クラメールの定理（代数曲線）

代数幾何学において、代数曲線に関するクラメールの定理は、非退化の場合に代数曲線を一意に決定するために、実平面上の点が何個必要かつ十分な数であるかを与える。この数は

${\displaystyle {\frac {n(n+3)}{2}},}$

ここでnは曲線の次数である。この定理は1750年に発表されたガブリエル・クラマーによるものである。 ^[1]

たとえば、直線 (次数 1) は、直線上の 2 つの異なる点によって決まります。つまり、この 2 点を通る直線は 1 本だけです。同様に、非退化円錐( xとyの多項式で、どの項のべき乗の合計も 2 を超えず、したがって次数 2) は、一般的な位置にある 5 つの点(そのうち 3 つが直線上にない) によって一意に決まります。

円錐の場合の直感は次のようになります。与えられた点が、具体的には楕円上にあると仮定します。楕円を特定するには、楕円の中心の水平位置、中心の垂直位置、長軸(最も長い弦の長さ)、短軸(中心を通る、長軸に垂直な最短弦の長さ)、楕円の回転方向(長軸が水平から離れる程度) という 5 つの情報が必要かつ十分です。一般的な位置にある 5 つの点があれば、これら 5 つの情報を提供するのに十分ですが、4 つの点では十分ではありません。

2 変数のn次方程式の異なる項の数は( n  + 1)( n  + 2) / 2 です (係数が 0 のものも含む)。これは、n次項の合計がn + 1 であり 、 ( n  − 1) 次項の合計がnであり、以下同様に 1 次項の合計が 2 であり、0 次項 (定数) が 1 つあるためです。これらの合計は ( n + 1) + n + ( n − 1) + ... + 2 + 1 = ( n + 1)( n + 2) / 2 項で、各項には独自の係数があります。 ただし 、 これらの 係数の 1つ は曲線を決定する際に冗長です。これは、多項式方程式を任意の係数で常に除算して、1 つの係数が 1 に固定された同等の方程式を生成できるためです。したがって、残りの係数は [( n  + 1)( n  + 2) / 2] − 1 =  n ( n  + 3) / 2 となります。 ${\displaystyle x^{n},\,x^{n-1}y^{1},\,\dots ,\,y^{n},}$${\displaystyle x^{n-1},\,x^{n-2}y^{1},\,\dots ,\,y^{n-1},}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y,}$

例えば、4次方程式の一般的な形は次のようになります。

${\displaystyle x^{4}+c_{1}x^{3}y+c_{2}x^{2}y^{2}+c_{3}xy^{3}+c_{4}y^{4}+c_{5}x^{3}+c_{6}x^{2}y+c_{7}xy^{2}+c_{8}y^{3}+c_{9}x^{2}+c_{10}xy+c_{11}y^{2}+c_{12}x+c_{13}y+c_{14}=0,}$

係数は4(4+3)/2 = 14です。

一連の点を通じて代数曲線を決定することは、各点が方程式を満たすように代数方程式のこれらの係数の値を決定することで構成されています。n ( n  + 3) / 2 個の点 ( x _i、y _i ) が与えられている場合、これらの各点を使用して、一般n次多項式方程式に代入することにより、別の方程式を作成できます。これにより、 n ( n + 3) / 2 個の未知の係数について線形な n ( n  + 3) / 2 個の方程式が得られます。このシステムが、非ゼロの行列式を 持つという意味で非退化である場合、未知の係数は一意に決定され、したがって多項式方程式とその曲線は一意に決定されます。この数の点を超えると冗長になり、これより少ない数では、係数について方程式系を一意に解くのに不十分になります。

 曲線上のn ( n + 3) / 2 点では曲線を一意に決定するのに十分ではない退化したケースの例は、クラマーのパラドックスの一部としてクラマーによって提供されました。次数をn = 3とし 、9 点をx  = −1, 0, 1 およびy = −1, 0, 1 のすべての組み合わせとします。1 つ以上の立方体にこれらすべての点、つまり方程式のすべての立方体が含まれます。したがって、これらの点はn ( n + 3) / 2 = 9個あっても、一意の立方体を決定しません 。より一般的には、2 つの立方体の 9 つの交点を通る立方体は無限にあります (ベズーの定理は、2 つの立方体に一般に 9 つの交点があることを意味します)。 ${\displaystyle a(x^{3}-x)+b(y^{3}-y)=0.}$

同様に、 n = 2の円錐曲線の場合、指定された 5 つの点のうち 3 つがすべて同じ直線上にある場合、それらの点によって曲線が一意に決定されない可能性があります。

曲線がn次多項式方程式の特定のサブカテゴリにあることが要求される場合、一意の曲線を決定するためにn ( n  + 3) / 2 未満の点が必要かつ十分な場合があります。たとえば、3 つの (非共線) 点によって円が決定されます。一般的な円は、中心が ( a、b ) にあり、半径がrである方程式で与えられます。同様に、平方項を展開すると、一般的な方程式は次のようになります。ここで、 n = 2の一般的な円錐の場合と比較して、ここでは 2 つの制限が課されています。xy の項の係数は0 に制限され、y ^{2の係数は}x ²の係数に等しくなるように制限されます。したがって、必要な点は 5 つではなく、識別する必要のある 3 つのパラメーターa、  b、  k (同様にa、  b、  r )と一致する 5 − 2 = 3 のみが必要です。 ${\displaystyle (xa)^{2}+(yb)^{2}=r^{2}}$${\displaystyle x^{2}-2ax+y^{2}-2by=k,}$${\displaystyle k=r^{2}-a^{2}-b^{2}.}$

• 5つの点が円錐曲線を決定する