外積代数

数学において、ベクトル空間の外積代数またはグラスマン代数は、外積またはくさび積と呼ばれる積を持ち、で表記される結合代数であり、 内の任意のベクトルに対してとなる。外積代数はヘルマン・グラスマンにちなんで名付けられ、^[3]、積の名前は「くさび」記号と の2つの要素の積が「外側」にあるという事実に由来している。 ${\displaystyle V}$${\displaystyle V,}$${\displaystyle \wedge}$${\displaystyle v\wedge v=0}$${\displaystyle v}$${\displaystyle V.}$${\displaystyle \wedge}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V.}$

ベクトルのくさび積は、次数のブレードまたは-ブレードと呼ばれます。くさび積は、もともとは面積、体積、およびそれらの高次元類似物を研究するために幾何学で使用される代数構成として導入されました。2ブレードの大きさは、およびで定義される平行四辺形の面積であり、より一般的には、 - ブレードの大きさは、構成ベクトルによって定義される平行四辺形の (超) 体積です。交代特性は、歪対称特性を意味し、より一般的には、任意のブレードは、その構成ベクトルの 2 つが交換されるたびに符号が反転し、反対方向の平行四辺形に対応します。 ${\displaystyle k}$${\displaystyle v_{1}\wedge v_{2}\wedge \dots \wedge v_{k}}$ ${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$ ${\displaystyle v\wedge w}$${\displaystyle v}$${\displaystyle w,}$${\displaystyle k}$${\displaystyle v\wedge v=0}$${\displaystyle v\wedge w=-w\wedge v,}$

完全な外積代数には、ブレードではなくブレードの線形結合であるオブジェクトが含まれます。同次ブレードの和はkベクトルと呼ばれ、より一般的な任意次ブレードの和はマルチベクトルと呼ばれます。^[4]ブレードの線形スパンは の-次外積と呼ばれます。外積代数は の- 次外積の直和であり、これにより外積代数は次数付き代数になります。 ${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle V.}$${\displaystyle k}$${\displaystyle V,}$

外積代数は、外積代数の要素を関連付けるすべての方程式が、 および を含み 、かつ のすべての要素の平方がゼロであるすべての結合代数でも有効であるという意味において 普遍的です。 ${\displaystyle V}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V}$

外積代数の定義は、ベクトル場や、定義域がベクトル空間である関数など、ベクトル空間から構成される空間に拡張できます。さらに、スカラー体は任意の体である可能性があります (ただし、標数 2 の体の場合、上記の条件は、他の標数では同値であるに置き換える必要があります)。より一般的には、外積代数は、可換環上の加群に対して定義できます。特に、変数の微分形式の代数は、変数の滑らかな関数の環上の外積代数です。 ${\displaystyle v\wedge v=0}$${\displaystyle v\wedge w+w\wedge v=0,}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$

2次元ユークリッドベクトル空間は、直交する 単位ベクトルの組からなる基底を備えた実ベクトル空間である。${\displaystyle \mathbf {R} ^{2}}$

${\displaystyle {\mathbf {e} }_{1}={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}},\quad {\mathbf {e} }_{2}={\begin{ bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}.}$

仮に

${\displaystyle \mathbf {v} ={\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}}=a\mathbf {e} _{1}+b\mathbf {e} _{2},\quad \mathbf {w} ={\begin{bmatrix}c\\d\end{bmatrix}}=c\mathbf {e} _{1}+d\mathbf {e} _{2}}$

は、 ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbf {R} ^{2}}$内の与えられたベクトルのペアで、成分で表されます。と を2辺として持つ唯一の平行四辺形があります。 この平行四辺形の面積は、標準的な行列式の公式で与えられます。 ${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle \mathbf {w} }$

${\displaystyle {\text{面積}}={\Bigl |}\det {\begin{bmatrix}\mathbf {v} &\mathbf {w} \end{bmatrix}}{\Bigr |}={\Biggl |}\det {\begin{bmatrix}a&c\\b&d\end{bmatrix}}{\Biggr |}=\left|ad-bc\right|.}$

ここで、と⁠ ⁠の外積を考えます。 ${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle \mathbf {w} }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} \wedge \mathbf {w} &=(a\mathbf {e} _{1}+b\mathbf {e} _{2})\wedge (c\mathbf {e} _{1}+d\mathbf {e} _{2})\\&=ac\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{1}+ad\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}+bc\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{1}+bd\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{2}\\&=\left(ad-bc\right)\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}\end{aligned}}}$

ここで、最初のステップでは外積の分配法則を使用し、最後のステップでは外積が交代写像であること、特に (外積が交代写像 であることから、 も強制されます) という事実を使用します。この最後の式の係数は、まさに行列[ v w ]の行列式であることに注意してください。これが正または負になる可能性があるという事実は、vとw が、それらが定義する平行四辺形の頂点として反時計回りまたは時計回りの方向に向いている可能性があるという直感的な意味を持ちます。このような領域は、平行四辺形の符号付き領域と呼ばれます。符号付き領域の絶対値が通常の領域であり、符号によってその方向が決まります。 ${\displaystyle \mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{1}=-(\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}).}$${\displaystyle \mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{1}=\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{2}=0.}$

この係数が符号付き面積であるという事実は偶然ではありません。実際、この面積を代数的構成として公理化しようとすると、外積が符号付き面積と関連していることは比較的簡単にわかります。詳細には、ベクトル v と w のペアが 2 つの隣接する辺を形成する平行四辺形の符号付き面積を A( v , w ) が表す場合、 Aは次の特性を満たしている必要があります。

1. 任意の実数rとsについて、 A( r v , s w ) = rs A( v , w )です。これは、いずれかの辺のスケールを変更すると、面積が同じ量だけ変更されるためです (また、いずれかの辺の方向を反転すると、平行四辺形の向きが反転します)。
2. A( v , v ) = 0 、 vによって決まる退化した平行四辺形（つまり線分）の面積はゼロであるため。
3. A( w , v ) = −A( v , w ) 、 vとwの役割を入れ替えると平行四辺形の向きが逆になるからです。
4. 任意の実数rに対してA( v + r w , w ) = A( v , w )です。これは、 wの倍数をvに加えても平行四辺形の底辺も高さも影響を受けず、結果として面積が保存されるためです。
5. 単位正方形の面積は1なので、A( e ₁ , e ₂ ) = 1です。

最後の性質を除いて、2つのベクトルの外積は面積と同じ性質を満たします。ある意味では、外積は平行四辺形の面積を平行平面（ここでは辺がe ₁とe ₂のもの）上の任意の平行四辺形の面積と比較できるようにすることで、最後の性質を一般化します。言い換えれば、外積は面積の基底に依存しない定式化を提供します。 ^[5]

R ³のベクトルの場合、外積代数は外積および三重積と密接に関係しています。標準基底{ e ₁ , e ₂ , e ₃ }を使用すると、ベクトルのペアの外積は

${\displaystyle \mathbf {u} =u_{1}\mathbf {e} _{1}+u_{2}\mathbf {e} _{2}+u_{3}\mathbf {e} _{3} }$

そして

${\displaystyle \mathbf {v} =v_{1}\mathbf {e} _{1}+v_{2}\mathbf {e} _{2}+v_{3}\mathbf {e} _{3} }$

は

${\displaystyle \mathbf {u} \wedge \mathbf {v} =(u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1})(\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2})+(u_{3}v_{1}-u_{1}v_{3})(\mathbf {e} _{3}\wedge \mathbf {e} _{1})+(u_{2}v_{3}-u_{3}v_{2})(\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3})}$

ここで、{ e ₁ ∧ e ₂ , e ₃ ∧ e ₁ , e ₂ ∧ e ₃ } は 3 次元空間 ⋀ ² ( R ^{3 ) の基底です。上記の係数は、3 次元のベクトルの}外積の通常の定義と同じですが、唯一の違いは、外積が通常のベクトルではなく、バイベクトルであることです。

第三のベクトルを導入する

${\displaystyle \mathbf {w} =w_{1}\mathbf {e} _{1}+w_{2}\mathbf {e} _{2}+w_{3}\mathbf {e} _{3},}$

3つのベクトルの外積は

${\displaystyle \mathbf {u} \wedge \mathbf {v} \wedge \mathbf {w} =(u_{1}v_{2}w_{3}+u_{2}v_{3}w_{1}+u_{3}v_{1}w_{2}-u_{1}v_{3}w_{2}-u_{2}v_{1}w_{3}-u_{3}v_{2}w_{1})(\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3})}$

ここで、e ₁ ∧ e ₂ ∧ e ₃は1次元空間 ⋀ ³ ( R ³ ) の基底ベクトルです。スカラー係数は3つのベクトルの 三重積です。

3 次元の外積と三重積は、それぞれ幾何学的解釈と代数的解釈の両方が可能です。外積u × v は、 uとv の両方に垂直で、その大きさが 2 つのベクトルによって決まる平行四辺形の面積に等しいベクトルとして解釈できます。また、列uとv を持つ行列の小行列式からなるベクトルとして解釈することもできます。 u、v、およびwの三重積は、幾何学的には (符号付き) 体積です。代数的には、これは列u、v、およびwを持つ行列の行列式です。3 次元の外積でも同様の解釈が可能です。実際、正の方向の正規直交基底が存在する場合、外積によってこれらの概念がより高い次元に一般化されます。

体上のベクトル空間の外代数は、テンソル代数T ( V ) の商代数として定義される。ここで、${\displaystyle \bigwedge (V)}$${\displaystyle V}$ ${\displaystyle K}$

${\displaystyle T(V)=\bigoplus _{k=0}^{\infty }T^{k}V=K\oplus V\oplus (V\otimes V)\oplus (V\otimes V\otimes V)\oplus \cdots ,}$

となる形式のすべての要素によって生成される両側イデアル によって表される。^[6]記号的に言えば、 ${\displaystyle I}$${\displaystyle x\otimes x}$${\displaystyle x\in V}$

${\displaystyle \bigwedge (V):=T(V)/I.\,}$

の2つの要素の外積は次のように定義される。 ${\displaystyle \wedge }$${\displaystyle \bigwedge (V)}$

${\displaystyle \alpha \wedge \beta =\alpha \otimes \beta {\pmod {I}}.}$

外積は⁠ ⁠の元で交代的に構成されるため、上記の構成によりすべてに対してとなる。したがって、 ⁠ ⁠の元でも積は反可換となる。 ⁠ ⁠と仮定すると、 ${\displaystyle V}$${\displaystyle x\wedge x=0}$${\displaystyle x\in V,}$${\displaystyle V}$${\displaystyle x,y\in V}$

${\displaystyle 0=(x+y)\wedge (x+y)=x\wedge x+x\wedge y+y\wedge x+y\wedge y=x\wedge y+y\wedge x}$

したがって

${\displaystyle x\wedge y=-(y\wedge x).}$

より一般的には、が 整数⁠ ⁠の順列であり、 ⁠ ⁠ 、⁠ ⁠、 ..., ⁠ ⁠ が⁠ ⁠の要素である場合、${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle [1,\dots ,k]}$${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle x_{2}}$${\displaystyle x_{k}}$${\displaystyle V}$

${\displaystyle x_{\sigma (1)}\wedge x_{\sigma (2)}\wedge \cdots \wedge x_{\sigma (k)}=\operatorname {sgn}(\sigma )x_{1}\wedge x_{2}\wedge \cdots \wedge x_{k},}$

ここで は順列 ⁠ ⁠ の符号である。[ ^7]${\displaystyle \operatorname {sgn}(\sigma )}$ ${\displaystyle \sigma }$

特に、ある⁠ ⁠に対して、交代特性の次の一般化も成り立ちます。 ${\displaystyle x_{i}=x_{j}}$${\displaystyle i\neq j}$

${\displaystyle x_{1}\wedge x_{2}\wedge \cdots \wedge x_{k}=0.}$

外積の分配法則と合わせて、さらに一般化して、ベクトルの線形従属集合となるための必要十分条件は、 ${\displaystyle \{x_{1},x_{2},\dots ,x_{k}\}}$

${\displaystyle x_{1}\wedge x_{2}\wedge \cdots \wedge x_{k}=0.}$

⁠ ⁠のk番目の外冪は⁠ ⁠ と表記され、次の形式の要素によって 張られる⁠ ⁠のベクトル部分空間である。${\displaystyle V}$${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)}$${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V)}$

${\displaystyle x_{1}\wedge x_{2}\wedge \cdots \wedge x_{k},\quad x_{i}\in V,i=1,2,\dots ,k.}$

⁠ ⁠${\displaystyle \alpha \in {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)}$の場合、 はkベクトルであると言われます。さらに、が⁠ ⁠の元の外積として表せる場合、 は分解可能（または 単純、または ブレードと呼ぶ著者もいます）と言われます。分解可能な⁠ ⁠ベクトルは⁠ ⁠を張りますが、 のすべての要素が分解可能であるわけではありません。たとえば、⁠ ⁠と基底⁠ ⁠が与えられている場合、次の 2 ベクトルは分解可能ではありません。 ${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle k}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle k}$${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)}$${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)}$${\displaystyle \mathbf {R} ^{4}}$${\displaystyle \{e_{1},e_{2},e_{3},e_{4}\}}$

${\displaystyle \alpha =e_{1}\wedge e_{2}+e_{3}\wedge e_{4}.}$

の次元が でがの基底である場合、集合 ${\displaystyle V}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \{e_{1},\dots ,e_{n}\}}$${\displaystyle V}$

${\displaystyle \{\,e_{i_{1}}\wedge e_{i_{2}}\wedge \cdots \wedge e_{i_{k}}~{\big |}~~1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq n\,\}}$

は⁠ ⁠${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)}$の基底である。その理由は次の通りである。

${\displaystyle v_{1}\wedge \cdots \wedge v_{k},}$

すべてのベクトルは、基底ベクトル ⁠ ⁠ の線形結合として表すことができます。外積の双線型性を使用して、これをそれらの基底ベクトルの外積の線形結合に拡張できます。同じ基底ベクトルが複数回出現する外積はゼロです。基底ベクトルが適切な順序で出現しない外積は、2 つの基底ベクトルの位置が入れ替わるたびに符号を変更して並べ替えることができます。一般に、基底kベクトルの結果の係数は、基底⁠ ⁠に関してベクトルを記述する行列の小行列式として計算できます。 ${\displaystyle v_{j}}$${\displaystyle e_{i}}$${\displaystyle v_{j}}$${\displaystyle e_{i}}$

基底要素を数えると、 の次元は二項係数に等しくなります。 ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)}$

${\displaystyle \dim {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)={\binom {n}{k}},}$

ここで、⁠ ⁠は${\displaystyle n}$ベクトルの次元、⁠ ⁠ は${\displaystyle k}$積に含まれるベクトルの数です。二項係数は、例外的な場合でも、特に⁠ ⁠の場合でも正しい結果を生成します。 ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)=\{0\}}$${\displaystyle k>n}$

外積代数の任意の要素はkベクトルの和として表すことができる。したがって、ベクトル空間として、外積代数は直和である。

${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V)={\textstyle \bigwedge }^{\!0}(V)\oplus {\textstyle \bigwedge }^{\!1}(V)\oplus {\textstyle \bigwedge }^{\!2}(V)\oplus \cdots \oplus {\textstyle \bigwedge }^{\!n}(V)}$

(慣例により、 ⁠ ⁠ 、 ⁠ ⁠ の基底体、 ⁠ ⁠ ) であり、${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!0}(V)=K}$したがってその次元は二項係数の合計、つまり⁠ ⁠に等しくなります。 ${\displaystyle V}$${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!1}(V)=V}$${\displaystyle 2^{n}}$

⁠ ⁠${\displaystyle \alpha \in {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)}$の場合、分解可能なkベクトルの線形結合として表現できます。 ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle \alpha =\alpha ^{(1)}+\alpha ^{(2)}+\cdots +\alpha ^{(s)}}$

ここで、それぞれは分解可能であり、 ${\displaystyle \alpha ^{(i)}}$

${\displaystyle \alpha ^{(i)}=\alpha _{1}^{(i)}\wedge \cdots \wedge \alpha _{k}^{(i)},\quad i=1,2,\ldots ,s.}$

kベクトルのランクは、 ⁠ ⁠のそのような展開における分解可能なkベクトルの最小数です。これは、テンソルのランクの概念に似ています。 ${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha }$

階数は2次元ベクトルの研究において特に重要である（Sternberg 1964, §III.6）（Bryant et al. 1991）。2次元ベクトルの階数は、基底の係数行列の階数の半分と同一視できる。したがって、が⁠ ⁠の基底である場合、は次のように一意に表現できる。 ${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle e_{i}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle \alpha =\sum _{i,j}a_{ij}e_{i}\wedge e_{j}}$

ここで(係数の行列は歪対称) です。したがって、行列の階数は偶数であり、形式 の階数の 2 倍になります。 ${\displaystyle a_{ij}=-a_{ji}}$${\displaystyle a_{ij}}$${\displaystyle \alpha }$

特性0において、2次元ベクトルが階数を持つのは、 ${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle p}$

${\displaystyle {\underset {p}{\underbrace {\alpha \wedge \cdots \wedge \alpha } }}\neq 0\ }$そして${\displaystyle \ {\underset {p+1}{\underbrace {\alpha \wedge \cdots \wedge \alpha } }}=0.}$

kベクトルとpベクトルの外積はベクトルであり、ここでも双線型性が生じる。その結果、前節の直和分解は ${\displaystyle (k+p)}$

${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V)={\textstyle \bigwedge }^{\!0}(V)\oplus {\textstyle \bigwedge }^{\!1}(V)\oplus {\textstyle \bigwedge }^{\!2}(V)\oplus \cdots \oplus {\textstyle \bigwedge }^{\!n}(V)}$

外積代数に次数代数という追加の構造を与える。つまり、

${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)\wedge {\textstyle \bigwedge }^{\!p}(V)\subset {\textstyle \bigwedge }^{\!k+p}(V).}$

さらに、Kが基底体であれば、

${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!0}(V)=K}$そして${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!1}(V)=V.}$

外積は次数付き反可換であり、つまりおよびならば、 ${\displaystyle \alpha \in {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)}$${\displaystyle \beta \in {\textstyle \bigwedge }^{\!p}(V)}$

${\displaystyle \alpha \wedge \beta =(-1)^{kp}\beta \wedge \alpha .}$

ブルバキ (1989) は、外在代数上の次数構造の研究に加えて、次数付きモジュール(すでに独自の次数を持つモジュール)の外在代数上の次数構造など、外在代数上の追加の次数構造も研究しています。

V を体K上のベクトル空間とする。非公式には、 における乗算は、記号を操作し、分配法則、結合法則を課し、v ∈ Vの恒等式を使用することで実行される。公式には、は、これらの規則が乗算に当てはまる「最も一般的な」代数であり、V を含む任意の単位結合K代数でV上の交代乗法は、 ⁠ ⁠の準同型像を必ず含むという意味である。言い換えると、外積代数は次の普遍的性質を持つ: ^[8]${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V)}$${\displaystyle v\wedge v=0}$${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V)}$${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V)}$

V を含み、その乗法がV上で交代する最も一般的な代数を構成するには、 V を含む最も一般的な結合代数、つまりテンソル代数 T ( V )から始めて、適切な商を取ることで交代性を強化するのが自然です。したがって、 V内のvに対して形式v ⊗ vのすべての要素によって生成されるT ( V )内の両側イデアル Iを取り、商として 定義します。${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V)}$

${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V)=T(V)\,/\,I}$

（そして、⁠ ⁠の乗算記号として∧を使用します）。すると、 がV を含み、上記の普遍的性質を満たすこと が簡単に示せます。${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V)}$${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V)}$

この構成の結果として、ベクトル空間Vにその外積代数を割り当てる操作は、ベクトル空間のカテゴリから代数のカテゴリへの 関数です。${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V)}$

最初に定義してから外冪を特定の部分空間として識別するのではなく、代わりに最初に空間を定義してからそれらを組み合わせて代数⁠ ⁠を形成することもできます。このアプローチは微分幾何学でよく使用され、次のセクションで説明します。 ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V)}$${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)}$${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)}$${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V)}$

可換環 と-加群⁠ ⁠が与えられれば、上と同じように外積代数を、テンソル代数⁠ ⁠の適切な商として定義できます。これは、類似の普遍的性質を満たします。 の性質の多くは、射影加群であることも必要とします。有限次元が使用される場合、性質はさらに、有限生成かつ射影的であることを必要とします。最も一般的な状況への一般化は、Bourbaki (1989) に記載されています。 ${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M}$${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(M)}$${\displaystyle \mathrm {T} (M)}$${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(M)}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$

ベクトル束の外代数は幾何学や位相幾何学で頻繁に考慮される。セール・スワン定理によれば、有限次元ベクトル束の外代数の代数的性質と有限生成射影加群の外代数の代数的性質の間には本質的な違いはない。加群の層に対しては、より一般的な外代数を定義できる。

特性が 2 でない体の場合、^[9]上のベクトル空間の外部代数は、反対称テンソルからなるのベクトル部分空間と標準的に同一視できます。特性が 0 (または⁠ ⁠より大きい) の場合、 -線型反対称テンソルのベクトル空間はイデアル ⁠ ⁠に横断的であるため、商を表すのに適しています。しかし、特性が 0 以外の場合、 -線型反対称テンソルのベクトル空間はイデアルに横断的ではない可能性があります (実際には、⁠ ⁠の場合、 -線型反対称テンソルのベクトル空間は に含まれています)。それでも、横断的であるかどうかにかかわらず、結果として得られる代数が外積代数と同型となるような積をこの空間上に定義することができます。最初のケースでは、積の自然な選択は（利用可能な射影を使用して）商積だけです。2 番目のケースでは、この積は以下に示すように（アーノルド設定に沿って）わずかに変更する必要がありますが、代数は外積代数と同型のままです。つまり、 の商を形式⁠ ⁠の要素によって生成されるイデアルで置き換えます。もちろん、特性⁠ ⁠（またはベクトル空間の次元よりも高い）については、2 つの代数が同型であるため、積のいずれかの定義を使用できます（VI アーノルドまたは小林-野水を参照）。 ${\displaystyle V}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \mathrm {T} (V)}$${\displaystyle \dim V}$${\displaystyle k}$${\displaystyle I}$${\displaystyle K}$${\displaystyle k\geq \operatorname {char} K}$${\displaystyle K}$${\displaystyle I}$${\displaystyle \mathrm {T} (V)}$${\displaystyle I}$${\displaystyle x\otimes x}$${\displaystyle 0}$

を次数 の同次テンソルの空間とする。これは分解可能なテンソルによって張られる。 ${\displaystyle \mathrm {T} ^{r}(V)}$${\displaystyle r}$

${\displaystyle v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{r},\quad v_{i}\in V.}$

分解可能なテンソルの 反対称化（または歪対称化とも呼ばれる）は次のように定義される。

${\displaystyle \operatorname {{\mathcal {A}}^{(r)}} (v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{r})=\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{r}}\operatorname {sgn} (\sigma )v_{\sigma (1)}\otimes \cdots \otimes v_{\sigma (r)}}$

そして、（非ゼロ特性フィールドの場合は0になる可能性がある） ${\displaystyle r!\neq 0}$${\displaystyle r!}$

${\displaystyle \operatorname {Alt} ^{(r)}(v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{r})={\frac {1}{r!}}\operatorname {{\mathcal {A}}^{(r)}} (v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{r})}$

ここで、和は記号⁠ ⁠上の対称群の順列に対して取られます。これは、線型性と同次性により、完全なテンソル代数⁠ ⁠上の、およびとも表記される演算に拡張されます。 ${\displaystyle \{1,\dots ,r\}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle {\rm {Alt}}}$${\displaystyle \mathrm {T} (V)}$

ご了承ください

${\displaystyle \operatorname {{\mathcal {A}}^{(r)}} \operatorname {{\mathcal {A}}^{(r)}} =r!\operatorname {{\mathcal {A}}^{(r)}} .}$

が定義されている場合、 は外積（商）代数の r 同次交代テンソル部分空間への射影です。一方、像は常に交代テンソル次数付き部分空間（積がまだ定義されていないため、まだ代数ではありません）であり、⁠ ⁠と表記されます。これは⁠ ⁠のベクトル部分空間であり、 ⁠ ⁠上の次数付きベクトル空間の構造を継承します。さらに、 の核はまさに⁠ ⁠、つまりイデアル⁠ ⁠の同次部分集合、または⁠ ⁠の核 です。 が定義されている場合、は（ウェッジ積と同じ）で定義される 結合次数付き積を持ちます。${\displaystyle \operatorname {Alt} ^{(r)}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}(\mathrm {T} (V))}$${\displaystyle A(V)}$${\displaystyle \mathrm {T} (V)}$${\displaystyle \mathrm {T} (V)}$${\displaystyle {\mathcal {A}}^{(r)}}$${\displaystyle I^{(r)}}$${\displaystyle I}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle I}$${\displaystyle \operatorname {Alt} }$${\displaystyle A(V)}$${\displaystyle {\widehat {\otimes }}}$

${\displaystyle t\wedge s=t~{\widehat {\otimes }}~s=\operatorname {Alt} (t\otimes s).}$

が特性0を持ち、 ⁠ ⁠の補集合が⁠ ⁠ であると仮定すると、上記の積と、標準同型が存在する。 ${\displaystyle K}$${\displaystyle A(V)}$${\displaystyle I}$${\displaystyle \mathrm {T} (V)}$

${\displaystyle A(V)\cong {\textstyle \bigwedge }(V).}$

体の標数が非ゼロのとき、は前と同じことを行いますが、積は上記のように定義できません。このような場合、イデアル⁠ ⁠の補足ではないにもかかわらず、同型性は依然として保持されますが、その場合、積は以下のように変更する必要があります（積、アーノルド設定）。 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle {\rm {Alt}}}$${\displaystyle A(V)\cong {\textstyle \bigwedge }(V)}$${\displaystyle A(V)}$${\displaystyle I}$${\displaystyle {\dot {\wedge }}}$

最後に、 ⁠ ⁠ は常に ⁠ ⁠と同型ですが${\displaystyle A(V)}$、積は 2 つの方法 (または 1 つの方法のみ) で選択できます (または選択する必要があります)。実際には、除算が意味をなす限り、積はさまざまな方法で選択でき、体内の任意のシーケンスについて同次空間上で再スケーリングできます (これは、再定義された積も結合的である、つまり⁠ ⁠上の代数を定義するようなもの)。また、歪微分特性を維持するために、内積の定義をそれに応じて変更する必要があることにも注意してください。 ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V)}$${\displaystyle c(r+p)/c(r)c(p)}$${\displaystyle c(r)}$${\displaystyle A(V)}$

V が有限次元nを持ち、 Vの基底e ₁ , ..., e _{n が}与えられているとする。すると、任意の交代テンソルt ∈ A ^r ( V ) ⊂ T ^r ( V )は、アインシュタインの総和規則を用いた指数表記で次のように 表すことができる。

${\displaystyle t=t^{i_{1}i_{2}\cdots i_{r}}\,{\mathbf {e} }_{i_{1}}\otimes {\mathbf {e} }_{i_{2}}\otimes \cdots \otimes {\mathbf {e} }_{i_{r}},}$

ここでt ^{i ₁ ⋅⋅⋅ i _rは}インデックスに関して 完全に反対称です。

階数rとpの交代テンソルtとsの外積は次のように表される。

${\displaystyle t~{\widehat {\otimes }}~s={\frac {1}{(r+p)!}}\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{r+p}}\operatorname {sgn} (\sigma )t^{i_{\sigma (1)}\cdots i_{\sigma (r)}}s^{i_{\sigma (r+1)}\cdots i_{\sigma (r+p)}}{\mathbf {e} }_{i_{1}}\otimes {\mathbf {e} }_{i_{2}}\otimes \cdots \otimes {\mathbf {e} }_{i_{r+p}}.}$

このテンソルの成分は、テンソル積s ⊗ tの成分の歪んだ部分であり、インデックスの角括弧で表されます。

${\displaystyle (t~{\widehat {\otimes }}~s)^{i_{1}\cdots i_{r+p}}=t^{[i_{1}\cdots i_{r}}s^{i_{r+1}\cdots i_{r+p}]}.}$

内積は、次のようにインデックス表記で記述することもできます。 を階数 ⁠ ⁠ の反対称テンソルとします。すると、⁠ ⁠ α ∈ V ^∗に対して、⁠ ⁠ は階数⁠ ⁠の交代テンソルであり、次のように表されます。 ${\displaystyle t=t^{i_{0}i_{1}\cdots i_{r-1}}}$${\displaystyle r}$${\displaystyle \iota _{\alpha }t}$${\displaystyle r-1}$

${\displaystyle (\iota _{\alpha }t)^{i_{1}\cdots i_{r-1}}=r\sum _{j=0}^{n}\alpha _{j}t^{ji_{1}\cdots i_{r-1}}.}$

ここでnはVの次元です。

2つのベクトル空間VとXと自然数kが与えられたとき、V ^kからXへの交代作用素は多重線型写像である。

${\displaystyle f:V^{k}\to X}$

つまり、v ₁ , ..., v _kがVの線型従属ベクトルであるときは、

${\displaystyle f(v_{1},\ldots ,v_{k})=0.}$

地図

${\displaystyle w:V^{k}\to {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V),}$

は、外積、つまり対応する-ベクトルからベクトルに関連付けられ、これもまた交代的です。実際、この写像は、 上で定義される「最も一般的な」交代演算子です。他の任意の交代演算子が与えられた場合、を伴う一意の線型写像が存在し、 この普遍的な特性は、上の交代演算子の空間を特徴付け、その定義として使用できます。 ${\displaystyle k}$${\displaystyle V}$${\displaystyle k}$${\displaystyle V^{k};}$${\displaystyle f:V^{k}\rightarrow X,}$ ${\displaystyle \phi :{\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)\rightarrow X}$${\displaystyle f=\phi \circ w.}$${\displaystyle V^{k}}$

上記の議論は、基底体⁠ ⁠${\displaystyle X=K}$の場合に特化している。この場合、交代多重線形関数

${\displaystyle f:V^{k}\to K}$

は交代多重線型形式と呼ばれます。すべての交代 多重線型形式の集合はベクトル空間です。これは、そのような写像 2 つの和、またはそのような写像とスカラーの積が再び交代であるためです。外冪の普遍的性質により、上の次数の交代形式の空間は、双対ベクトル空間⁠ ⁠と自然に同型です。 が有限次元の場合、後者は⁠ ⁠と自然に同型です^{[明確化が必要]}。特に、 が-次元の場合、 からへの交代写像の空間の次元は、二項係数⁠ ⁠です。 ${\displaystyle k}$${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\bigl (}{\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V){\bigr )}^{*}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!k}\left(V^{*}\right)}$${\displaystyle V}$${\displaystyle n}$${\displaystyle V^{k}}$${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \textstyle {\binom {n}{k}}}$

このような同一視のもとでは、外積は具体的な形をとる。すなわち、与えられた2つの反対称写像から新しい反対称写像を生成する。ω :  V k ^→ Kとη :  V m ^→ Kが2つの反対称写像であるとする。多重線型写像のテンソル積の場合と同様に、それらの外積の変数の数は、それらの変数の数の合計である。外積の元と多重線型形式の同一視の選択に応じて、外積は次のように定義される。

${\displaystyle \omega \wedge \eta =\operatorname {Alt} (\omega \otimes \eta )}$

または

${\displaystyle \omega {\dot {\wedge }}\eta ={\frac {(k+m)!}{k!\,m!}}\operatorname {Alt} (\omega \otimes \eta ),}$

ここで、基本フィールドの特性が 0 の場合、多重線型マップの交代 Alt は、その変数のすべての順列にわたる符号調整された値の平均として定義されます。 ${\displaystyle K}$

${\displaystyle \operatorname {Alt} (\omega )(x_{1},\ldots ,x_{k})={\frac {1}{k!}}\sum _{\sigma \in S_{k}}\operatorname {sgn} (\sigma )\,\omega (x_{\sigma (1)},\ldots ,x_{\sigma (k)}).}$

体が 有限特性を持つ場合、階乗や定数を含まない 2 番目の式の同等のバージョンが明確に定義されます。 ${\displaystyle K}$

${\displaystyle {\omega {\dot {\wedge }}\eta (x_{1},\ldots ,x_{k+m})}=\sum _{\sigma \in \mathrm {Sh} _{k,m}}\operatorname {sgn} (\sigma )\,\omega (x_{\sigma (1)},\ldots ,x_{\sigma (k)})\,\eta (x_{\sigma (k+1)},\ldots ,x_{\sigma (k+m)}),}$

ここでSh _{k , m} ⊂ S _{k + m}は( k , m )シャッフルのサブセットです。シャッフルとは、集合{ 1 , 2, ..., k + m }の順列 σで、 σ (1) < σ (2) < ⋯ < σ ( k )かつσ ( k + 1) < σ ( k + 2) < ... < σ ( k + m )が成り立つことです。これは非常に具体的で微調整されているように見えるかもしれませんが、同等の生のバージョンは、 S _{k + m} / ( S _k × S _m )の左剰余類の順列にわたって上記の式を合計することです。

が有限次元であると仮定する。 がベクトル空間⁠ ⁠への双対空間を表す場合、各⁠ ⁠に対して、代数⁠ ⁠上の反微分を定義することが可能である。 ${\displaystyle V}$${\displaystyle V^{*}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \alpha \in V^{*}}$${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V)}$

${\displaystyle \iota _{\alpha }:{\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)\rightarrow {\textstyle \bigwedge }^{\!k-1}(V).}$

この導出は、⁠ ⁠との内積、または挿入演算子、あるいは⁠ ⁠による縮約と呼ばれることもあります。 ${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha }$

⁠ ⁠${\displaystyle w\in {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)}$と仮定します。すると⁠ ⁠ は⁠ ⁠への多重線型写像となり、 k重直積⁠ ⁠上の値によって定義されます。u ₁ , u ₂ , ..., u _{k −1が}⁠ ⁠の要素である場合、次のように定義します。 ${\displaystyle w}$${\displaystyle V^{*}}$${\displaystyle K}$ ${\displaystyle V^{*}\times V^{*}\times \dots \times V^{*}}$${\displaystyle k-1}$${\displaystyle V^{*}}$

${\displaystyle (\iota _{\alpha }w)(u_{1},u_{2},\ldots ,u_{k-1})=w(\alpha ,u_{1},u_{2},\ldots ,u_{k-1}).}$

さらに、が純粋なスカラー（つまり、⁠ ⁠に属する） である場合とします。${\displaystyle \iota _{\alpha }f=0}$${\displaystyle f}$${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!0}(V)}$

内部製品は次の特性を満たします。

1. 各⁠ ⁠${\displaystyle k}$および各⁠ ⁠${\displaystyle \alpha \in V^{*}}$（慣例により）について、 ${\displaystyle \Lambda ^{-1}(V)=\{0\}}$

   ${\displaystyle \iota _{\alpha }:{\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)\rightarrow {\textstyle \bigwedge }^{\!k-1}(V).}$

2. が( ⁠ ⁠ )の要素である場合、⁠ ⁠ は⁠ ⁠ の要素と⁠ ⁠の要素間の双対ペアです。${\displaystyle v}$${\displaystyle V}$${\displaystyle ={\textstyle \bigwedge }^{\!1}(V)}$${\displaystyle \iota _{\alpha }v=\alpha (v)}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V^{*}}$
3. 各⁠ ⁠${\displaystyle \alpha \in V^{*}}$に対して、は次数 −1 の 次数付き微分です。${\displaystyle \iota _{\alpha }}$

   ${\displaystyle \iota _{\alpha }(a\wedge b)=(\iota _{\alpha }a)\wedge b+(-1)^{\deg a}a\wedge (\iota _{\alpha }b).}$

これら 3 つの特性は、一般的な無限次元の場合に内積を定義するだけでなく、内積を特徴付けるのにも十分です。

インテリア製品のその他の特性は次のとおりです。

• ${\displaystyle \iota _{\alpha }\circ \iota _{\alpha }=0.}$
• ${\displaystyle \iota _{\alpha }\circ \iota _{\beta }=-\iota _{\beta }\circ \iota _{\alpha }.}$

が有限次元であると仮定する。すると、内積はベクトル空間の標準同型を誘導する。 ${\displaystyle V}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V^{*})\otimes {\textstyle \bigwedge }^{\!n}(V)\to {\textstyle \bigwedge }^{\!n-k}(V)}$

再帰的定義により

${\displaystyle \iota _{\alpha \wedge \beta }=\iota _{\beta }\circ \iota _{\alpha }.}$

幾何学的な設定では、トップ外冪（1次元ベクトル空間）の非ゼロ元は、体積形式（または配向形式、この用語は時々曖昧になることがあります）と呼ばれることがあります。配向形式という名前は、好ましいトップ要素の選択が外代数全体の配向を決定するという事実に由来しています。これは、ベクトル空間の順序付き基底を固定することと同等だからです。好ましい体積形式⁠ ⁠に対して、同型性は次のように明示的に与えられます 。${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!n}(V)}$${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V^{*})\to {\textstyle \bigwedge }^{\!n-k}(V):\alpha \mapsto \iota _{\alpha }\sigma .}$

体積形式に加えて、ベクトル空間Vに⁠ ⁠と同一視する内積が備わっている場合、結果として得られる同型はホッジスター演算子と呼ばれ、要素をそのホッジ双対に写像します。 ${\displaystyle V}$${\displaystyle V^{*}}$

${\displaystyle \star :{\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)\rightarrow {\textstyle \bigwedge }^{\!n-k}(V).}$

をそれ自身と合成すると、常に恒等写像のスカラー倍になります。ほとんどの応用では、体積形式は、 ⁠ ⁠の正規直交基底の外積という意味で内積と互換性があります。この場合、 ${\displaystyle \star }$${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)\to {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)}$${\displaystyle V}$

${\displaystyle \star \circ \star :{\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)\to {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)=(-1)^{k(n-k)+q}\mathrm {id} }$

ここで、 id は恒等写像であり、内積にはメトリック シグネチャ ( p、q ) ( p 個のプラスとq 個のマイナス) があります。

有限次元空間⁠ ⁠${\displaystyle V}$に対して、 ⁠ ⁠上の内積（または擬ユークリッド内積）は⁠ ⁠との同型を定義し、したがって⁠ ⁠との同型も定義します。これら 2 つの空間のペアリングも内積の形をとります。分解可能な⁠ ⁠ -ベクトルでは、 ${\displaystyle V}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V^{*}}$${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)}$${\displaystyle {\bigl (}{\textstyle \bigwedge }^{\!k}V{\bigr )}^{*}}$${\displaystyle k}$

${\displaystyle \left\langle v_{1}\wedge \cdots \wedge v_{k},w_{1}\wedge \cdots \wedge w_{k}\right\rangle =\det {\bigl (}\langle v_{i},w_{j}\rangle {\bigr )},}$

内積行列の行列式。特別な場合v _i = w _iでは、内積はkベクトルの二乗ノルムで、グラミアン行列 (⟨ v _i , v _j ⟩)の行列式で与えられます。これは次に、双線形（または複素数の場合はセクリニア）に拡張されて、 ⁠ ⁠ の非退化内積になります。e _i、 i = 1, 2, ..., n が⁠ ⁠の正規直交基底を形成する 場合、形式のベクトルは ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V).}$${\displaystyle V}$

${\displaystyle e_{i_{1}}\wedge \cdots \wedge e_{i_{k}},\quad i_{1}<\cdots <i_{k},}$

は⁠ ⁠${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)}$の正規直交基底を構成し、これはコーシー・ビネの公式と同等の記述です。

内積に関しては、外積と内積は相互に随伴である。具体的には、⁠ ⁠${\displaystyle \mathbf {v} \in {\textstyle \bigwedge }^{\!k-1}(V)}$、⁠ ⁠${\displaystyle \mathbf {w} \in {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)}$、⁠ ⁠${\displaystyle x\in V}$の場合、

${\displaystyle \langle x\wedge \mathbf {v} ,\mathbf {w} \rangle =\langle \mathbf {v} ,\iota _{x^{\flat }}\mathbf {w} \rangle }$

ここでx ^♭ ∈ V ^{∗ は}音楽同型であり、線形関数は次のように定義される。

${\displaystyle x^{\flat }(y)=\langle x,y\rangle }$

すべての⁠ ⁠${\displaystyle y\in V}$に対して成り立ちます。この性質は外積代数上の内積を完全に特徴付けます。

実際、より一般的には、⁠ ⁠${\displaystyle \mathbf {v} \in {\textstyle \bigwedge }^{\!k-l}(V)}$、⁠ ⁠${\displaystyle \mathbf {w} \in {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)}$、⁠ ⁠${\displaystyle \mathbf {x} \in {\textstyle \bigwedge }^{\!l}(V)}$に対して、上記の随伴特性を反復すると、

${\displaystyle \langle \mathbf {x} \wedge \mathbf {v} ,\mathbf {w} \rangle =\langle \mathbf {v} ,\iota _{\mathbf {x} ^{\flat }}\mathbf {w} \rangle }$

ここで、⁠ ⁠ -ベクトルは次のように定義されます。 ${\displaystyle \mathbf {x} ^{\flat }\in {\textstyle \bigwedge }^{\!l}\left(V^{*}\right)\simeq {\bigl (}{\textstyle \bigwedge }^{\!l}(V){\bigr )}^{*}}$${\displaystyle l}$

${\displaystyle \mathbf {x} ^{\flat }(\mathbf {y} )=\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle }$

すべて⁠ ⁠${\displaystyle \mathbf {y} \in {\textstyle \bigwedge }^{\!l}(V)}$のために。

次数代数の次数双対と⁠ ⁠上の交代多重線型形式との間には対応関係があります。外積代数 (および対称代数) は、テンソル代数から双代数構造、さらにはホップ代数構造を継承します。このトピックの詳細な扱いについては、 テンソル代数に関する記事を参照してください。${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V)}$${\displaystyle V}$

上で定義した多重線型形式の外積は、⁠ ⁠上で定義される余積と双対であり、余代数の構造を与える。余積は線型関数⁠ ⁠であり、次のように与えられる。 ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V)}$${\displaystyle \Delta :{\textstyle \bigwedge }(V)\to {\textstyle \bigwedge }(V)\otimes {\textstyle \bigwedge }(V)}$

${\displaystyle \Delta (v)=1\otimes v+v\otimes 1}$

⁠ ⁠ の${\displaystyle v\in V}$元に。記号は⁠ ⁠の単位元を表します。⁠ ⁠を思い出してください。つまり、上記は実際には⁠ ⁠に含まれるのです。この余積の定義は、（線型）準同型によって全空間に持ち上げられます。この準同型の正しい形は、素朴に書くようなものではなく、余代数の論文で注意深く定義されたものでなければなりません。この場合、 ${\displaystyle 1}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K\simeq {\textstyle \bigwedge }^{\!0}(V)\subseteq {\textstyle \bigwedge }(V)}$${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V)\otimes {\textstyle \bigwedge }(V)}$${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V)}$

${\displaystyle \Delta (v\wedge w)=1\otimes (v\wedge w)+v\otimes w-w\otimes v+(v\wedge w)\otimes 1.}$

これを詳細に展開すると、分解可能な要素に関する次の表現が得られます。

${\displaystyle \Delta (x_{1}\wedge \cdots \wedge x_{k})=\sum _{p=0}^{k}\;\sum _{\sigma \in Sh(p,k-p)}\;\operatorname {sgn} (\sigma )(x_{\sigma (1)}\wedge \cdots \wedge x_{\sigma (p)})\otimes (x_{\sigma (p+1)}\wedge \cdots \wedge x_{\sigma (k)}).}$

ここで 2 番目の合計は、すべての( p , k − p )シャッフルに対して行われます。慣例により、 Sh( k, 0) と Sh(0, k ) は {id: {1, ..., k } → {1, ..., k }} に等しいとします。また、 p = 0 およびp = kに対して、純粋なウェッジ積とをそれぞれ 1 に等しくすることも便利です( の空積)。シャッフルは、余代数の最初の公理から直接導かれます。つまり、要素の相対的な順序はリフル シャッフルで保持されます。リフル シャッフルは、順序付けられたシーケンスを、1 つは左側、もう 1 つは右側の 2 つの順序付けられたシーケンスに分割するだけです。 ${\displaystyle v_{\sigma (1)}\wedge \dots \wedge v_{\sigma (p)}}$${\displaystyle v_{\sigma (p+1)}\wedge \dots \wedge v_{\sigma (k)}}$${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V)}$${\displaystyle x_{k}}$

余積は代数の次数を保つことに注意する。全空間に拡張すると、 ${\textstyle {\textstyle \bigwedge }(V),}$

${\displaystyle \Delta :{\textstyle \bigwedge }^{k}(V)\to \bigoplus _{p=0}^{k}{\textstyle \bigwedge }^{p}(V)\otimes {\textstyle \bigwedge }^{k-p}(V)}$

このセクションで使用されているテンソル記号 ⊗ は、注意して理解する必要があります。交代積の定義で使用されているテンソル記号と同じではありません。直感的には、これを別の、しかし異なるテンソル積と考えるのが最も簡単かもしれません。テンソル積がそうあるべきであるように、これは依然として (双) 線形ですが、双代数の定義、つまりオブジェクト⁠ ⁠${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V)\otimes {\textstyle \bigwedge }(V)}$を作成するのに適した積です。テンソル記号とウェッジ記号を含む単純な操作ではなく、コアルジェブラムの定義から得られる等式(1 ⊗ v ) ∧ (1 ⊗ w ) = 1 ⊗ ( v ∧ w )および( v ⊗ 1) ∧ (1 ⊗ w ) = v ⊗ wについてよく考えることで、残っている疑問を解消できます。この区別は、テンソル代数に関する記事でより詳細に展開されています。ここでは、交代積が外積代数の乗算に明らかに対応し、記号を双代数の定義で自由に使用できるという点で、問題がはるかに少なくなっています。実際には、 の交代和をくさび記号に置き換えるという致命的な罠を避ければ、特に問題は発生しませんが、例外が 1 つあります。 ⁠ ⁠から交代積を構築できますが、これは別の空間で機能することを理解する必要があります。すぐ下に例を示します。双対空間の交代積は、余積で表すことができます。ここでの双代数の構築は、外積の交代符号を正しく追跡する必要があることを除いて、テンソル代数の記事での構築とほぼ正確に一致しています。 ${\displaystyle \wedge }$${\displaystyle \otimes }$${\displaystyle \otimes }$${\displaystyle \otimes }$

余積に関して言えば、双対空間上の外積は余積の次数付き双対に過ぎません。

${\displaystyle (\alpha \wedge \beta )(x_{1}\wedge \cdots \wedge x_{k})=(\alpha \otimes \beta )\left(\Delta (x_{1}\wedge \cdots \wedge x_{k})\right)}$

ここで、右辺のテンソル積は多重線型写像（非互換同次次数の元にゼロで拡張：より正確には、α ∧ β = ε ∘ ( α ⊗ β ) ∘ Δ、ここでは現在定義されているコユニット）である。 ${\displaystyle \varepsilon }$

余積単位は、引数の 0 次成分を返す準同型です。余積と余積単位は、外積とともに、外積代数上の 双代数の構造を定義します。${\displaystyle \varepsilon :{\textstyle \bigwedge }(V)\to K}$

同次元上で対掌体が⁠ ⁠${\displaystyle S(x)=(-1)^{\binom {{\text{deg}}\,x\,+1}{2}}x}$によって定義されると、外積代数はホップ代数となる。^[12]

とがベクトル空間のペアであり、が線型写像であるとする。すると、普遍性により、次数付き代数の唯一の準同型が存在する。 ${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$${\displaystyle f:V\to W}$

${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(f):{\textstyle \bigwedge }(V)\rightarrow {\textstyle \bigwedge }(W)}$

そのような

${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(f)\left|_{{\textstyle \bigwedge }^{\!1}(V)}\right.=f:V={\textstyle \bigwedge }^{\!1}(V)\rightarrow W={\textstyle \bigwedge }^{\!1}(W).}$

特に、は同次次数を保存する。のk次成分は分解可能な元上で次のように与えられる。 ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(f)}$${\textstyle \bigwedge \left(f\right)}$

${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(f)(x_{1}\wedge \cdots \wedge x_{k})=f(x_{1})\wedge \cdots \wedge f(x_{k}).}$

させて

${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(f)={\textstyle \bigwedge }(f)\left|_{{\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)}\right.:{\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)\rightarrow {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(W).}$

およびの基底に対する変換 ⁠ ⁠ の成分は⁠ ⁠${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(f)}$の小行列式です。特に、およびが有限次元⁠ ⁠の場合、 は1 次元ベクトル空間からそれ自身への写像であり、したがって⁠ ⁠の行列式であるスカラーによって与えられます。 ${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$${\displaystyle k\times k}$${\displaystyle f}$${\displaystyle V=W}$${\displaystyle V}$${\displaystyle n}$${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!n}(f)}$${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!n}(V)}$${\displaystyle f}$

がベクトル空間の 短完全列である場合、${\displaystyle 0\to U\to V\to W\to 0}$

${\displaystyle 0\to {\textstyle \bigwedge }^{\!1}(U)\wedge {\textstyle \bigwedge }(V)\to {\textstyle \bigwedge }(V)\to {\textstyle \bigwedge }(W)\to 0}$

は次数付きベクトル空間の正確な列であり、[ ^13]

${\displaystyle 0\to {\textstyle \bigwedge }(U)\to {\textstyle \bigwedge }(V).}$^[14]

特に、直和の外積代数は外積代数のテンソル積と同型である。

${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V\oplus W)\cong {\textstyle \bigwedge }(V)\otimes {\textstyle \bigwedge }(W).}$

これは次数同型である。すなわち、

${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V\oplus W)\cong \bigoplus _{p+q=k}{\textstyle \bigwedge }^{\!p}(V)\otimes {\textstyle \bigwedge }^{\!q}(W).}$

より一般的には、ベクトル空間の短い正確な列に対しては、自然なフィルタリングが存在する。${\textstyle 0\to U\mathrel {\overset {f}{\to }} V\mathrel {\overset {g}{\to }} W\to 0,}$

${\displaystyle 0=F^{0}\subseteq F^{1}\subseteq \cdots \subseteq F^{k}\subseteq F^{k+1}={\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)}$

ここで、は の形の要素によって張られ、 に 対応する商は自然な同型性を持つ。 ${\displaystyle F^{p}}$${\displaystyle p\geq 1}$${\displaystyle u_{1}\wedge \ldots \wedge u_{k+1-p}\wedge v_{1}\wedge \ldots v_{p-1}}$${\displaystyle u_{i}\in U}$${\displaystyle v_{i}\in V.}$

${\displaystyle F^{p+1}/F^{p}\cong {\textstyle \bigwedge }^{\!k-p}(U)\otimes {\textstyle \bigwedge }^{\!p}(W)}$与えられた${\displaystyle u_{1}\wedge \ldots \wedge u_{k-p}\wedge v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{p}\mapsto u_{1}\wedge \ldots \wedge u_{k-p}\otimes g(v_{1})\wedge \ldots \wedge g(v_{p}).}$

特に、Uが1次元の 場合、

${\displaystyle 0\to U\otimes {\textstyle \bigwedge }^{\!k-1}(W)\to {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)\to {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(W)\to 0}$

は正確であり、Wが1次元であれ ば

${\displaystyle 0\to {\textstyle \bigwedge }^{k}(U)\to {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)\to {\textstyle \bigwedge }^{\!k-1}(U)\otimes W\to 0}$

正確です。^[15]

(向き付けられた)次元体積と外積代数の自然な設定は、アフィン空間です。これは、外積代数と微分形式との密接な関係でもあります。 を積分するには、無限小体積を測定するための「微分」オブジェクトが必要です。 がベクトル空間⁠ ⁠上のアフィン空間で、(単体の) 順序付けられた点の集合である場合、その向き付けられた次元体積をベクトルの外積として定義できます(連結を使用して、点 からへの変位ベクトルを意味します)。点の順序が変更されると、向き付けられた体積は、順列の偶奇に応じて符号が変わります。⁠ ⁠次元空間では、任意の 次元単体の体積は、他の任意の単体のスカラー倍です。 ${\displaystyle k}$${\displaystyle \mathbb {A} }$${\displaystyle V}$${\displaystyle k+1}$${\displaystyle A_{0},A_{1},...,A_{k}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle A_{0}A_{1}\wedge A_{0}A_{2}\wedge \cdots \wedge A_{0}A_{k}={}}$ ${\displaystyle (-1)^{j}A_{j}A_{0}\wedge A_{j}A_{1}\wedge A_{j}A_{2}\wedge \cdots \wedge A_{j}A_{k}}$${\displaystyle PQ}$${\displaystyle P}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

⁠ ⁠次元単体の境界単体の - 次元有向面積の合計は、前のセクションの三角形または四面体を囲む有向三角形の周りのベクトルの合計と同様に、ゼロになります。 ${\displaystyle (k-1)}$${\displaystyle k}$

上のベクトル空間構造は、⁠ ⁠のベクトルの加算を一般化します。つまり、 となり、同様にkブレードは各因子で線形です。 ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V)}$${\displaystyle V}$${\displaystyle (u_{1}+u_{2})\wedge v=u_{1}\wedge v+u_{2}\wedge v}$${\displaystyle v_{1}\wedge \dots \wedge v_{k}}$

線型代数への応用では、外積は、行列の行列式と小行列式を記述するための抽象的な代数的方法を提供します。たとえば、正方行列の行列式は、行列の列を側面とする平行四辺形の体積に等しいことはよく知られています (向きを追跡するための符号付き)。これは、行列式を列ベクトルの外積で定義できることを示唆しています。同様に、行列のk × k小行列式は、一度にk 個選択した列ベクトルの外積を見ることで定義できます。これらの考え方は、行列だけでなく線型変換にも拡張できます。線型変換の行列式は、任意の参照平行四辺形の向き付けられた体積をスケーリングする係数です。したがって、線型変換の行列式は、変換が最大の外乗に何をもたらすかによって定義できます。変換がより小さい外乗に及ぼす作用は、変換の小行列式について 基底に依存しない方法で説明できるようにします。

物理学では、多くの量が交代演算子によって自然に表現されます。たとえば、荷電粒子の運動が 4 次元時空における速度ベクトルと加速度ベクトルによって記述される場合、速度ベクトルの正規化には、電磁力が速度に対する交代演算子でなければならないことが必要です。電磁力の 6 つの自由度は、電場と磁場と同一視されます。

アインシュタインの相対性理論では、電磁場は一般に4 次元空間の微分 2 形式 として、または同等の交代テンソル場である電磁テンソルとして与えられます。すると、または同等のビアンキ恒等式に なります。これらにはいずれも計量は必要ありません。 ${\displaystyle F=dA}$ ${\displaystyle F_{ij}=A_{[i,j]}=A_{[i;j]},}$${\displaystyle dF=ddA=0}$${\displaystyle F_{[ij,k]}=F_{[ij;k]}=0.}$

ローレンツ計量と方向を加えるとホッジスター演算子 が得られ、それによって定義または同等のテンソル発散が可能になる。${\displaystyle \star }$${\displaystyle J={\star }d{\star }F}$ ${\displaystyle J^{i}=F_{,j}^{ij}=F_{;j}^{ij}}$${\displaystyle F^{ij}=g^{ik}g^{jl}F_{kl}.}$

分解可能なkベクトルには幾何学的な解釈があります。つまり、2 次元ベクトルは、辺 ⁠ ⁠と⁠ ⁠ を持つ向き付けられた平行四辺形の面積によって与えられる数値で「重み付け」された、ベクトルが張る平面を表します。同様に、3 次元ベクトルは、辺⁠ ⁠、⁠ ⁠、および⁠ ⁠を持つ向き付けられた平行六面体の体積で重み付けされた、張られる 3 次元空間を表します。 ${\displaystyle u\wedge v}$${\displaystyle u}$${\displaystyle v}$${\displaystyle u\wedge v\wedge w}$${\displaystyle u}$${\displaystyle v}$${\displaystyle w}$

の分解可能なkベクトルは、⁠ ⁠の重み付きk次元線形部分空間に対応します。特に、⁠ ⁠のk次元部分空間のグラスマン多様体( ⁠ ⁠と表記)は、射影空間の代数的部分多様体と自然に同一視できます。これはPlücker 埋め込みと呼ばれ、埋め込みの像はPlücker 関係によって特徴付けられます。 ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \operatorname {Gr} _{k}(V)}$ ${\textstyle \mathbf {P} {\bigl (}{\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V){\bigr )}}$

外積代数は微分幾何学において顕著な応用があり、微分形式を定義するために使われています。^[16]微分形式は、ベクトルの長さ、平行四辺形の面積、高次元物体の体積を評価する数学的対象であり、微積分の線積分や面積分を一般化した方法で、曲線、曲面、高次元多様体上で積分することができます。微分可能多様体のある点における微分形式は、その点における接空間上の交代多重線型形式です。同様に、 k次の微分形式は接空間のk次の外積上の線型汎関数です。結果として、多重線型形式の外積は微分形式の自然な外積を定義します。微分形式は、微分幾何学のさまざまな分野で重要な役割を果たしています。

別のアプローチでは、関数の芽の観点から微分形式を定義します。

特に、外微分は多様体上の微分形式の外代数に微分次数代数の構造を与えます。外微分は多様体間の滑らかな写像に沿った引き戻しと可換であるため、自然な 微分作用素です。外微分を備えた微分形式の外代数はコチェーン複体であり、そのコホモロジーは基になる多様体のde Rham コホモロジーと呼ばれ、微分可能多様体の代数的位相において重要な役割を果たします。

表現論において、外積代数はベクトル空間のカテゴリにおける2 つの基本的なシュア関数のうちの 1 つであり、もう 1 つは対称代数である。これらの構成は、一般線型群の既約表現を生成するために用いられる( 「基本表現」を参照)。

複素数上の外積代数は、フェルミオンや超対称性に関する物理理論で基本的な役割を果たす超代数の典型的な例です。外積代数の単一の要素は、超数^[17]またはグラスマン数と呼ばれます。外積代数自体は、1次元の超空間に過ぎません。つまり、外積代数内のすべての点の集合にすぎません。この空間上の位相は本質的に弱位相であり、開集合は円筒集合です。n次元の超空間は、外積の ⁠ ⁠倍積にすぎません。${\displaystyle n}$

を体⁠ ⁠上のリー代数とすると、 ⁠ ⁠の外積代数上の鎖複体の構造を定義することができます。これは⁠ ⁠線型写像 です。${\displaystyle L}$${\displaystyle K}$${\displaystyle L}$${\displaystyle K}$

${\displaystyle \partial :{\textstyle \bigwedge }^{\!p+1}(L)\to {\textstyle \bigwedge }^{\!p}(L)}$

分解可能な要素によって定義される

${\displaystyle \partial (x_{1}\wedge \cdots \wedge x_{p+1})={\frac {1}{p+1}}\sum _{j<\ell }(-1)^{j+\ell +1}[x_{j},x_{\ell }]\wedge x_{1}\wedge \cdots \wedge {\hat {x}}_{j}\wedge \cdots \wedge {\hat {x}}_{\ell }\wedge \cdots \wedge x_{p+1}.}$

ヤコビ恒等式は⁠ ⁠${\displaystyle {1}}$の場合にのみ成り立ち、したがってこれは反可換非結合的代数がリー代数であるための必要十分条件です。さらに、その場合 は境界演算子⁠ ⁠を持つ連鎖複体です。この複体に関連付けられたホモロジーはリー代数ホモロジーです。 ${\displaystyle L}$${\textstyle {\textstyle \bigwedge }(L)}$${\displaystyle \partial }$

外積代数は、ホモロジー代数における基本的対象であるKoszul 複体の構築における主要な要素です。

外積代数は、 1844年にヘルマン・グラスマンによって、 Ausdehnungslehre （拡張理論）という総称で初めて導入されました。^[18]これは、より一般的には拡張された量の代数的（または公理的）理論を指し、現代のベクトル空間 の概念の先駆者の1つでした。 サン＝ヴナンも同様の外積分学のアイデアを発表し、グラスマンよりも優先権を主張しました。^[19]

代数自体は、ケイリーとシルベスターの多重ベクトル理論の形式的な側面を捉えた一連の規則、つまり公理から構築されました。したがって、それは命題計算によく似た計算でしたが、幾何学的な用語での形式的な推論のタスクのみに焦点を当てていました。^[20] 特に、この新しい展開により、以前は座標の観点からのみ検討されていた特性である次元の公理的な特徴付けが可能になりました。

ベクトルと多重ベクトルのこの新しい理論の重要性は、 1888年にジュゼッペ・ペアノ によって徹底的に検証されるまで、 ¹⁹世紀半ばの数学者には理解されていませんでした。ペアノの研究も、世紀の変わり目まではあまり知られていませんでしたが、フランス幾何学学派のメンバー（特にアンリ・ポアンカレ、エリー・カルタン、ガストン・ダルブー）がグラスマンのアイデアを微分形式の計算に適用してこの主題を統一しました。

その後間もなく、アルフレッド・ノース・ホワイトヘッドは、ペアノとグラスマンの考えを借用して、普遍代数学を提唱しました。これにより、代数体系の公理的概念がしっかりとした論理的基盤に置かれ、 20 世紀の抽象代数学の発展への道が開かれました。

• 交代代数
• 外部計算の等式
• クリフォード代数、外積代数を非零二次形式に一般化したもの
• 幾何代​​数
• コズルコンプレックス
• 多重線形代数
• 対称代数、対称アナログ
• テンソル代数
• ワイル代数、シンプレクティック形式による対称代数の量子変形