この実験では、吊り下げられた平行 平板コンデンサが 細いねじり繊維で保持され、充電されます。エーテル理論が正しければ、地球がエーテル中を運動することによって生じるマクスウェル方程式 の変化により、プレートが運動方向に対して垂直に整列するトルクが発生します。これは次のように表されます。
τ = − E ′ v 2 c 2 罪 2 α ′ {\displaystyle \tau =-E'{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\sin 2\alpha '} どこτ \displaystyle \tau } E {\displaystyle E} α {\displaystyle \alpha }
一方、特殊相対性理論が、一定速度で運動するすべての慣性系においてマクスウェル方程式が不変であると主張するならば、トルクは発生しない（ゼロ結果となる）と予測される。したがって、エーテルが地球に対して何らかの形で固定されていない限り、この実験は、これら二つの記述のうちどちらがより正確であるかを検証するものである。そして、この実験でゼロ結果が得られたことで、特殊相対性理論のローレンツ不変性 が確認された。
しかし、実験結果が否定的であったことは装置の静止系では容易に説明できるが、非共動系の観点からの説明（上述の「エーテル系」と同じトルクが発生するのか、あるいはトルクが全く発生しないのかという問題）ははるかに難しく、「トルートン・ノーブルのパラドックス」と呼ばれ、いくつかの方法で解決できる（下記の解決策を 参照）。
直角レバーのパラドックス トルートン・ノーブルのパラドックスは、本質的には、1909年にギルバート・ニュートン・ルイス とリチャード・チェイス・トルマン によって初めて議論された直角レバーのパラドックス と呼ばれる思考実験と同等である。 [ 9 ] 端点がabc である直角レバーを想定する。その静止座標系では、力がf y {\displaystyle f_{y}} ba とf x {\displaystyle f_{x}} 平衡状態を得るためには、 bc 方向への力が等しくなければならない。したがって、てこの法則ではトルクは発生しない。
τ ′ = L 0 （ f x ′ − f y ′ ） = 0 {\displaystyle \tau '=L_{0}\left(f'_{x}-f'_{y}\right)=0} どこτ \displaystyle \tau } L 0 {\displaystyle L_{0}} 一方のレバーアームの静止時の長さ。ただし、長さの収縮 により、非共動系ではbaは bc より長くなるため、てこの法則は次のようになる。
τ = f x ⋅ L 0 − f y ⋅ L 0 1 − v 2 c 2 = L 0 （ f x − f y 1 − v 2 c 2 ） {\displaystyle \tau =f_{x}\cdot L_{0}-f_{y}\cdot L_{0}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}=L_{0}\left(f_{x}-f_{y}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}\right)} トルクがゼロではないことが分かる。これは明らかに、非共動座標系においてレバーを回転させる原因となる。回転が観測されないことから、ルイスとトルマンはトルクが存在しないと結論付けた。したがって、次のようになる。
f x f y = 1 − v 2 c 2 {\displaystyle {\frac {f_{x}}{f_{y}}}={\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}} しかし、マックス・フォン・ラウエ （1911）[ 10 ]
f x = f x ′ 、 f y = f y ′ ⋅ 1 − v 2 c 2 {\displaystyle f_{x}=f'_{x},\ f_{y}=f'_{y}\cdot {\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}} これにより
f x f y = 1 1 − v 2 c 2 {\displaystyle {\frac {f_{x}}{f_{y}}}={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}} てこの法則を適用すると、以下のトルクが発生します。
τ = − L 0 ⋅ f x ′ ⋅ v 2 c 2 {\displaystyle \tau =-L_{0}\cdot f'_{x}\cdot {\frac {v^{2}}{c^{2}}}} これは基本的に、トルートン＝ノーブルのパラドックスと同じ問題である。
ソリューション トルートン・ノーブルのパラドックスと直角レバーのパラドックスの両方について詳細な相対論的解析を行うには、例えば、異なる参照系で観測される効果を正しく調和させる必要があるが、最終的には、そのような理論的記述はすべて同じ結果をもたらすことが示されている。どちらの場合も、物体に正味のトルクがかかっても（ある参照系から見ると）、物体は回転しない。そしてどちらの場合も、関連するすべての力、運動量、およびそれらによって生じる加速度の変換を相対論的に正しく考慮することで、このことが説明される。この実験に関する記述の初期の歴史については、Janssen (1995) が概説している。[ 11 ]
ラウエ電流 トルートン・ノーブルのパラドックスの最初の解決策はヘンドリック・ローレンツ （1904年）によって与えられた。彼の結果は、静電気力によるトルクと運動量が分子力によるトルクと運動量によって相殺されるという仮定に基づいている。[ 12 ] しかし、ローレンツ変換が どのようにしてそのような分子力を生み出すことができるのか、既知のメカニズムはない。さらに、2つの点電荷が柔軟な糸で接続されている場合、回転モーメントを生み出す分子力は存在しない。
これはマックス・フォン・ラウエ （1911年）によってさらに詳しく論じられ、彼はこうしたパラドックスに対する標準的な解決策を与えた。それはマックス・プランク による一般的な定式化におけるいわゆる「エネルギーの慣性 」に基づいていた。ラウエによれば、ある運動量に関連するエネルギーの流れ（「ラウエ電流」）は、運動する物体において弾性応力によって生じる。トルートン・ノーブル実験の場合、結果として生じる機械的トルクは次のようになる。
τ = E ′ v 2 c 2 罪 2 α ′ {\displaystyle \tau =E'{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\sin 2\alpha '} そして直角レバーでは：
τ = L 0 ⋅ f x ′ ⋅ v 2 c 2 \displaystyle \tau =L_{0}\cdot f'_{x}\cdot {\frac {v^{2}}{c^{2}}}} これは、上述の電磁トルクを正確に相殺するため、どちらの場合も回転は発生しません。言い換えれば、電磁トルクは物体の等速運動、すなわち 弾性応力によって生じる機械的トルクによる物体の回転を阻止するために実際に必要です。[ 10 ] [ 13 ] [ 14 ] [ 15 ]
それ以来、ラウエの電流を詳しく解説し、いくつかの修正や再解釈を提供し、「隠れた」運動量のさまざまなバリエーションを含む多くの論文が発表された。[ 16 ]
力と加速度 1911 年に、リチャード C. トルマン [ 17 ] ポール ソフス エプスタイン [ 18 ] [ 19 ] [ 20 ] も同様の結論に達しましたが、これは方向によって変化しない不変質量 を用い、相対論的加速度の方向が相対論的力の方向と異なるという事実を利用したものです。
エプスタインは、点Oに取り付けられた両端 OM を持つ質量のない棒と、点M に取り付けられた静止質量m の粒子を想像した（参照）。タン α ′ {\displaystyle \tan \alpha '} f ′ {\displaystyle f'} M においてO 方向への力が加えられ、静止系での平衡は、f x ′ f y ′ = タン α ′ {\displaystyle {\tfrac {f'_{x}}{f'_{y}}}=\tan \alpha '}
f x = f x ′ 、 f y = f y ′ ⋅ 1 − v 2 c 2 、 タン α = タン α ′ 1 − v 2 c 2 {\displaystyle f_{x}=f'_{x},\ f_{y}=f'_{y}\cdot {\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}},\ \tan \alpha =\tan \alpha '{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}} したがってf x f y = タン α 1 − v 2 c 2 {\displaystyle {\frac {f_{x}}{f_{y}}}={\frac {\tan \alpha }{1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}
つまり、合力は Oから M に直接向かうわけではない。これは棒の回転につながるのか？いいえ、なぜならエプスタインは2つの力によって引き起こされる加速度を考慮したからである。彼は縦方向と横方向で異なる相対論的質量の概念を用いて、
m l o n g 。 = m 0 γ 3 、 m t r 。 = m 0 γ 、 w h e r e γ = 1 1 − v 2 c 2 {\displaystyle m_{\rm {long.}}={m_{0}\gamma ^{3}},\ m_{\rm {tr.}}=m_{0}\gamma ,\quad {\rm {where}}\quad \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}} 質量m の物体が縦方向と横方向の2つの力によって加速される場合の相対論的表現は次のようになる。
1 x = f x m γ 3 、 1 y = f y m γ {\displaystyle a_{x}={\frac {f_{x}}{m\gamma ^{3}}},\ a_{y}={\frac {f_{y}}{m\gamma }}} したがって1 x 1 y = タン α {\displaystyle {\frac {a_{x}}{a_{y}}}=\tan \alpha }
フランクリンは力と加速度の間の相対論的な関係を利用し、
d p d t = m d d t （ v γ ） = m γ 3 [ 1 + v × （ v × 1 ） ] 。 {\displaystyle {\frac {d{\bf {p}}}{dt}}=m{\frac {d}{dt}}({\bf {v}}\gamma )=m\gamma ^{3}[{\bf {a}}+{\bf {v\times (v\times a)}}].} 相対論的な力と加速度の関係を用いると、この系では回転が生じないことが示される。同様の考察は、直角レバーとトルートン・ノーブルのパラドックスにも適用される。2つの加速度（ベクトル）は系の重心を指すが、2つの力はそうではないため、これらのパラドックスは解決される。
参考文献 1 2 F. T. Trouton および HR Noble、「空間を移動する帯電した電気コンデンサに作用する機械的力」、 Phil. Trans. Royal Soc. A 202、165 – 181(1903)。 ↑ FT Trouton および HR Noble、「空間を移動する帯電コンデンサーに作用する力」。Proc . Royal Soc. 74 (479): 132-133 (1903)。 ↑ R. トマチェック (1925)。「Über Versuche zur Auffindung elektrodynamischer Wirkungen der Erdbewegung in großen Höhen I」 。アンナレン・デア・フィジーク 。78 (24): 743–756 。Bibcode : 1926AnP...383..743T。土井 ：10.1002/andp.19263832403。 ↑ R. トマチェック (1926)。 「大いなるヘーエン II における電気力学的な研究」 。 アンナレン・デア・フィジーク 。 80 (13): 509–514 。 Bibcode : 1926AnP...385..509T 。 土井 ： 10.1002/andp.19263851304 。 ↑ Carl T. Chase (1926). "A Repetition of the Trouton-Noble Ether Drift Experiment" (PDF) . Physical Review . 28 (2): 378– 383. Bibcode : 1926PhRv...28..378C . doi : 10.1103/PhysRev.28.378 . ↑ Carl T. Chase (1927). "The Trouton–Noble Ether Drift Experiment". Physical Review . 30 (4): 516–519 . Bibcode : 1927PhRv...30..516C . doi : 10.1103/PhysRev.30.516 . ↑ R. トマチェック (1927)。 「ベーメルクング ツ メイネン ヴァースーチェン ツア アウフィンドゥン エレクトロダイナミッシャー ヴィルクンゲン グローセン ヘーエン」 。 アンナレン・デア・フィジーク 。 84 (17): 161–162 。 Bibcode : 1927AnP...389..161T 。 土井 ： 10.1002/andp.19273891709 。 ↑ HC Hayden (1994). 「高感度トルートン・ノーブル実験」。Review of Scientific Instruments . 65 (4): 788–792 . Bibcode : 1994RScI...65..788H . doi : 10.1063/1.1144955 . ↑ ルイス、ギルバート N.、トルマン、リチャード C. (1909)、 「相対性原理と非ニュートン力学」 、 アメリカ芸術科学アカデミー紀要 、 44 (25): 709–726 、 doi : 10.2307/20022495 、 JSTOR 20022495 1 2 ラウエ、マックス・フォン（1911）。 「相対力理論の理論」。 Verhandlungen der Deutschen Physikalischen Gesellschaft 。 13 : 513–518 . 英語のWikisource翻訳:相対性理論の力学に関する一例 ↑ ヤンセン（1995）、「参考文献」を参照 ↑ ローレンツ、ヘンドリック・アントゥーン (1904)、 「光速より小さい速度で運動する系における電磁現象」 、 オランダ王立芸術科学アカデミー紀要 、 6 : 809–831 、 Bibcode : 1903KNAB....6..809L ↑ マックス・フォン・ラウエ（1911年）。 「Zur Dynamik der Relativitätstheorie」 。 アンナレン・デア・フィジーク 。 340 (8): 524–542 。 Bibcode : 1911AnP...340..524L 。 土井 ： 10.1002/andp.19113400808 。 英語のWikisource翻訳:相対性理論の力学について ↑ マックス・フォン・ラウエ（1911年）。 「相対性理論におけるBemerkungen zum Hebelgesetz」。 物理的ツァイツシュリフト 。 12 : 1008 – 1010。 英語のWikisource翻訳:相対性理論におけるてこの法則に関する考察 ↑ マックス・フォン・ラウエ（1912年）。 「トルトンと貴族の理論理論」 。 アンナレン・デア・フィジーク 。 343 (7): 370–384 。 ビブコード : 1912AnP...343..370L 。 土井 ： 10.1002/andp.19123430705 。 英語のWikisource翻訳:トルートンとノーブルの実験理論について ↑ 「参考文献」を参照。特に、Nickerson/McAdory (1975)、Singal (1993)、Teukolsky (1996)、Jefimenko (1999)、Jackson (2004)を参照。 ↑ トルマン、リチャード C. (1911)、 「非ニュートン力学 ：力と加速度の方向」 、 Philosophical Magazine 、 22 (129): 458–463 、 doi : 10.1080/14786440908637142 ↑ エプスタイン、PS (1911)。 「超相対主義統計」 。 アンナレン・デア・フィジーク 。 341 (14): 779–795 。 ビブコード : 1911AnP...341..779E 。 土井 ： 10.1002/andp.19113411404 。 英語のWikisource翻訳:相対論的静力学について ↑ Epstein, PS (1927). 「マイケルソン・モーリー実験に関する会議」. マウント・ウィルソン天文台からの寄稿 . 373 : 45– 49. Bibcode : 1928CMWCI.373...43E . ↑ Franklin, Jerrold (2006). "The lack of rotation in the Trouton Noble experiment". European Journal of Physics . 27 (5): 1251–1256 . arXiv : physics/0603110 . Bibcode : 2006EJPh...27.1251F . doi : 10.1088/0143-0807/27/5/024 . S2CID 16934275 .
さらに読む 歴史 ミシェル・ヤンセン、「トルートンとノーブルの実験に照らしたローレンツのエーテル理論と特殊相対性理論の比較」、博士論文（1995年）。オンライン：目次、序論、序論I 、 1、2 、序論II、3、4、参考文献。 Janssen, Michel HP (2008)、「特殊相対性理論における運動学と動力学の境界線を引く」 、時間と相対性に関するシンポジウム 、40 (1): 1–76 、Bibcode : 2009SHPMP..40...26J、doi : 10.1016/j.shpsb.2008.06.004 教科書 トルマン、RC（1917）「直角レバー」、『運動の相対性理論 』 、バークレー：カリフォルニア大学出版局、539～ 776ページ、 152 ～ 153ページ パウリ、ヴォルフガング（1981）[1921]「特殊な場合への応用。トルートンとノーブルの実験」『 相対性理論 978-0-486-64152-2 。 パノフスキー、ヴォルフガング；フィリップス、メルバ（2005）[1962]。古典電気と磁気 ページ 。ISBN 978-0-486-43924-2 。 ジャクソン、ジョン・D. (1998).古典電磁気学 版）. ワイリー. ISBN 978-0-471-30932-1 。 Franklin, J. (2017).古典電磁気学 （第2 版）. Dover. pp. 467–468 . ISBN 978-0-486-81371-4 。 アメリカ物理学ジャーナル
Gamba, A. (1967). 「相対性理論に基づく異なる参照系における物理量」American Journal of Physics . 35 (2): 83– 89. Bibcode : 1967AmJPh..35...83G . doi : 10.1119/1.1973974 . Butler, JW (1968). 「トルートン・ノーブル実験について」. American Journal of Physics . 36 (11): 936–941 . Bibcode : 1968AmJPh..36..936B . CiteSeerX 10.1.1.144.9274 . doi : 10.1119/1.1974358 . Aranoff, S. (1969). "特殊相対性理論における平衡状態の系に対するトルクと角運動量". American Journal of Physics . 37 (4): 453–454 . Bibcode : 1969AmJPh..37..453A . doi : 10.1119/1.1975612 . Furry, WH (1969). "電磁場および物質中の運動量分布の例". American Journal of Physics . 37 (6): 621–636 . Bibcode : 1969AmJPh..37..621F . doi : 10.1119/1.1975729 . Butler, JW (1969). "帯電体に対する電磁運動量エネルギー4ベクトルの提案". American Journal of Physics . 37 (12): 1258–1272 . Bibcode : 1969AmJPh..37.1258B . doi : 10.1119/1.1975297 . Butler, JW (1970). "ルイス・トルマンのレバーのパラドックス". American Journal of Physics . 38 (3): 360–368 . Bibcode : 1970AmJPh..38..360B . doi : 10.1119/1.1976326 . Rohrlich, F. (1970). "電磁運動量、エネルギー、質量". American Journal of Physics . 38 (11): 1310–1316 . Bibcode : 1970AmJPh..38.1310R . doi : 10.1119/1.1976082 . Sears, Francis W. (1972). 「もう一つの相対論的パラドックス」. American Journal of Physics . 40 (5): 771–773 . Bibcode : 1972AmJPh..40..771S . doi : 10.1119/1.1986643 . Aranoff, S. (1973). 「特殊相対性理論における平衡状態での直角レバーに関する補足」. American Journal of Physics . 41 (9): 1108–1109 . Bibcode : 1973AmJPh..41.1108A . doi : 10.1119/1.1987485 . Nickerson, J. Charles; McAdory, Robert T. (1975). "The Trouton-Noble paradox" . American Journal of Physics . 43 (7): 615–621 . Bibcode : 1975AmJPh..43..615N . doi : 10.1119/1.9761 . Cavalleri, G.; Grøn, Ø.; Spavieri, G.; Spinelli, G. (1978). 「JC Nickerson と RT McAdory による論文「直角レバーのパラドックス」に対するコメント」American Journal of Physics . 46 (1): 108– 109. Bibcode : 1978AmJPh..46..108C . doi : 10.1119/1.11106 . Grøn, Ø. (1978). "相対論的静力学とFW Sears" . American Journal of Physics . 46 (3): 249– 250. Bibcode : 1978AmJPh..46..249G . doi : 10.1119/1.11164 . Holstein, Barry R.; Swift, Arthur R. (1982). "特殊相対性理論における柔軟な弦". American Journal of Physics . 50 (10): 887–889 . Bibcode : 1982AmJPh..50..887H . doi : 10.1119/1.13002 . Singal, Ashok K. (1993). 「Trouton-Noble実験のヌル結果の「説明」について」American Journal of Physics . 61 (5): 428– 433. Bibcode : 1993AmJPh..61..428S . doi : 10.1119/1.17236 . Teukolsky, Saul A. (1996). 「トルートン・ノーブル実験の説明の再検討」(PDF) . American Journal of Physics . 64 (9): 1104– 1109. Bibcode : 1996AmJPh..64.1104T . doi : 10.1119/1.18329 . Jackson, JD (2004). "トルクかトルクなしか？異なる慣性系で観測された単純な荷電粒子の運動". American Journal of Physics . 72 (12): 1484–1487 . Bibcode : 2004AmJPh..72.1484J . doi : 10.1119/1.1783902 . ヨーロピアン・ジャーナル・オブ・フィジックス
Aguirregabiria, JM; Hernandez, A.; Rivas, M. (1982). "A Lewis-Tolman-like paradox". European Journal of Physics . 3 (1): 30–33 . Bibcode : 1982EJPh....3...30A . doi : 10.1088/0143-0807/3/1/008 . S2CID 250832120 . Franklin, Jerrold (2006). "The lack of rotation in the Trouton Noble experiment". European Journal of Physics . 27 (5): 1251–1256 . arXiv : physics/0603110 . Bibcode : 2006EJPh...27.1251F . doi : 10.1088/0143-0807/27/5/024 . S2CID 16934275 . Franklin, Jerrold (2008). 「直角レバーの可動における回転の欠如」European Journal of Physics . 29 (6): N55– N58. arXiv : 0805.1196 . Bibcode : 2008EJPh...29...55F . doi : 10.1088/0143-0807/29/6/N01 . S2CID 118386487 . 物理学ジャーナルA
Jefimenko, Oleg D. (1999). "The Trouton-Noble paradox". Journal of Physics A . 32 (20): 3755– 3762. Bibcode : 1999JPhA...32.3755J . doi : 10.1088/0305-4470/32/20/308 . S2CID 5923766 . ヌオーヴォ・チメント
アルゼリエス、H. (1965)。 「社会的相対主義の問題」。イル・ヌオーヴォ・シメント 。35 (3): 783–791 。Bibcode : 1965NCim...35..783A。土井 ：10.1007/BF02739341。S2CID 120383996。 Rohrlich, F. (1966). 「真の変換と見かけの変換、古典的電子、および相対論的熱力学」。Il Nuovo Cimento B. 45 ( 1): 76–83 . Bibcode : 1966NCimB..45...76R . doi : 10.1007/BF02710587 . S2CID 123061629 . Newburgh, RG (1969). "直角レバーの相対論的問題：ラウエ解の正しさ". Il Nuovo Cimento B . 61 (2): 201– 209. Bibcode : 1969NCimB..61..201N . doi : 10.1007/BF02710928 . S2CID 117911369 . Cavalleri, G.; Salgarelli, G. (1969). "可変静止質量を持つ相対論的力学の改訂と相対論的熱力学への応用". Il Nuovo Cimento A . 62 (3): 722– 754. Bibcode : 1969NCimA..62..722C . doi : 10.1007/BF02819595 . S2CID 124525672 . Aranoff, S. (1972). "特殊相対性理論における平衡" (PDF) . Il Nuovo Cimento B . 10 (1): 155– 171. Bibcode : 1972NCimB..10..155A . doi : 10.1007/BF02911417 . S2CID 117291369 . 2012年3月28日にオリジナル(PDF) からアーカイブ済み。 Grøn, Ø. (1973). 「相対論的静力学および熱力学の非同期定式化」。Il Nuovo Cimento B. 17 ( 1): 141–165 . Bibcode : 1973NCimB..17..141G . doi : 10.1007/BF02906436 . S2CID 122454306 . Pahor, S.; Strnad, J. (1974). "特殊相対性理論における静力学". Il Nuovo Cimento B . 20 (1): 105– 112. Bibcode : 1974NCimB..20..105P . doi : 10.1007/BF02721111 . S2CID 123433408 . カヴァレリ、G.スパヴィエリ、G.スピネリ、G. (1975)。 「特殊相対性理論におけるロープと滑車（糸の相対論的静力学）」。イル ヌオーヴォ シメント B . 25 (1): 348–356 。ビブコード : 1975NCimB..25..348C。土井 ：10.1007/BF02737685。S2CID 120491330。 Chamorro, A.; Hernández, A. (1978). "相対論的静力学の同期定式化". Il Nuovo Cimento B . 41 (1): 236– 244. Bibcode : 1977NCimB..41..236C . doi : 10.1007/BF02726555 . S2CID 118140054 . ヘルナンデス、A.リバス、M.アギレレガビリア、JM (1982)。 「トルトン・ノーブル実験の定量分析」。イル ヌオーヴォ シメント B . 72 (1): 1–12 。Bibcode : 1982NCimB..72....1H。土井 ：10.1007/BF02894929。S2CID 118263084。 アイ、シャオバイ（1993）。 「相対論的静学における歴史的誤解」。イル ヌオーヴォ シメント B . 108 (1): 7–15 。Bibcode : 1993NCimB.108....7A。土井 : 10.1007/BF02874335。S2CID 120591882。 Nieves, L.; Rodriguez, M.; Spavieri, G.; Tonni, E. (2001). 「ファラデーの法則の微分形式の検証としてのトルートン・ノーブル型の実験」Il Nuovo Cimento B . 116 (5): 585. Bibcode : 2001NCimB.116..585N . Spavieri, G.; Gillies, GT (2003). "電気力学理論の基礎的検証: トルートン・ノーブル効果と隠れた運動量効果の概念的調査". Il Nuovo Cimento B . 118 (3): 205. Bibcode : 2003NCimB.118..205S . 物理学の基礎
Prokhovnik, SJ; Kovács, KP (1985). 「直角レバーへの特殊相対性理論の応用」. Foundations of Physics . 15 (2): 167–173 . Bibcode : 1985FoPh...15..167P . doi : 10.1007/BF00735288 . S2CID 120649126 . Spavieri, Gianfranco (1990). 「特殊相対性理論における欠落トルクを検出するための実験の提案」. Foundations of Physics Letters . 3 (3): 291–302 . Bibcode : 1990FoPhL...3..291S . doi : 10.1007/BF00666019 . S2CID 122236005 . Ivezić, Tomislav (2005). "1つの公理のみによる電磁気学の公理的幾何学的定式化：トルートン・ノーブル実験の説明を伴う双ベクトル場Fの場方程式". Foundations of Physics Letters . 18 (5): 401–429 . arXiv : physics/0412167 . Bibcode : 2005FoPhL..18..401I . doi : 10.1007/s10702-005-7533-7 . S2CID 6907453 . Ivezić, Tomislav (2006). "4次元幾何学的量と通常の3次元量：ジャクソンのパラドックスの解決". Foundations of Physics . 36 (10): 1511–1534 . arXiv : physics/0602105 . Bibcode : 2006FoPh...36.1511I . doi : 10.1007/s10701-006-9071-y . S2CID 17410595 . Ivezić, Tomislav (2006). "Trouton Noble Paradox Revisited". Foundations of Physics . 37 ( 4–5 ): 747–760 . arXiv : physics/0606176 . Bibcode : 2007FoPh...37..747I . doi : 10.1007/s10701-007-9116-x . S2CID 5977062 . 
![\displaystyle {\frac {d{\bf {p}}}{dt}}=m{\frac {d}{dt}}({\bf {v}}\gamma )=m\gamma ^{3}[{\bf {a}}+{\bf {v\times (v\times a)}}].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d25b24e18a2ccd119749de70f85cb33629905f2)