電磁テンソル

電磁気学において、電磁テンソルまたは電磁場テンソル（場の強度テンソル、ファラデーテンソル、マクスウェルのバイベクトルと呼ばれることもある）は、時空における電磁場を記述する数学的な対象である。場テンソルは、ヘルマン・ミンコフスキーが特殊相対性理論の4次元テンソル定式化を導入した後に初めて使用された。このテンソルにより、関連する物理法則を簡潔に記述することができ、また、以下で説明するラグランジアン定式化によって電磁場を量子化することができる。

電磁テンソルは慣例的にFと表記され、電磁4元ポテンシャルAの外微分として定義され、微分1形式である: ^{[1] [2]}

${\displaystyle F\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mathrm {d} A.}$

したがって、Fはミンコフスキー空間上の微分2形式、つまり反対称階数2のテンソル場で ある。成分形式では、

${\displaystyle F_{\mu \nu }=\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }.}$

ここでは4 次元勾配、 は4 次元ポテンシャルです。 ${\displaystyle \partial }$${\displaystyle A}$

この記事では、マクスウェル方程式の SI 単位系とミンコフスキー空間の符号を表す素粒子物理学者の符号規則(+ − − −)を使用します。

ファラデー微分2形式は次のように表される。

${\displaystyle F=(E_{x}/c)\ dx\wedge dt+(E_{y}/c)\ dy\wedge dt+(E_{z}/c)\ dz\wedge dt+B_{x}\ dy\wedge dz+B_{y}\ dz\wedge dx+B_{z}\ dx\wedge dy,}$

ここで、時間要素は光速度の倍数です。 ${\displaystyle dt}$${\displaystyle c}$

これはその1次不定積分の 外微分である。

${\displaystyle A=A_{x}\ dx+A_{y}\ dy+A_{z}\ dz-(\phi /c)\ dt}$、

ここで、（は非回転/保存ベクトル場に対するスカラーポテンシャル）であり、（はソレノイドベクトル場に対するベクトルポテンシャル）である。 ${\displaystyle \phi ({\vec {x}},t)}$${\displaystyle -{\vec {\nabla }}\phi ={\vec {E}}}$${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle {\vec {E}}}$${\displaystyle {\vec {A}}({\vec {x}},t)}$${\displaystyle {\vec {\nabla }}\times {\vec {A}}={\vec {B}}}$${\displaystyle {\vec {A}}}$ ${\displaystyle {\vec {B}}}$

ご了承ください

${\displaystyle {\begin{cases}dF=0\\{\star }d{\star }F=J\end{cases}}}$

ここで、 は外微分、はホッジスター、(ここで、 は電流密度、は電荷密度) は 4 次電流密度 1 形式、 はマクスウェル方程式の微分形式バージョンです。 ${\displaystyle d}$${\displaystyle {\star }}$${\displaystyle J=-J_{x}\ dx-J_{y}\ dy-J_{z}\ dz+\rho \ dt}$${\displaystyle {\vec {J}}}$${\displaystyle \rho }$

電場と磁場は電磁テンソルの成分から得ることができます。この関係は直交座標で最も単純です。

${\displaystyle E_{i}=cF_{0i},}$

ここでcは光速であり、

${\displaystyle B_{i}=-1/2\epsilon _{ijk}F^{jk},}$

ここで、はレヴィ・チヴィタテンソルです。これは特定の基準フレーム内のフィールドを与えます。基準フレームが変更されると、電磁テンソルの成分は共変的に変換され、新しいフレーム内のフィールドは新しい成分によって与えられます。 ${\displaystyle \epsilon _{ijk}}$

計量シグネチャ（+,-,-,-）を持つ 反変行列形式では、

${\displaystyle F^{\mu \nu }={\begin{bmatrix}0&-E_{x}/c&-E_{y}/c&-E_{z}/c\\E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{bmatrix}}.}$

共変形式は指数を下げることによって与えられる。

${\displaystyle F_{\mu \nu }=\eta _{\alpha \nu }F^{\beta \alpha }\eta _{\mu \beta }={\begin{bmatrix}0&E_{x}/c&E_{y}/c&E_{z}/c\\-E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\-E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\-E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{bmatrix}}.}$

ファラデーテンソルのホッジ双対は

${\displaystyle {G^{\alpha \beta }={\frac {1}{2}}\epsilon ^{\alpha \beta \gamma \delta }F_{\gamma \delta }={\begin{bmatrix}0&-B_{x}&-B_{y}&-B_{z}\\B_{x}&0&E_{z}/c&-E_{y}/c\\B_{y}&-E_{z}/c&0&E_{x}/c\\B_{z}&E_{y}/c&-E_{x}/c&0\end{bmatrix}}}}$

この記事で今後、電界や磁界について言及する場合は、直交座標系が想定され、電界と磁界は上記の式のように、座標系の参照フレームを基準とします。

場テンソルの行列形式は次のような性質を持つ：^[3]

1. 反対称性: $${\displaystyle F^{\mu \nu }=-F^{\nu \mu }}$$
2. 6 つの独立した成分:デカルト座標では、これらは単に電場 ( E _x、 E _y、 E _z ) と磁場 ( B _x、 B _y、 B _z ) の 3 つの空間成分です。
3. 内積:場の強度テンソルの内積を形成すると、ローレンツ不変量が形成されます。つまり、この数値は参照フレーム間で変化しません。$${\displaystyle F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }=2\left(B^{2}-{\frac {E^{2}}{c^{2}}}\right)}$$
4. 擬スカラー不変量:テンソルとそのホッジ双対の積はローレンツ不変量を与えます。ここランク 4 のレヴィ-チヴィタ記号です。上記の の符号は、レヴィ-チヴィタ記号に使用される規則によって異なります。ここで使用される規則は です。${\displaystyle F^{\mu \nu }}$ ${\displaystyle G^{\mu \nu }}$$${\displaystyle G_{\gamma \delta }F^{\gamma \delta }={\frac {1}{2}}\epsilon _{\alpha \beta \gamma \delta }F^{\alpha \beta }F^{\gamma \delta }=-{\frac {4}{c}}\mathbf {B} \cdot \mathbf {E} \,}$$${\displaystyle \epsilon _{\alpha \beta \gamma \delta }}$${\displaystyle \epsilon _{0123}=-1}$
5. 行列式: 上記の不変量の二乗に比例します。$${\displaystyle \det \left(F\right)={\frac {1}{c^{2}}}\left(\mathbf {B} \cdot \mathbf {E} \right)^{2}}$$
6. トレース: ゼロに等しい。$${\displaystyle F={{F}^{\mu }}_{\mu }=0}$$

このテンソルは、4 つのベクトル計算方程式であるマクスウェル方程式を2 つのテンソル場方程式に簡略化および縮小します。静電気学と電気力学では、ガウスの法則とアンペールの回路法則はそれぞれ次のようになります。

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\epsilon _{0}}},\quad \nabla \times \mathbf {B} -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}=\mu _{0}\mathbf {J} }$

非同次マクスウェル方程式に帰着する。

${\displaystyle \partial _{\alpha }F^{\beta \alpha }=-\mu _{0}J^{\beta }}$、ここでは 4 次電流 です。${\displaystyle J^{\alpha }=(c\rho ,\mathbf {J} )}$

静磁気学と磁気力学における磁気に関するガウスの法則とマクスウェル-ファラデー方程式はそれぞれ次のようになります。

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0,\quad {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}+\nabla \times \mathbf {E} =\mathbf {0} }$

これはビアンキ恒等式に帰着する。

${\displaystyle \partial _{\gamma }F_{\alpha \beta }+\partial _{\alpha }F_{\beta \gamma }+\partial _{\beta }F_{\gamma \alpha }=0}$

または、テンソルの反対称部分に 角括弧付きのインデックス表記^{[注1]を使用する：}

${\displaystyle \partial _{[\alpha }F_{\beta \gamma ]}=0}$

ファラデーテンソルを4元ポテンシャルに関連付ける式を使用すると、上記の反対称量が同様にゼロになることを証明できます（）。このテンソル方程式は、同次マクスウェル方程式を再現します。 ${\displaystyle \equiv 0}$

場テンソルは、電磁場がテンソル変換法則に従うことがわかっていることからその名前が付けられています。この物理法則の一般的な特性は、特殊相対性理論の出現後に認識されました。この理論は、すべての物理法則がすべての座標系で同じ形を取る必要があることを規定しており、これがテンソルの導入につながりました。テンソル形式は、物理法則を数学的に簡単に表現することにもつながります。

非同次マクスウェル方程式から連続方程式が導かれます。

${\displaystyle \partial _{\alpha }J^{\alpha }=J^{\alpha }{}_{,\alpha }=0}$

電荷の保存を意味します。

上記のマクスウェルの法則は、偏微分を共変微分に置き換えるだけで、曲がった時空に一般化できます。

${\displaystyle F_{[\alpha \beta ;\gamma ]}=0}$そして ${\displaystyle F^{\alpha \beta }{}_{;\alpha }=\mu _{0}J^{\beta }}$

ここで、セミコロン表記は偏微分ではなく共変微分を表します。これらの方程式は、曲がった空間のマクスウェル方程式と呼ばれることもあります。また、2 番目の方程式は電荷保存を意味します (曲がった時空で)。

${\displaystyle J^{\alpha }{}_{;\alpha }\,=0}$

古典電磁気学とマクスウェル方程式は、作用から導くことができます。 ここで、 は空間と時間に対して作用します。 $${\displaystyle {\mathcal {S}}=\int \left(-{\begin{matrix}{\frac {1}{4\mu _{0}}}\end{matrix}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }-J^{\mu }A_{\mu }\right)\mathrm {d} ^{4}x\,}$$${\displaystyle \mathrm {d} ^{4}x}$

これはラグランジアン密度が

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}&=-{\frac {1}{4\mu _{0}}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }-J^{\mu }A_{\mu }\\&=-{\frac {1}{4\mu _{0}}}\left(\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }\right)\left(\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mu }\right)-J^{\mu }A_{\mu }\\&=-{\frac {1}{4\mu _{0}}}\left(\partial _{\mu }A_{\nu }\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial _{\mu }A_{\nu }\partial ^{\nu }A^{\mu }+\partial _{\nu }A_{\mu }\partial ^{\nu }A^{\mu }\right)-J^{\mu }A_{\mu }\\\end{aligned}}}$

括弧内の2つの中間項は同じであり、外側の2つの項も同じなので、ラグランジアン密度は

${\displaystyle {\mathcal {L}}=-{\frac {1}{2\mu _{0}}}\left(\partial _{\mu }A_{\nu }\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }\partial ^{\mu }A^{\nu }\right)-J^{\mu }A_{\mu }.}$

これをオイラー・ラグランジュの運動方程式に代入すると次のようになります。

${\displaystyle \partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }A_{\nu })}}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial A_{\nu }}}=0}$

したがって、オイラー・ラグランジュ方程式は次のようになります。

${\displaystyle -\partial _{\mu }{\frac {1}{\mu _{0}}}\left(\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mu }\right)+J^{\nu }=0.\,}$

上記の括弧内の量は場のテンソルに過ぎないので、最終的には次のように簡略化される。

${\displaystyle \partial _{\mu }F^{\mu \nu }=\mu _{0}J^{\nu }}$

この式は、2 つの不同次マクスウェル方程式(つまり、 ガウスの法則とアンペールの回路法則) を次の置換を使用して記述する別の方法です。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{c}}E^{i}&=-F^{0i}\\\epsilon ^{ijk}B_{k}&=-F^{ij}\end{aligned}}}$

ここで、i、j、k は値 1、2、3 をとります。

ハミルトン密度は通常の関係で得られる。

${\displaystyle {\mathcal {H}}(\phi ^{i},\pi _{i})=\pi _{i}{\dot {\phi }}^{i}(\phi ^{i},\pi _{i})-{\mathcal {L}}}$。

量子電気力学のラグランジアンは、相対性理論で確立された古典的なラグランジアンを超えて、光子（および電子）の生成と消滅を組み込んでいます。

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\bar {\psi }}\left(i\hbar c\,\gamma ^{\alpha }D_{\alpha }-mc^{2}\right)\psi -{\frac {1}{4\mu _{0}}}F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta },}$

ここで、右辺の最初の部分はディラックスピノル を含み、ディラック場を表します。量子場理論では、ゲージ場強度テンソルのテンプレートとして使用されます。局所相互作用ラグランジアンに加えて使用されることで、QED での通常の役割が再現されます。 ${\displaystyle \psi }$

• 電磁場の分類
• 古典電磁気学の共変定式化
• 電磁応力エネルギーテンソル
• グルーオン場強度テンソル
• リッチ計算
• リーマン・ジルベルシュタインベクトル

• Brau, Charles A. (2004).古典電気力学の現代的諸問題. Oxford University Press . ISBN 0-19-514665-4。
• ジャクソン、ジョン D. (1999)。古典電気力学。John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-30932-X。
• Peskin, Michael E.; Schroeder, Daniel V. (1995).量子場理論入門. Perseus Publishing. ISBN 0-201-50397-2。