の一分野であり、その中核は、何らかの極限に関連した構造（例えば、内積、ノルム、位相など）を備えたベクトル空間と、これらの空間に作用し、適切な意味でこれらの構造を尊重する線型演算子の研究によって形成される。 ^[19]^{[20]関数解析の歴史的ルーツは、}関数の空間の研究と、関数空間間の連続、ユニタリなどの演算子を定義する変換としてのフーリエ変換などの関数の変換の特性の定式化にある。この観点は、微分方程式と積分方程式の研究に特に有用であることが判明した。

調和分析

調和解析は、関数と信号を基本波の重ね合わせとして表現する数学解析の分野です。これには、フーリエ級数とフーリエ変換(フーリエ解析)の概念の研究と、それらの一般化が含まれます。調和解析は、音楽理論、数論、表現論、信号処理、量子力学、潮汐解析、神経科学など、さまざまな分野で応用されています。

微分方程式

微分方程式は、1つまたは複数の変数の未知の関数に対する数学的な方程式であり、関数自体の値と様々な次数のその導関数を関連付けます。^[21]^[22]^[23]微分方程式は、工学、物理学、経済学、生物学、その他の分野で重要な役割を果たしています。

微分方程式は科学技術の多くの分野で登場しますが、具体的には、連続的に変化するいくつかの量（関数でモデル化）とそれらの空間または時間における変化率（導関数で表現）を含む決定論的な関係が既知であるか仮定されている場合に登場します。これは古典力学で例証され、物体の運動は時間値が変化するにつれてその位置と速度で記述されます。ニュートンの法則により、（位置、速度、加速度、物体に作用するさまざまな力が与えられれば）これらの変数を、物体の未知の位置を時間の関数として表す微分方程式として動的に表現できます。場合によっては、この微分方程式（運動方程式と呼ばれる）を明示的に解くことができます。

測度論

集合上の測度は、その集合の適切な部分集合それぞれに数値を割り当てる体系的な方法であり、直観的にはその大きさとして解釈される。 ^[24]この意味で、測度は長さ、面積、体積の概念の一般化である。特に重要な例はユークリッド空間上のルベーグ測度であり、これはユークリッド幾何学の従来の長さ、面積、体積を次元ユークリッド空間の適切な部分集合に割り当てます。たとえば、実数の区間のルベーグ測度は、日常的な意味での長さ、具体的には 1 です。 $n$ $\mathbb {R} ^{n}$ $\left[0,1\right]$

技術的には、測度は、集合の (特定の) 部分集合に非負の実数または+∞を割り当てる関数です。空集合に 0 を割り当て、(可算に) 加法的である必要があります。つまり、有限 (または可算) 個の「より小さな」互いに素な部分集合に分解できる「大きな」部分集合の測度は、「より小さな」部分集合の測度の合計です。一般に、測度の他の公理を満たしながら、特定の集合の各部分集合に一貫したサイズを関連付けたい場合は、計数測度のような自明な例しか見つかりません。この問題は、すべての部分集合の部分集合、つまり -代数を形成するために必要な、いわゆる測定可能な部分集合に対してのみ測度を定義することで解決されました。これは、測定可能な部分集合の空集合、可算な和集合、可算な共通集合、および補集合が測定可能であることを意味します。ユークリッド空間内の非測定集合は、ルベーグ測度を矛盾なく定義することができないため、その補集合とひどく混同されるという意味で必然的に複雑である。実際、それらの存在は選択公理の重要な帰結である。 $X$ $\sigma$

数値解析

数値解析は、数学的解析（離散数学とは区別される）の問題に対して、数値近似（一般的な記号操作とは対照的）を使用するアルゴリズムの研究である。^[25]

現代の数値解析では、正確な答えを求めることはあまりありません。なぜなら、正確な答えを得ることは実際には不可能なことが多いからです。代わりに、数値解析の多くは、誤差の妥当な範囲を維持しながら近似解を得ることに関係しています。

数値解析は当然のことながら、工学や物理科学のあらゆる分野で応用されていますが、21 世紀には生命科学や芸術にも科学的計算の要素が取り入れられています。常微分方程式は天体力学(惑星、恒星、銀河)に登場し、数値線形代数はデータ分析に重要であり、確率微分方程式とマルコフ連鎖は医学や生物学における生体細胞のシミュレーションに不可欠です。

ベクトル解析

ベクトル解析はベクトル計算とも呼ばれ、ベクトル値関数を扱う数学解析の分野です。^[26]

スカラー分析

スカラー解析は、方向ではなくスケールに関連する値を扱う数学的解析の分野です。温度などの値は、値が持つ可能性のある方向、力、または変位に関係なく、値の大きさを表すため、スカラーです。

テンソル解析

その他のトピック

変分法は、関数を扱う通常の微積分とは対照的に、極値関数を扱います。
調和解析は、関数または信号を基本波の重ね合わせとして表現することを扱います。
幾何学的解析には、偏微分方程式の研究における幾何学的手法の使用と、偏微分方程式の理論の幾何学への応用が含まれます。
クリフォード解析は、ディラックまたはディラックのような演算子によって消滅するクリフォード値関数の研究であり、一般にモノジェニック関数またはクリフォード解析関数と呼ばれます。
p進解析は、 p進数のコンテキスト内での解析の研究であり、実数や複素数の場合とは興味深く驚くべき点で異なります。
非標準解析。超実数とその関数を調査し、無限小数と無限大数を厳密に扱います。
計算可能分析、分析のどの部分が計算可能な方法で実行できるかを研究する。
確率計算–確率過程のために開発された分析概念。
集合値解析- 解析と位相の考え方を集合値関数に適用します。
凸解析、凸集合と凸関数の研究。
冪等解析–冪等半環のコンテキストにおける解析。加法逆関数の欠如は冪等規則 A + A = A によってある程度補われます。
- 熱帯解析–熱帯半環（または最大プラス代数/最小プラス代数）と呼ばれる冪等半環の解析。
構成的分析は、古典的な論理と集合論ではなく、構成的な論理と集合論の基礎の上に構築されます。
直観主義分析は、構成的分析と同様に構成的論理から発展したものですが、選択シーケンスも組み込まれています。
矛盾のない分析は、古典的な論理と集合論ではなく、矛盾のない基礎の上に構築されます。
滑らかなトポスで展開される滑らかな微小解析。

アプリケーション

分析のテクニックは、次のような他の分野でも見られます。

物理科学

古典力学、相対性理論、量子力学の大部分は応用解析学、特に微分方程式に基づいています。重要な微分方程式の例には、ニュートンの第2法則、シュレーディンガー方程式、アインシュタインの場の方程式などがあります。

関数解析は量子力学においても重要な要素です。

信号処理

音声、電波、光波、地震波、さらには画像などの信号を処理する場合、フーリエ解析は複合波形の個々の成分を分離し、それらを集中させて検出や除去を容易にすることができます。信号処理技術の大きなファミリーは、信号のフーリエ変換、フーリエ変換されたデータの単純な操作、および逆変換で構成されています。^[27]

数学の他の分野

解析の手法は、次のような数学の多くの分野で使用されています。

解析的数論
解析的組合せ論
連続確率
情報理論における微分エントロピー
微分ゲーム
微分幾何学は、複雑な内部構造を持ちながらも局所的には単純な挙動を示す多様体と呼ばれる特定の数学的空間に微積分を適用する学問です。
微分可能多様体
微分位相幾何学
偏微分方程式

有名な教科書

解析学の基礎: 有理数、無理数、複素数の算術、エドマンド・ランドー著
実体分析入門、アンドレイ・コルモゴロフ、セルゲイ・フォミン著^[28]
微分積分学 (3 巻)、Grigorii Fichtenholz著^[29]^[30]^[31]
グリゴリー・フィヒテンホルツ著『数学解析の基礎』（全2巻）^[32]^[33]
セルゲイ・ニコルスキー著『数学解析講座』（全2巻）^[34]^[35]
数学的解析（全2巻）、ウラジミール・ゾリッヒ著^[36]^[37]
高等数学講座（全5巻、全6部）、ウラジミール・スミルノフ著^[38]^[39]^[40]^[41]^[42]
ニコライ・ピスクノフ著『微分積分学』^[43]
アレクサンドル・ヒンチン著『数学解析講座』^[44]
数学的解析：特別講座、ゲオルギー・シロフ著^[45]
実変数関数論（全2巻）、イシドール・ナタンソン著^[46]^[47]
ボリス・デミドヴィッチ著『数学的解析の問題』^[48]
分析の問題と定理(2 巻)、George Pólya、Gábor Szegő著^[49]^[50]
数学的分析：高度な微積分への現代的アプローチ、トム・アポストル著^[51]
ウォルター・ルーディン著『数学解析の原理』^[52]
実解析：測度論、積分、ヒルベルト空間、エリアス・スタイン著^[53]
複素解析：1つの複素変数の解析関数の理論入門、ラース・アルフォース著^[54]
複素解析、エリアス・スタイン著^[55]
関数解析：解析のさらなるトピックへの入門、エリアス・スタイン著^[56]
分析（全2巻）、テレンス・タオ著^[57]^[58]
分析（全3巻）、ハーバート・アマン、ヨアヒム・エッシャー著^[59]^[60]^[61]
実関数解析学、ウラジミール・ボガチェフ、オレグ・スモリャノフ著^[62]
セルジュ・ラング著『実解析と関数解析』^[63]

参照

参考文献

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さらに読む

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外部リンク

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数学的分析 – ブリタニカ百科事典
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