一般化された円

円​${\displaystyle \Gamma }$点の集合​${\displaystyle z}$半径 の平面上${\displaystyle r}$中心点から${\displaystyle \gamma .}$

$\displaystyle \Gamma (\gamma ,r)=\{z:{\text{zと\gammaの間の距離は}}rである}$

複素平面では、${\displaystyle \gamma }$は複素数であり、${\displaystyle \Gamma }$は複素数の集合です。複素数にその共役複素数を掛けると、その絶対値（原点からのユークリッド距離）の二乗になるという性質を利用して、の陰関数方程式は次のようになります。${\displaystyle \Gamma }$は：

${\displaystyle {\begin{aligned}r^{2}&=\left|z-\gamma \right|^{2}=(z-\gamma ){\overline {(z-\gamma )}}\\[5mu]0&=z{\bar {z}}-{\bar {\gamma }}z-\gamma {\bar {z}}+\left(\gamma {\bar {\gamma }}-r^{2}\right).\end{aligned}}}$

これは複素変数に関する同次二変数線形多項式方程式である。${\displaystyle z}$およびその共役${\displaystyle {\bar {z}},}$形式

${\displaystyle Az{\bar {z}}+Bz+C{\bar {z}}+D=0,}$

ここで係数${\displaystyle A}$そして${\displaystyle D}$現実であり、${\displaystyle B}$そして${\displaystyle C}$これらは複雑な共役物です。

で割る${\displaystyle A}$そして上記のステップを逆に行うと、半径は${\displaystyle r}$そして中央${\displaystyle \gamma }$この形式の任意の方程式から復元できます。この方程式は、平面上の一般化された円を表します。${\displaystyle r}$現実の出来事${\displaystyle AD<BC}$半径の二乗$\displaystyle r^{2}=(BC-AD)/A^{2}}$正の値です。${\displaystyle A}$がゼロの場合、この方程式は直線を表します。

相互変換${\displaystyle z\mapsto w=1/z}$一般化された円を一般化された円にマッピングすることは、簡単に検証できます。

${\displaystyle {\begin{aligned}0&=Az{\bar {z}}+Bz+C{\bar {z}}+D\\[5mu]&={\frac {A}{w{\bar {w}}}}+{\frac {B}{w}}+{\frac {C}{\bar {w}}}+D\\[5mu]&=A+B{\bar {w}}+Cw+Dw{\bar {w}}\\[5mu]&=D{\bar {w}}w+Cw+B{\bar {w}}+A.\end{aligned}}}$

原点を通る線（${\displaystyle A=D=0}$)原点を通る線にマッピングします。原点を通らない線(${\displaystyle A=0,D\neq 0}$)原点を通る円にマッピングします。原点を通る円(${\displaystyle A\neq 0,D=0}$)原点を通らない直線にマッピングします。また、原点を通らない円にもマッピングします(${\displaystyle A\neq 0,D\neq 0}$)原点を通らない円にマッピングします。

一般化された円の定義方程式

${\displaystyle 0=Az{\bar {z}}+Bz+C{\bar {z}}+D}$

行列方程式として記述できる

${\displaystyle 0={\begin{pmatrix}z&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\bar {z}}\\1\end{pmatrix}}.}$

象徴的に言えば、

${\displaystyle 0=\mathbf {z} ^{\text{T}}{\mathfrak {C}}\,{\bar {\mathbf {z} }},}$

係数は可逆エルミート行列に配置されます${\displaystyle {\mathfrak {C}}={\mathfrak {C}}^{\dagger }}$円を表し、${\displaystyle \mathbf {z} ={\begin{pmatrix}z&1\end{pmatrix}}^{\text{T}}}$拡張複素数を表すベクトル。

このような2つの行列が同じ一般化円を指定するのは、一方が他方のスカラー倍である場合に限る。

によって表される一般化された円を変換するには${\displaystyle {\mathfrak {C}}}$メビウス変換によって${\displaystyle {\mathfrak {H}},}$メビウス変換の逆変換を適用する${\displaystyle {\mathfrak {G}}={\mathfrak {H}}^{-1}}$ベクトルへ${\displaystyle \mathbf {z} }$暗黙の方程式では、

${\displaystyle {\begin{aligned}0&=\left({\mathfrak {G}}\mathbf {z} \right)^{\text{T}}{\mathfrak {C}}\,{\overline {({\mathfrak {G}}\mathbf {z} )}}\\[5mu]&=\mathbf {z} ^{\text{T}}\left({\mathfrak {G}}^{\text{T}}{\mathfrak {C}}{\bar {\mathfrak {G}}}\right){\bar {\mathbf {z} }},\end{aligned}}}$

したがって、新しい円は行列で表すことができる$\displaystyle {\mathfrak {G}}^{\text{T}}{\mathfrak {C}}{\bar {\mathfrak {G}}}.}$