円形セグメント

幾何学において、円弧または円板セグメント（記号：⌓ ）は、円板^[1]の領域であり、直線によって円板の残りの部分から「切り離された」ものです。完全な直線は割線と呼ばれ、円板内のセクションは弦と呼ばれます。^[2]

より正式には、円セグメントは、円弧(慣例により π ラジアン未満) とその端点を結ぶ円弦によって囲まれた平面領域です。

R を線分の周囲の一部を形成する円弧の半径、θをラジアンで表した円弧の中心角、 cを弦の長さ、 sを円弧の長さ、h を線分の矢状面(高さ)、 dを線分の遠心線、a を線分の 面積とします。

通常、弦の長さと高さは与えられているか測定されており、円弧の長さが周囲の一部として与えられることもあります。未知数は面積と円弧の長さの場合もあります。これらは弦の長さと高さから単純に計算することはできないため、通常は最初に 2 つの中間量、半径と中心角を計算します。

半径は次のとおりです。

${\displaystyle R={\tfrac {h}{2}}+{\tfrac {c^{2}}{8h}}}$^[3]

中心角は

${\displaystyle \theta =2\arcsin {\tfrac {c}{2R}}}$

弦の長さと高さは、半径と中心角から次のように逆計算できます。

弦の長さは

${\displaystyle c=2R\sin {\tfrac {\theta }{2}}=R{\sqrt {2(1-\cos \theta )}}}$

${\displaystyle c=2{\sqrt {R^{2}-(Rh)^{2}}}=2{\sqrt {2Rh-h^{2}}}}$

矢状面は

${\displaystyle h=R-{\sqrt {R^{2}-{\frac {c^{2}}{4}}}}=R(1-\cos {\tfrac {\theta }{2}})=R\left(1-{\sqrt {\tfrac {1+\cos \theta }{2}}}\right)={\frac {c}{2}}\tan {\frac {\theta }{4}}}$

格言は​

${\displaystyle d=Rh={\sqrt {R^{2}-{\frac {c^{2}}{4}}}}=R\cos {\tfrac {\theta }{2}}}$

円弧の長さは、円の幾何学から、

${\displaystyle s={\theta }R}$

円弧の面積a は、円扇形の面積から三角形部分の面積を引いたものに等しくなります ( の二倍角の公式を使用して に関する方程式を取得します)。 ${\displaystyle \theta}$

${\displaystyle a={\tfrac {R^{2}}{2}}\left(\theta -\sin \theta \right)}$

Rとhに関しては、

${\displaystyle a=R^{2}\arccos \left(1-{\frac {h}{R}}\right)-\left(Rh\right){\sqrt {R^{2}-\left(Rh\right)^{2}}}}$

cとhに関しては、

${\displaystyle a=\left({\frac {c^{2}+4h^{2}}{8h}}\right)^{2}\arccos \left({\frac {c^{2}-4h^{2}}{c^{2}+4h^{2}}}\right)-{\frac {c}{16h}}(c^{2}-4h^{2})}$

中心角が小さくなると（または半径が大きくなると）、面積aは急速に漸近的に に近づくと言えます。 の場合、は実質的に良好な近似値です。 ${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}c\cdot h}$${\displaystyle \theta \ll 1}$${\displaystyle a={\tfrac {2}{3}}c\cdot h}$

が一定で半径が変化することを許すと、${\displaystyle c}$$${\displaystyle {\frac {\partial a}{\partial s}}=R}$$

中心角がπに近づくにつれて、線分の面積は半円の面積に収束するので、後者の面積からのデルタオフセットが適切な近似値となります。 ${\displaystyle {\tfrac {\pi R^{2}}{2}}}$

${\displaystyle a\approx {\tfrac {\pi R^{2}}{2}}-(R+{\tfrac {c}{2}})(Rh)}$h>.75 Rの場合

たとえば、θが約 2.31 ラジアン (132.3°) のとき、面積は円の 4 分の 1 になります。これは、高さが半径の約 59.6%、弦の長さが半径の約 183% に相当します。^{[説明が必要]}

周長p は弧の長さと弦の長さの和であり、

${\displaystyle p=c+s=c+\theta R}$

円板全体の面積に対する割合として、 ${\displaystyle A=\pi R^{2}}$

${\displaystyle {\frac {a}{A}}={\frac {\theta -\sin \theta }{2\pi }}}$

面積の公式は、水平に置かれた部分的に満たされた円筒形のタンクの容積を計算するときに使用できます。

丸い上部を持つ窓やドアの設計では、cとh が唯一の既知の値である可能性があり、製図者のコンパス設定の R を計算するために使用できます。

断片の弧の長さと弦の長さを測定することで、断片から完全な円形物体の完全な寸法を再構築することができます。

円形パターン上の穴の位置をチェックします。特に機械加工製品の品質チェックに役立ちます。

円セグメントを含む平面図形の面積または重心を計算します。

• 弦（幾何学）
• 球形キャップ
• 円形セクター

• ワイスタイン、エリック W.「円セグメント」。マスワールド。

• 円弧の定義 インタラクティブアニメーション付き
• 円弧の面積の公式 インタラクティブアニメーション付き