二心多角形

幾何学において、二心多角形は接線多角形（すべての辺が内側の内接円に接する多角形）であり、また環状、つまり多角形の各頂点を通過する外円に内接する多角形です。すべての三角形とすべての正多角形は二心多角形です。一方、辺の長さが等しくない長方形は二心多角形ではありません。これは、4 辺すべてに接する円は存在しないためです。

すべての三角形は二心三角形である。^{[1]三角形において、}内接円と外接円の半径rとRは、次の式で関係付けられる。

${\displaystyle {\frac {1}{Rx}}+{\frac {1}{R+x}}={\frac {1}{r}}}$

ここでxは円の中心間の距離です。^[2]これはオイラーの三角形の公式の1つのバージョンです。

すべての四辺形が双心（内接円と外接円の両方を持つ）であるわけではない。半径Rとrの2つの円（一方が他方の内側にある）が与えられたとき、それらの半径が次を満たす 場合に限り、それらの一方に内接し、他方に接する凸四辺形が存在する。${\displaystyle R>r}$

${\displaystyle {\frac {1}{(Rx)^{2}}}+{\frac {1}{(R+x)^{2}}}={\frac {1}{r^{2}}}$

ここでxはそれらの中心間の距離である。^{[2] [3]}この条件（および高次の多角形に対する類似の条件）は、Fussの定理として知られている。^[4]

任意の辺数nに対して、外接半径R、内接半径r、外心と内心の距離x の関係を表す複雑な一般式が知られています。 ^[5]特定のnに対するこれらのいくつかは次のとおりです。

${\displaystyle n=5:\quad r(Rx)=(R+x){\sqrt {(R-r+x)(Rrx)}}+(R+x){\sqrt {2R(Rrx)}},}$

${\displaystyle n=6:\quad 3(R^{2}-x^{2})^{4}=4r^{2}(R^{2}+x^{2})(R^{2}-x^{2})^{2}+16r^{4}x^{2}R^{2},}$

${\displaystyle n=8:\quad 16p^{4}q^{4}(p^{2}-1)(q^{2}-1)=(p^{2}+q^{2}-p^{2}q^{2})^{4},}$

どこでそして${\displaystyle p={\tfrac {R+x}{r}}}$${\displaystyle q={\tfrac {R-x}{r}}.}$

すべての正多角形は二心円です。^[2]正多角形において、内接円と外接円は同心円です。つまり、内接円と外接円は共通の中心を共有しており、その中心は正多角形の中心でもあるため、内心と外心の間の距離は常にゼロです。内接円の半径は、遠心線（中心から正多角形の境界までの最短距離）です。

任意の正多角形について、共通辺の長さa 、内接円の半径r、外接円の半径Rの関係は次のようになります。

${\displaystyle R={\frac {a}{2\sin {\frac {\pi }{n}}}}={\frac {r}{\cos {\frac {\pi }{n}}}}.}$

コンパスと定規で作図できるいくつかの正多角形については、これらの関係を表す次の代数式が存在します。

したがって、次の小数近似値が得られます。

2 つの円が特定の二心n角形に内接円と外接円である場合、同じ 2 つの円は無数の二心 n 角形に内接円と外接円になります。より正確には、2 つの円の内側の円に接するすべての線は、外側の円と交差する点に頂点を配置し、各頂点から別の接線に沿って継続し、結果として生じる多角形チェーンがn角形に閉じるまで同様に継続することで、二心 n 角形に延長できます。常に閉じるという事実は、内接円錐と外接円錐に一般的に適用されるポンスレの閉包定理によって示唆されています。^[6]

さらに、外接円と内接円が与えられた場合、可変多角形の各対角線は固定円に接します。^[7]

• Weisstein、Eric W.「二心多角形」。MathWorld。