接線多角形

ユークリッド幾何学において、接線多角形は外接多角形とも呼ばれ、内接円(内接円とも呼ばれる)を含む凸多角形です。内接円とは、多角形の各辺に接する円です。接線多角形の双対多角形は、各頂点を通過する外接円を持つ環状多角形です。

すべての三角形は接線状であり、任意の数の辺を持つすべての正多角形も同様です。よく研究されている接線多角形のグループは、菱形や凧形を含む接線四辺形です。

凸多角形に内接円が存在するのは、その内角の二等分線がすべて等しい場合に限られます。この共通点が内心（内接円の中心）です。^[1]

次式が成り立つとき、n個の連続する辺a ₁ , ..., a _nを持つ接線多角形が存在する。

${\displaystyle x_{1}+x_{2}=a_{1},\quad x_{2}+x_{3}=a_{2},\quad \ldots ,\quad x_{n}+x_{1}=a_{n}}$

正の実数で解( x ₁ , ..., x _n )を持つ。^[2]そのような解が存在する場合、x ₁ , ..., x _{n は}多角形の接線長（頂点から内接円が辺に接する点までの長さ）である。

辺の数nが奇数の場合、上記の存在基準を満たす任意の辺の長さの集合に対して、 接線多角形は1つだけ存在します。しかし、 nが偶数の場合、接線多角形は無数に存在します。^{[3] : p. 389}たとえば、すべての辺が等しい四辺形の場合、鋭角の任意の値を持つ菱形を持つことができ、すべての菱形は内接円に接します。 ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}$

接線多角形のn辺がa ₁ , ..., a _nである場合、内接円の半径は^[4]

${\displaystyle r={\frac {K}{s}}={\frac {2K}{\sum _{i=1}^{n}a_{i}}}}$

ここで、Kは多角形の面積、 s は半周です。(すべての三角形は接線方向にあるため、この式はすべての三角形に適用されます。)

• 奇数辺を持つ接線多角形の場合、すべての辺が等しいのは、すべての角度が等しい場合（つまり多角形が正多角形の場合）に限ります。偶数辺を持つ接線多角形の場合、交互の角度が等しい場合（つまり、角度A、C、E、...が等しく、角度B、D、F、...が等しい場合）に限り、すべての辺が等しくなります。^[5]
• 偶数辺を持つ接線多角形においては、奇数辺の長さの合計は偶数辺の長さの合計に等しい。^[2]
• 接線多角形は、同じ周長、同じ内角の順序を持​​つ他のどの多角形よりも面積が大きい。^{[6] : p. 862  [7]}
• 接線多角形の重心、その境界点の重心、内接円の中心は同一直線上にあり、多角形の重心は他の重心の間にあり、内心からの距離は境界の重心からの2倍である。^{[6] : pp. 858–9}

すべての三角形は何らかの円に接していますが、接線三角形と円の接線が参照三角形の頂点でもある場合、その三角形は参照三角形の 接線三角形と呼ばれます。

• 接線六角形 ABCDEFでは、主対角線 AD、BE、CF は、ブリアンションの定理に従って交差します。

• サーカムゴン