エーレンフェストのパラドックス

エーレンフェストのパラドックスは、相対性理論における「剛体」円盤の回転に関するものです。

ポール・エーレンフェストが特殊相対論におけるボルン剛性の概念に関連して1909年に提示した最初の定式化では^[1]、対称軸を中心に回転する理想的な剛性円筒について論じている。^[2]実験室系で見られる半径Rは常にその運動に対して垂直であるため、静止しているときはその値R ₀に等しいはずである。しかし、円周（2πR ）は、通常の係数γによって静止時よりも小さい値にローレンツ収縮しているように見えるはずである。これにより、 R  =  R ₀かつR  <  R ₀という矛盾が生じる。^[3]

このパラドックスはアルバート・アインシュタインによってさらに深められた。彼は、円周に沿って整列し円周とともに動く測定棒は収縮しているように見えることから、より多くの測定棒が円周に収まり、その結果2πRよりも大きな測定値が得られることを示した。これは、回転する観測者にとって幾何学は非ユークリッド的であることを示しており、アインシュタインの一般相対性理論の発展に重要であった。^[4]

実際の材料から作られた剛体は、その材料の音速に近い横方向の速度で回転する場合、遠心力によって破断点を超える必要があります。これは、遠心圧力が材料のせん断弾性係数を超えることができない ためです。

${\displaystyle {\frac {F}{S}}={\frac {mv^{2}}{rS}'',{\frac {mc_{s}^{2}}{rS}}\approx {\frac {mG}{rS\rho }}\approx G}$

ここで、は音速、は密度、はせん断弾性係数です。したがって、相対論的な速度を考慮する場合、それは単なる思考実験です。中性子縮退物質は、中性子星の振動速度が相対論的であるため、光速に近い速度を許容する可能性があります（ただし、これらの物体は厳密に「剛体」であるとは言えません）。 ${\displaystyle c_{s}}$${\displaystyle \rho}$${\displaystyle G}$

一定の角速度で回転する半径Rの円盤を想像してください。 ${\displaystyle \omega}$

基準フレームは、ディスクの静止中心に固定されています。ディスクの円周上の任意の点の相対速度の大きさは です。したがって、円周は倍のローレンツ収縮を起こします。 ${\displaystyle \omega R}$${\displaystyle {\sqrt {1-(\omega R)^{2}/c^{2}}}}$

しかし、半径は運動の方向に対して垂直なので、収縮は起こりません。

${\displaystyle {\frac {\mathrm {円周} }{\mathrm {直径} }}={\frac {2\pi R{\sqrt {1-(\omega R)^{2}/c^{2 }}}}{2R}}=\pi {\sqrt {1-(\omega R)^{2}/c^{2}}}.}$

これは逆説的です。なぜなら、ユークリッド幾何学によれば、それはπと正確に等しくなるはずだから です。

エーレンフェストは、回転する理想的なボルン剛体円筒を考えた。円筒が膨張も収縮もしないと仮定すると、その半径は一定のままである。しかし、円周に沿って配置された測定ロッドは、通常の係数 γ によって、静止時よりも小さい値にローレンツ収縮するはずである。これにより、ローレンツ収縮により、剛体測定ロッドが互いに離れるというパラドックスが生じる。エーレンフェストが指摘した矛盾は、回転するボルン剛体ディスクが砕けることを示唆しているように思われる。 ${\displaystyle 2\pi R}$

したがって、エーレンフェストは、ボルン剛性は一般に特殊相対性理論と両立しない、と不合理な帰結によって論じた。特殊相対性理論によれば、物体はボルン剛性を維持しながら非回転状態から回転させることはできないが、一定の非ゼロ角速度に達すると特殊相対性理論に違反することなくボルン剛性を維持し、その後（アインシュタインが後に示したように）円盤に乗った観測者は円周を測定する：^[3] ${\displaystyle C^{\prime }={\frac {2\pi R}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}.}$

回転する円盤と剛性との関連は、アルバート・アインシュタインが一般相対性理論を発展させる上で重要な思考実験でもありました。^[4]彼は1912年、1916年、1917年、1922年のいくつかの出版物でこれに言及し、そこから、共回転する観測者にとって円盤の幾何学は非ユークリッド的になるという洞察を得ました。アインシュタインは次のように書いています（1922年）：^[5]

66ff: K' の x'y' 平面に原点の周りに描かれた円と、この円の直径を想像してください。さらに、互いに等しい多数の剛体棒があると想像してください。これらの棒が円の周囲と直径に沿って直列に配置され、K' に対して静止しているとします。U が周囲に沿った棒の数、D が直径に沿った棒の数である場合、K' が K に対して回転しない場合は、次の式が得られます。しかし、K' が回転する場合は異なる結果になります。K の特定の時間 t ですべての棒の端を決定したとします。K に関して、周囲のすべての棒はローレンツ収縮を経験しますが、直径上の棒はこの収縮を経験しません (長さに沿って!)。したがって、次の式が成り立ちます。${\displaystyle U/D=\pi }$${\displaystyle U/D>\pi }$

したがって、K' に関する剛体の構成法則は、ユークリッド幾何学に従う剛体の構成法則と一致しないということになります。さらに、2 つの類似の時計 (K' とともに回転する) を、1 つは円周上に、もう 1 つは円の中心に置くと、K から判断すると、円周上の時計は中心の時計よりも遅くなります。K' に関する時間を、まったく不自然ではない方法で、つまり K' に関する法則が時間に明示的に依存するように定義すると、K' から判断して同じことが起こるはずです。したがって、K' に関して、特殊相対性理論で慣性システムに関して定義されていたように、空間と時間を定義することはできません。しかし、等価性の原理によれば、K' は静止したシステムとも考えられ、それに対して重力場 (遠心力の場、およびコリオリの力) があります。したがって、重力場は時空連続体の計量法則に影響を与え、さらには決定する、という結論に至ります。理想的な剛体の構成法則を幾何学的に表現すると、重力場が存在する場合、その幾何学はユークリッド幾何学ではありません。

以下に挙げた論文（およびそれ以外の多くの論文）の引用は、オンラインで入手可能なØyvind Grønの論文に記載されています。 ^[3]

• 1909年：マックス・ボルンが特殊相対性理論における剛体運動の概念を導入した。^[6]
• 1909年: ボルンの剛性の概念を研究した後、ポール・エーレンフェストは、静止から回転に移行する円筒に関するパラドックスを利用して、拡張された物体のほとんどの運動はボルンの剛性ではあり得ないことを実証した。^[1]
• 1910年：グスタフ・ヘルグロッツとフリッツ・ネーターはそれぞれ独立してボルンのモデルを詳細化し、ボルンの剛性は運動する物体に3つの自由度しか許さないことを示した（ヘルグロッツ・ネーターの定理）。例えば、剛体が等速回転することは可能だが、加速回転は不可能である。したがって、ボルンの剛体は静止状態から回転状態にすることはできず、エーレンフェストの結果が確認された。^{[7] [8]}
• 1910年：マックス・プランクは、回転による円盤の収縮の問題と、円盤に乗った観測者が静止した観測者と比較して測定するものの問題を混同してはならないことに注意を喚起した。彼は、最初の問題を解決するには、何らかの物質モデルを導入し、弾性理論を採用する必要があると示唆した。^[9]
• 1910年:テオドール・カルツァは、静止した観測者と円盤に乗っている観測者が円周について異なる結果を得ることに本質的に矛盾はないことを指摘した。しかし、カルツァは、これは「回転する円盤の幾何学」が非ユークリッド的であることを意味していると主張した。彼は、この幾何学は実際には本質的に双曲面の幾何学にすぎないと証明することなく主張した。^[10]
• 1911年:ウラジミール・ヴァリチャクは、パラドックスは剛体が収縮するローレンツの立場でのみ発生するが、収縮が「我々の時計調整と長さ測定の方法によって引き起こされる」場合には発生しないと主張した。アインシュタインは反論を発表し、自身の見解がローレンツの見解と異なることを否定した。
• 1911年：マックス・フォン・ラウエは、加速された物体は無限の自由度を持ち、したがって特殊相対論では剛体は存在できないことを示しました。^[11]
• 1916年:アルバート・アインシュタインは、新しい一般相対性理論を執筆中に、円盤に乗る観測者がより長い円周、C ′  = 2 πr / √ 1− v ²を測定することに気付きました。つまり、長さの軸に平行に動く定規は、静止した観測者によって測定すると短く見えるため、円盤に乗る観測者は、静止した観測者よりも、円周の周りに所定の長さのより小さな定規をより多く当てはめることができます。
• 1922 年: ASEddington は、彼の代表的な著書「相対性理論の数学的理論」(113 ページ) で、回転するディスクの半径が(静止したスケールと比較して) 円周に適用される「ローレンツ収縮」係数の 4 分の 1 だけ収縮することを計算しました。
• 1935年:ポール・ランジュバンは本質的に、現在ランジュバン観測者と呼ばれる円盤に乗る観測者の族に対応する移動フレーム（現代の言葉ではフレームフィールド）を導入しました。（図を参照）。彼はまた、近くのランジュバン観測者によって測定された距離が、現在ランジュバン-ランダウ-リフシッツ計量と呼ばれる特定のリーマン計量に対応することも示しました。^[12]
• 1937年: ヤン・ワイセンホフ (現在では、曲率がゼロでねじれがゼロでないカルタン接続に関する研究で最もよく知られている) は、ランジュバン観測者が超曲面直交ではないことに気付きました。したがって、ランジュバン-ランダウ-リフシッツ計量は、ミンコフスキー時空の超スライス上ではなく、各世界線を点に置き換えることによって得られる商空間上で定義されます。これにより、計量構造を追加するとリーマン多様体になる3次元の滑らかな多様体が得られます。
• 1946 年:ネイサン・ローゼンは、ランジュバン観測者と瞬間的に共動する慣性観測者も、ランジュバン・ランダウ・リフシッツ計量によって与えられる小さな距離を測定することを示します。
• 1946年: ELヒルは、（大まかに言えば）音速が光速に等しい物質の相対論的応力を分析し、これが遠心力による半径方向の膨張を打ち消すだけであることを示した（物理的に現実的な物質では、相対論的効果は半径方向の膨張を弱めるが打ち消すことはない）。ヒルは、アーサー・エディントンらによる以前の分析の誤りを説明した。^[13]
• 1952年: C. モーラーは回転する観測者の観点からヌル測地線を研究しようと試みた (しかし、適切な商空間ではなくスライスを使用するという誤りを犯した)
• 1968 年: V. カントーニは、このパラドックスを単純かつ純粋に運動学的に説明し、「エーレンフェストのパラドックスの記述に暗黙的に含まれている仮定の 1 つは正しくない。その仮定とは、ミンコフスキー時空の幾何学により、円盤が静止状態から回転状態に移行する際に、共動参照系に対して測定された半径の長さと周長の両方が不変であるというものである」と示した。
• 1975年: Øyvind Grøn が「パラドックス」の解決に関する古典的なレビュー論文を執筆。
• 1977年: グリュンバウムとヤニスは、最初は回転していないディスクの回転に応用できる、物理的に実現可能な「非剛性」の概念を導入しました（この概念は、ディスクを作る実際の材料に対しては物理的に現実的ではありませんが、思考実験には役立ちます）。^[14]
• 1981年: グロンはフックの法則がローレンツ変換と一致しないことに気づき、相対論的な一般化を導入した。
• 1997年: TA Weber が、ランジュバン観測者に関連するフレーム フィールドを明示的に導入しました。
• 2000年: フルヴォイェ・ニコリッチは、回転する円盤の各部分を（一般相対性理論に従って）それぞれが局所的な非慣性系に存在するものとして別々に扱うと、パラドックスが消えると指摘した。
• 2002年: Rizzi と Ruggiero (および Bel) は、上記の商多様体を明示的に導入しました。
• 2024年：ジテンドラ・クマールはリングのパラドックスを分析し、その解決はリングを静止状態から回転運動に移行させる方法、すなわち周囲の静止長を一定に保つ（その場合、周囲が裂ける）か、慣性系における周囲の長さを一定に保つ（その場合、周囲が物理的に伸びて静止長が増加する）かによって決まると指摘した。^[15]

グロンによれば、このパラドックスの解決は、回転する基準系で時計を同期させることが不可能であることから生じている。^[16]回転する円周上の観測者が円周上で時計を同期させてディスク時間を確立しようとすると、それらが交わる2つの端点の間に時間差が生じる。

現代の解決策は、次のように簡単に要約できます。

1. 円盤に乗る観測者によって測定される小さな距離は、ランジュバン・ランダウ・リフシッツ計量によって記述されます。これは、カルツァが主張したように、双曲面の幾何学によって（小さな角速度に対して）実際によく近似されます。
2. 物理的に妥当な材料の場合、スピンアップ段階中に実際のディスクは遠心力により放射状に膨張します。相対論的補正により、このニュートン効果は部分的に打ち消されます (ただし、打ち消すことはできません)。定常回転が達成され、ディスクが緩和された後、「小領域」のジオメトリは、ランジュバン・ランダウ・リフシッツ計量によって近似的に与えられます。

• ボルン座標、回転する円盤に乗っている観測者に適した座標チャート
• 長さの収縮
• 相対論的ディスク

特殊相対論におけるその他の「パラドックス」

• ベルの宇宙船パラドックス
• はしごのパラドックス
• 物理的なパラドックス
• サプリーのパラドックス
• 双子のパラドックス

ウィキメディア・コモンズには、エーレンフェストのパラドックスに関連するメディアがあります。

• 相対性理論における剛体回転ディスク、Michael Weiss (1995) 著、sci.physics FAQより。
• アインシュタインの回転木馬（セクション3.5.4）、B. クロウェル著