レンズ（幾何学）

2次元幾何学において、レンズとは、両端が互いに接する2つの円弧によって囲まれた凸領域のことです。この形状が凸であるためには、両方の円弧が外側に湾曲している必要があります（凸凸）。この形状は、2つの円盤の交点として形成できます。また、共通の弦に沿って結合された2つの円弧（円の弦と円自体の間の領域）の結合としても形成できます。

レンズの2つの円弧の半径が等しい場合、それは対称レンズと呼ばれ、そうでない場合は非対称レンズと呼ばれます。

魚形レンズは、対称レンズの一種であり、中心が互いに反対側の円弧上にある2つの円弧によって形成される。これらの円弧は、端点で120°の角度で交わる。

対称的

対称レンズの面積は、半径Rと弧長θ（ラジアン）を用いて表すことができる。

${\displaystyle A=R^{2}\left(\theta -\sin \theta \right).}$

非対称

半径Rとrの円から形成され、それらの中心間の距離がdである非対称レンズの面積は^{[ 1 ]である。}

${\displaystyle A=r^{2}\cos ^{-1}\left({\frac {d^{2}+r^{2}-R^{2}}{2dr}}\right)+R^{2}\cos ^{-1}\left({\frac {d^{2}+R^{2}-r^{2}}{2dR}}\right)-2\Delta }$

どこ

${\displaystyle \Delta ={\frac {1}{4}}{\sqrt {(-d+r+R)(d-r+R)(d+rR)(d+r+R)}}}$

は、辺の長さがd、r、Rの三角形の面積です。

2 つの円が重なる場合${\displaystyle d<r+R}$十分に大きい場合${\displaystyle d}$座標${\displaystyle x}$レンズ中心の座標は、2つの円の中心の座標の間にある。

小規模向け${\displaystyle d}$座標${\displaystyle x}$レンズ中心が円の中心を結ぶ線の外側にある場合：

円の方程式からyを消去することで${\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}}$そして${\displaystyle (x-d)^{2}+y^{2}=R^{2}}$交差するリムの横座標は

${\displaystyle x=(d^{2}+r^{2}-R^{2})/(2d)}$。

xの符号、つまり、${\displaystyle d^{2}}$より大きいか小さいか${\displaystyle R^{2}-r^{2}}$は、画像に示されている2つのケースを区別します。

交点の縦座標は

${\displaystyle y={\sqrt {r^{2}-x^{2}}}={\frac {\sqrt {[(R-d)^{2}-r^{2}][r^{2}-(R+d)^{2}]}}{2d}}}$。

平方根以下の負の値は、2つの円の縁が接していないことを示しています。これは、円同士が離れすぎているか、一方の円がもう一方の円の中に完全に収まっているためです。

平方根の中の値は、dの 2 次多項式です。この多項式の 4 つの根は、y=0と、 2 つの円が共通する点が 1 つだけのdの値に対応します。

辺d、r、Rの青い三角形の角度は

${\displaystyle \sin a_{r}=y/r;\quad \sin a_{R}=y/R}$

ここで、yは交点の縦座標です。arcsin の枝は${\displaystyle a_{r}>\pi /2}$服用すべき場合${\displaystyle d^{2}<R^{2}-r^{2}}$。

三角形の面積は${\displaystyle \Delta ={\frac {1}{2}}yd}$。

非対称レンズの面積は${\displaystyle A=a_{r}r^{2}+a_{R}R^{2}-yd}$ここで、2 つの角度はラジアンで測定されます。[これは包含排除原理の応用です。中心角が (0,0) と (d,0) にある 2 つの円形セクター${\displaystyle 2a_{r}}$そして${\displaystyle 2a_{R}}$エリアがある${\displaystyle 2a_{r}r^{2}}$そして${\displaystyle 2a_{R}R^{2}}$それらの和集合は、三角形、頂点が(x, −y)にある反転三角形、およびレンズ面積の2倍を覆う。]

異なる形状のレンズを用いることで、ミニヴァー夫人の問題に対する答えが得られる。つまり、2つの円の和集合の面積の半分の面積を持つレンズを見つけることができるのだ。

レンズはベータスケルトンを定義するために使用されます。ベータスケルトンとは、2つの点によって決定されるレンズが空である場合に、点のペアをエッジで接続することによって定義される、点の集合上の幾何学的グラフです。

• 円と円の交差点
• ルネとは、外側に湾曲した円弧と内側に湾曲した円弧の2つによって形成される、関連する非凸形状である。
• レモンは、先端を通る軸を中心に回転するレンズによって作られます。^{[ 2 ]}

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