特殊相対論の定式化

特殊相対性理論は、1905 年にアルバート アインシュタインによって最初に開発されました。しかし、特殊相対性理論には他の解釈も開発されており、その中には異なる基本公理に基づくものもあります。アインシュタインの理論と数学的に同等なものもあれば、それを修正または拡張することを目指すものもあります。

アインシュタインの定式化は、以下に詳述する 2 つの公理に基づいています。定式化によっては、これらの公理を修正したり、演繹によって 2 番目の公理を導こうとしたりします。他の定式化では、時空の幾何学や参照フレーム間の線形変換に対するアプローチが異なります。

1905 年にアルバート アインシュタインが提唱した特殊相対性理論は、2 つの主要な仮説に基づいていました。

1. 相対性原理: 物理法則の形は、どの慣性系(どの方向にも加速しない参照系)でも同じです。
2. 光速度は一定です。すべての慣性系において、光速度cは、光が静止している光源から放射されても、運動している光源から放射されても同じです。(これは非慣性系には当てはまらないことに注意してください。実際、加速系間では光速度は一定ではありません。^[1]ただし、観測者が局所的な測定を行うことに限定されている場合は、非慣性系にも適用できます。^[2] )

アインシュタインは、この2つの公理に基づいて特殊相対性理論を発展させた。この理論は、同時性の相対性、長さの収縮、時間の遅れ、相対論的速度加算式、相対論的ドップラー効果、相対論的質量、普遍的な速度制限、質量エネルギー等価性、因果律の速度、トーマス歳差運動など、実験的に検証された多くの予測を行った。^{[3] [4]}

何人かの物理学者は、光速度が一定であるという第二公準を仮定せずに、第一公準（相対性原理）のみから特殊相対性理論を導き出しました。 ^{[1] [5] [6] [7]}「単一公準」という用語は誤解を招きます。なぜなら、これらの定式化は、宇宙原理、つまり空間の等方性と均質性などの暗黙の仮定に依存している可能性があるからです。 ^{[8] [9]}したがって、この用語は公準の正確な数を指すのではなく、むしろそのようなアプローチを「2つの公準」定式化と区別するために使用されます。単一公準アプローチは、一般的に光速度が一定であると仮定するのではなく、推論します。

第二公準を仮定しなくても、ローレンツ変換は得られる。しかし、自由パラメータ kが存在するため、さらなる仮定を行わない限り、実験予測を行うことはできない。k = 0の場合はニュートン力学と同等である。^[10]

ヘンドリック・ローレンツとアンリ・ポアンカレは、1900年から1905年にかけて一連の論文で特殊相対性理論の独自のバージョンを開発しました。彼らはマクスウェル方程式と相対性原理を使用して、後にアインシュタインが開発した理論と数学的に同等の理論を導きました。

太極相対性理論は、ジョンピン・シューとレオナルド・シューによって開発された特殊相対性理論の定式化である。^{[1] [11] [12] [13]}理論名の「太極」は、世界の存在に先立つ究極の原理を指す中国語である。シューとシューは、時間を距離の単位で測定することで、導出に第2公準を使用せずに相対性理論を展開できると主張した。

Hsu と Hsu によれば、相対性原理は4D 時空に適用すると 4D 時空間隔の不変性を意味します。これとミンコフスキー空間の時空間隔の違いは、 は相対性原理のみで不変であるのに対し、 は両方の公理を必要とすることです。時空における「相対性原理」は、4 次元変換下での法則の不変性を意味します。彼らは、実験と一致しながらも光の「速度」が一定でない時間の定義を持つ相対性のバージョンがあると主張しています。彼らは、特殊相対性を使用するよりも「相対論的多体問題」の計算を実行するのに便利な、 共通相対性と呼ばれるそのようなバージョンの 1 つを開発しました。${\displaystyle s^{2}=w^{2}-r^{2}}$${\displaystyle s^{2}=c^{2}t^{2}-r^{2}}$${\displaystyle s^{2}=w^{2}-r^{2}}$${\displaystyle s^{2}=c^{2}t^{2}-r^{2}}$

何人かの著者は、太極相対論は、時間と空間があらゆる方向で同じに見えるという宇宙論的原理というさらなる仮定を前提としていると主張している。 ^[14]ベハラ（2003）は、「特殊相対論における光速度の仮定は、空間の均質性と等方性、およびすべての慣性系における時間の均質性という考えと関連した相対性原理の必然的な結果である」と書いている。^[15]

特殊相対性理論のテスト理論は、特殊相対性理論の予測をテストするために使われる平坦な時空理論である。テスト理論は、光の片道速度と往復速度を区別することで、2つの公準を持つ特殊相対性理論と異なる。このため、時間の同時性の概念が異なる。ロバートソンのテスト理論 (1949) はアインシュタインの特殊相対性理論とは異なる実験結果を予測し、マンスーリ・セクセル理論 (1977) はロバートソンの理論と同等である。また、エドワードの理論 (1963) は物理的に特殊相対性理論と同等であるため、テスト理論と呼ぶことはできない。^[16]

ミンコフスキー空間（またはミンコフスキー時空）は、特殊相対性理論が便宜的に定式化される数学的設定です。ミンコフスキー空間は、ドイツの数学者ヘルマン・ミンコフスキーにちなんで名付けられました。ミンコフスキーは、1907年頃、特殊相対性理論（それ以前にポアンカレとアインシュタインによって開発）が、時間の次元と空間の3次元を組み合わせた4次元時空を使用して簡潔に記述できることに気付きました。

数学的には、ミンコフスキー時空の 4 次元は、4 つの実座標を持つ4 次元ベクトル、3 つの実座標と 1 つの複素座標を持つ 4 次元ベクトル、またはテンソルを使用して表現するなど、さまざまな方法で表現されます。

時空代数は、ミンコフスキー空間と密接に関連した幾何学代数の一種であり、特殊相対性理論の他の形式と同等です。ミンコフスキー時空の従来の形式におけるテンソルを、双ベクトルなどの数学的対象に置き換えて、行列力学やベクトル計算よりもはるかに単純な方程式を導きます。

^{Cacciatori、Gorini、Kamenshchik、 [7]} Bacry、Lévy-Leblond ^[17]の研究およびその中の参考文献によれば、ミンコフスキーの考えを論理的に結論づけると、ブーストが非可換であるだけでなく、変換も非可換である。これは、時空の対称群がポアンカレ群ではなくド・ジッター群であることを意味する。この結果、物質やエネルギーが存在しない場合でも時空はわずかに曲がる。この残留曲率は、観測によって決定される宇宙定数によって引き起こされる。定数の大きさが小さいため、ポアンカレ群による特殊相対性理論は、あらゆる実用目的で十分すぎるほど正確であるが、ビッグバンやインフレーションの近くでは、当時は宇宙定数がより大きかったため、ド・ジッター相対性理論の方が有用である可能性がある。これは、一般相対性理論におけるアインシュタインの場の方程式を解いてド・シッター宇宙を得ることと同じではないことに注意してください。むしろ、ド・シッター相対性理論は、重力を無視する特殊相対性理論におけるド・シッター群を得ることです。

ユークリッド相対論^{[18] [19] [20] [21] [22] [23] [24]は}、4次元時空における従来のミンコフスキー (+---) または (-+++) 計量ではなく、4次元ユークリッド空間におけるユークリッド(++++) 計量を使用する。 ^[a]ユークリッド計量は、ミンコフスキー計量を同等の に書き直すことによって導出される。時間 t と固有時間の役割が入れ替わり、固有時間が4次元空間の座標の役割を果たす。4次元空間を移動するすべての物体の普遍的な速度は、通常の時間微分 から現れる。このアプローチは、いわゆるウィック回転または複素ユークリッド相対論とは異なる。ウィック回転では、時間が に置き換えられ、これも正定値計量につながるが、固有時間はローレンツ不変値として維持されるのに対し、ユークリッド相対論では は座標になる。は、光子がサブスペース {x, y, z} 内を光速で移動し、{x, y, z} 内で静止しているバリオン物質が光子に対して垂直に に沿って移動することを意味するため、光子が時空内でどのように伝播するかに関してパラドックスが生じる。平行な時空または平行世界がシフトして に沿って共動している可能性があるという考え方は、ジョルジョ・フォンタナのアプローチである。^[25]ユークリッド幾何学はミンコフスキーの古典的相対性理論と一致している。4D プロパティの 3D 空間への幾何学的投影が行われると、双曲ミンコフスキー幾何学は 4D 円形幾何学の回転に変換される。 ${\displaystyle (cd\tau )^{2}=(cdt)^{2}-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2}}$${\displaystyle (cdt)^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}+(cd\tau )^{2}}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle c}$${\displaystyle c^{2}=(dx/dt)^{2}+(dy/dt)^{2}+(dz/dt)^{2}+(cd\tau /dt)^{2}}$${\displaystyle t}$${\displaystyle it}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle c^{2}=(dx/dt)^{2}+(dy/dt)^{2}+(dz/dt)^{2}+(cd\tau /dt)^{2}}$${\displaystyle {\tau }}$${\displaystyle \tau }$

重力を無視すると、実験的限界は、ローレンツ対称性とポアンカレ対称性を備えた特殊相対性理論が時空を記述することを示唆しているように思われる。コーエンとグラショー^[26]は、ローレンツ群の小さな部分群が現在の限界をすべて説明するのに十分であることを実証した。

問題の極小部分群は次のように記述できます。ヌルベクトルの安定化群は特殊ユークリッド群SE(2)であり、放物線変換の部分群として T(2) を含みます。この T(2) を拡張してパリティまたは時間反転(つまり、それぞれ正時および時間反転の部分群)を含めると、標準的な予測をすべて得るのに十分です。この新しい対称性は、超特殊相対性(VSR)と呼ばれます。

二重特殊相対性理論(DSR) は、観測者に依存しない最大速度 (光速) だけでなく、観測者に依存しない最小長さ (プランク長)も存在する、特殊相対性理論の修正された理論です。

これらの提案の動機は主に理論的なものであり、次の観察に基づいています。プランク長は量子重力理論において基本的な役割を果たし、量子重力効果が無視できず、新しい現象が観測されるスケールを設定すると予想されます。特殊相対性理論がこのスケールに正確に当てはまる場合、ローレンツ-フィッツジェラルド収縮により、異なる観測者は異なるスケールで量子重力効果を観測することになり、すべての慣性観測者が同じ物理法則で現象を記述できるはずであるという原則に反します。

通常の二重特殊相対性モデルの欠点は、通常の特殊相対性理論が破綻し、パッチワーク相対性が生じると想定されるエネルギースケールでのみ有効であることです。一方、ド・ジッター相対性理論は、質量、エネルギー、運動量の同時再スケーリングに対して不変であることがわかっており、その結果、すべてのエネルギースケールで有効です。

• 特殊相対論の代替導出
• ローレンツ変換の導出
• 特殊相対性理論の歴史