時間の遅れ

時間の遅れは、特殊相対性理論の第二公準によって規定されるすべての基準系における光速の一定性から推測できる。この光速の一定性は、直感に反して、物質の速度と光の速度が加算されないことを意味する。光源に近づいたり遠ざかったりしても、光速を大きく見せることはできない。^{[ 15 ] [ 16 ]}

時間の相対性は、2枚の鏡AとBからなる抽象的な垂直時計を例にとった思考実験で説明できる。この時計では、光パルスが鏡Aと鏡Bの間を往復する。^{[ 17 ]}鏡間の距離はLであり、光パルスが鏡Aに当たるたびに時計は1回進む。時計が静止している座標系（図の左側を参照）では、光パルスは長さ2Lの経路を描き、時計の1回の往復の間隔は2Lとなる。${\displaystyle \Delta t}$2Lを光速cで割った値に等しい。

$\displaystyle \Delta t={\frac {2L}{c}}}$

時計の静止系（図の右側）に対して速度vで移動する観測者の基準系から見ると、光パルスはより長く、角度のついた経路2Dを描いているように見える。すべての慣性系観測者に対して光速を一定に保つには、この時計の刻み間の時間間隔を長くする（つまり、時間膨張させる）必要がある。${\displaystyle \Delta t'}$移動する観測者の視点から見ると、つまり、ローカルクロックに対して移動するフレームで測定すると、このクロックはよりゆっくりと動いている（つまり、刻んでいる）ことになります。なぜなら、刻み速度は刻み間の時間間隔の逆数 1/ に等しいからです。${\displaystyle \Delta t'}$。

ピタゴラスの定理をそのまま適用すると、特殊相対性理論のよく知られた予測が得られる。

光パルスが経路をたどるのにかかる合計時間は、次式で与えられる。

${\displaystyle \Delta t'={\frac {2D}{c}}}$

半経路の長さは、既知の量の関数として次のように計算できます。

${\displaystyle D={\sqrt {\left({\frac {1}{2}}v\Delta t'\right)^{2}+L^{2}}}}$

これら3つの式から変数DとLを消去すると、次のようになる。

これは、動いている観測者の時計の周期が${\displaystyle \Delta t'}$期間よりも長い${\displaystyle \Delta t}$時計自体のフレーム内で。ローレンツ因子ガンマ（γ）は次のように定義される^{[ 18 ]}

${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$

静止系で共通周期を持つすべての時計は、運動系から観測されたときにも共通周期を持つはずなので、他のすべての時計（機械式、電子式、光学式（例の時計の水平方向の同一バージョンなど））は、同じ速度依存の時間の遅れを示すはずである。^{[ 19 ]}

ある特定の基準系と、先に述べた「静止した」観測者を前提として、もし「動いている」時計に別の観測者が同行した場合、それぞれの観測者は、相手の時計が自分の時計よりも遅い速度で時を刻んでいると測定するだろう。これは、両者とも、自分の静止した基準系に対して相手の方が動いていると測定するためである。

常識的に考えれば、動いている物体にとって時間の流れが遅くなった場合、その物体は外部世界の時間がそれに応じて速くなっていると観測するはずだ。しかし、直感に反して、特殊相対性理論は正反対のことを予測する。2人の観測者が互いに相対的に運動している場合、それぞれが相手の時計が遅くなっていると観測する。これは、観測者の基準系に対して相手が運動していることと一致する。

これは自己矛盾しているように見えるが、同様の奇妙な現象は日常生活でも起こる。2人の人物AとBが遠くから互いを観察すると、AからはBが小さく見えるが、同時にBからはAが小さく見える。遠近法の効果を理解していれば、この状況に矛盾や逆説はない。^{[ 20 ]}

この現象の相互性は、いわゆる双子のパラドックスにもつながります。これは、地球に残る双子と宇宙旅行に出かける双子の老化を比較したもので、相互性から、再会時には両者の年齢が同じになるはずだと示唆されます。しかし、実際には、往復旅行の終わりには、旅行中の双子の方が地球にいる双子よりも若くなっています。このパラドックスが提起するジレンマは、状況が対称ではないという事実によって説明できます。地球に残る双子は単一の慣性系にあり、旅行中の双子は、行きと帰りで異なる2つの慣性系にあります。双子のパラドックス§ 加速度の役割も参照してください。

ミンコフスキー図と双子のパラドックス

時計Cは、同期した2つの時計AとBの間で相対運動している。CはdでAと、fでBと出会う。

双子のパラドックス。双子の一方がフレームを変更する必要があり、その結果、双子の世界線において異なる固有時間が生じる。

右側の最初の図のミンコフスキー図では、慣性系S′に静止している時計Cが、時計A（どちらもSに静止）でd、時計B（f）でfと交わります。3つの時計はすべてSで同時に動き始めます。Aの世界線はct軸、fと交わるBの世界線はct軸に平行、Cの世界線はct′軸です。Sにおけるdと同時に起こるすべての事象はx軸上にあり、S′におけるすべての事象はx′軸上にあります。

2 つのイベント間の適切な時間は、両方のイベントに存在する時計によって示されます。^{[ 27 ]}これは不変であり、つまり、すべての慣性系において、この時間はその時計によって示されることが合意されています。したがって、間隔dfは時計 C の適切な時間であり、S における時計 B および A の座標時間 ef=dg に比べて短くなります。逆に、同時性の相対性により、C が動き出すずっと前に、イベントeがすでに時間iで S′ で測定されていたため、B の適切な時間 ef も S′ の時間ifに比べて短くなります。

そこから、両方のイベントに存在する非加速時計によって示される2つのイベント間の固有時間は、他のすべての慣性系で測定された同期座標時間と比較すると、常にそれらのイベント間の最小時間間隔であることがわかります。ただし、2つのイベント間の間隔は、両方のイベントに存在する加速時計の固有時間にも対応する可能性があります。2つのイベント間のすべての可能な固有時間の下で、非加速時計の固有時間は最大となり、これが双子のパラドックスの解決策となります。^{[ 27 ]}

上記の光時計に加えて、時間の遅れの公式は、ローレンツ変換の時間部分からより一般的に導出することができる。^{[ 28 ]}動いている時計が示す2つの事象があるとしよう。$t_a$そして$tb$、 したがって：

${\displaystyle t_{a}^{\prime }={\frac {t_{a}-{\frac {vx_{a}}{c^{2}}}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}},\ t_{b}^{\prime }={\frac {t_{b}-{\frac {vx_{b}}{c^{2}}}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}$

時計は慣性系で静止しているため、${\displaystyle x_{a}=x_{b}}$したがって、間隔$\displaystyle \Delta t^{\prime }=t_{b}^{\prime }-t_{a}^{\prime }}$次のように与えられます。

${\displaystyle \Delta t'=\gamma \,\Delta t={\frac {\Delta t}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\,}$

ここで、Δtは固有時間として知られ、ある慣性系（例えば時計の針が進む時間）にいる観測者にとっての、同じ場所で起こる2つの事象間の時間間隔であり、Δt ′は、その観測者に対して速度vで慣性運動している別の観測者によって測定された、同じ事象間の時間間隔であり、 vは観測者と動いている時計との間の相対速度、cは光速であり、ローレンツ因子（慣習的にギリシャ文字のガンマまたはγで表される）は次のようになります。

${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\,}$

したがって、動いている時計の時計周期の長さは長くなることがわかっています。つまり、「遅れて動いている」と測定されます。v ≪ c である日常生活におけるこのような変動の範囲は、宇宙旅行を考慮しても、容易に検出できる時間の遅れ効果を生み出すほど大きくなく、このような極めて小さな効果はほとんどの場合安全に無視できます。おおよその閾値として、物体が 30,000  km/s (光速の 1/10) 程度の速度に近づくと、0.5% の時間の遅れが重要になる可能性があります。^{[ 29 ]}

特殊相対性理論において、時間の遅れは、相対速度が一定である場合に最も簡単に説明されます。しかしながら、ローレンツ方程式を用いることで、測定期間全体にわたって等速運動（すなわち一定速度運動）する基準物体に対して、単位質量あたりの力が重力加速度gに等しい宇宙船という単純なケースにおける、固有時間と空間における運動を計算することができます。

tを慣性系における時刻とし、これを以降は静止系と呼ぶ。xを空間座標とし、一定加速度の方向と宇宙船の速度（静止系に対する相対速度）はx軸に平行とする。時刻t = 0における宇宙船の位置をx = 0、速度をv = ₀とし、以下の略記法を定義する。

${\displaystyle \gamma _{0}={\frac {1}{\sqrt {1-v_{0}^{2}/c^{2}}}}$

以下の式が成り立つ：^{[ 30 ]}

位置：

${\displaystyle x(t)={\frac {c^{2}}{g}}\left({\sqrt {1+{\frac {\left(gt+v_{0}\gamma _{0}\right)^{2}}{c^{2}}}}}-\gamma _{0}\right)}$

速度：

${\displaystyle v(t)={\frac {gt+v_{0}\gamma _{0}}{\sqrt {1+{\frac {\left(gt+v_{0}\gamma _{0}\right)^{2}}{c^{2}}}}}}}$

座標時を関数とした固有時間：

${\displaystyle \tau (t)=\tau _{0}+\int _{0}^{t}{\sqrt {1-\left({\frac {v(t')}{c}}\right)^{2}}}dt'}$

v (0) = v ₀ = 0 かつτ (0) = τ ₀ = 0の場合、積分は対数関数、または同等に逆双曲線関数として表すことができます。

${\displaystyle \tau (t)={\frac {c}{g}}\ln \left({\frac {gt}{c}}+{\sqrt {1+\left({\frac {gt}{c}}\right)^{2}}}\right)={\frac {c}{g}}\operatorname {arsinh} \left({\frac {gt}{c}}\right)}$

固有時間の関数として${\displaystyle \tau }$船については、次の式が成り立つ：^{[ 31 ]}

位置：

${\displaystyle x(\tau )={\frac {c^{2}}{g}}\left(\cosh {\frac {g\tau }{c}}-1\right)}$

速度：

${\displaystyle v(\tau )=c\tanh {\frac {g\tau }{c}}}$

座標時間を固有時間の関数として表す：

${\displaystyle t(\tau )={\frac {c}{g}}\sinh {\frac {g\tau }{c}}}$

時計仮説とは、時計が時間の遅れの影響を受ける速度は、その加速度ではなく、瞬間速度のみに依存するという仮定である。これは、ある経路に沿って移動する時計が${\displaystyle P}$適切な時間を測定する。適切な時間は次のように定義される。

${\displaystyle \tau =\int _{P}{\sqrt {dt^{2}-dx^{2}/c^{2}-dy^{2}/c^{2}-dz^{2}/c^{2}}}}$

時計仮説は、アインシュタインが1905年に最初に定式化した特殊相対性理論に暗黙のうちに（明示的には含まれていなかったが）含まれていた。それ以来、それは標準的な仮定となり、特に粒子加速器での非常に高い加速度までの実験的検証を考慮すると、特殊相対性理論の公理に通常含まれている。^{[ 32 ] [ 33 ]}

• 1959年、ロバート・パウンドとグレン・レブカは、地球の重力場が比較的強い低高度で放出される光の周波数のごくわずかな重力赤方偏移を測定した。その結果は、一般相対性理論の予測値の10%以内であった。1964年、パウンドとJLスナイダーは、重力による時間の遅れによって予測される値の1%以内の結果を測定した。 ^{[ 36 ]}（パウンド・レブカ実験を参照）
• 2010年には、光原子時計を用いて、わずか1メートルの高さの差で地球表面における重力による時間の遅れが測定された。^{[ 26 ]}

• 1971年、ヘーフェルとキーティングは、セシウム原子時計を民間航空機に乗せて地球を東西に周回し、経過時間を米国海軍天文台に残された時計の経過時間と比較した。2つの相反する効果が作用した。時計は、旅の大部分でより高い（より弱い）重力ポテンシャルにあるため、基準時計よりも早く老化する（経過時間が長くなる）と予想された（パウンド・レブカ実験参照）。しかし、それとは対照的に、移動する時計は移動速度が速いため、老化が遅くなると予想された。各旅の実際の飛行経路から、理論では、米国海軍天文台の基準時計と比較して、飛行中の時計は 東行きの旅で40±23ナノ秒遅れ、西行きの旅で275±21 ナノ秒進むと予測された。米国海軍天文台の原子時間スケールと比較すると、飛行時計は東行きの旅で 59±10 ナノ秒遅れ、西行きの旅で 273±7 ナノ秒進みました (誤差範囲は標準偏差を表します)。^{[ 40 ]} 2005 年、英国国立物理研究所は、この実験の限定的な再現を報告しました。 ^{[ 41 ]} NPL の実験は、セシウム時計がより短い旅 (ロンドン - ワシントン DC 往復) で送られたという点でオリジナルとは異なりましたが、時計の精度は高くなりました。報告された結果は、測定の不確実性の範囲内で、相対性理論の予測の 4% 以内です。
• 全地球測位システムは、特殊相対性理論と一般相対性理論の両方において継続的に稼働する実験とみなすことができる。軌道上の時計は、上述のように特殊相対性理論と一般相対性理論の両方の時間膨張効果について補正されているため、（地球表面から観測すると）地球表面の時計と同じ速度で動いている。^{[ 42 ]}

時間の遅れの予期せぬ性質は、誤解を招きやすい原因となっている。時間の遅れは、ローレンツ変換の多くの教科書の導出で使用される光時計のような光ベースの時計にのみ適用され、機械式、原子式、または生物学的な計時装置には適用されないという誤解がある。このような誤解は、地球を周回する原子時計を用いたヘーフェレ・キーティング実験などの実験結果に関する誤った結論につながる可能性がある。^{[ 43 ]}

この問題を解決するために、物理学者ヴァル・G・ルソーは「アインシュタインの猫」として知られる思考実験を提案した。 ^{[ 43 ]}このシナリオでは、光時計と機械式ストップウォッチの同期を比較する架空の装置「同期か死かの時計」が登場する。猫の寿命は、異なる慣性系で分析した場合のこれら2つの時計の正確なタイミングに依存する。パラドックスは、時間の遅れが光パルスにのみ適用され、機械式時計には適用されないと仮定した場合に生じる。この誤った仮定の下では、猫は猫に対して相対的に運動する観測者によってのみ死ぬと予想される。この明らかな矛盾は、両方の時計が等しく相対論的時間の遅れの影響を受けると認識されたときに解決される。これは、時間の遅れが時計の内部機構とは無関係に特殊相対性理論の普遍的な特徴であるという基本原理を示している。