顕在共分散

一般相対性理論において、明らかに共変な方程式とは、すべての式がテンソルである方程式のことである。加算、テンソル乗算、テンソル縮約、添え字の上げ下げ、共変微分といった演算は、方程式に現れる可能性がある。禁止されている項には偏微分が含まれるが、これらに限定されない。 テンソル密度、特に被積分関数と積分変数は、計量の 行列式の適切なべき乗によって明確に重み付けされている場合に限り、明らかに共変な方程式に許容される。

方程式を明らかに共変な形で記述することは、簡単な確認で一般共変性が保証されるため有用である。方程式が明らかに共変であり、局所慣性系で瞬時に評価したときに特殊相対性理論における正しい対応する方程式に帰着する場合、それは通常、特殊相対性理論の方程式を一般相対性理論に正しく一般化したものである。

方程式は、明らかに共変でなくても、ローレンツ共変である可能性がある。電磁場テンソルを考えてみよう。

${\displaystyle F_{ab}\,=\,\partial _{a}A_{b}\,-\,\partial _{b}A_{a}\,}$

どこ${\displaystyle A_{a}}$はローレンツゲージにおける電磁4元ポテンシャルである。上記の式には偏微分が含まれているため、明らかに共変ではない。偏微分は共変微分とクリストッフェル記号を用いて次のように表すことができることに注意されたい。

${\displaystyle \partial _{a}A_{b}=\nabla _{a}A_{b}+\Gamma _{ab}^{c}A_{c}}$

${\displaystyle \partial _{b}A_{a}=\nabla _{b}A_{a}+\Gamma _{ba}^{c}A_{c}}$

一般相対性理論で仮定されるねじれのない計量については、クリストッフェル記号の対称性に訴えることができる。

${\displaystyle \Gamma _{ab}^{c}-\Gamma _{ba}^{c}=0,}$

これにより、場のテンソルを明らかに共変な形式で記述することが可能になる。

${\displaystyle F_{ab}\,=\,\nabla _{a}A_{b}\,-\,\nabla _{b}A_{a}.}$

• ローレンツ共変性
• 一般相対性理論の数学入門

• CBパーカー（1994）。マグロウヒル物理学百科事典（第2 版）。マグロウヒル。
• ジョン・アーチボルド・ウィーラー、C・ミスナー、KS・ソーン（1973）。重力。WHフリーマン社。