生まれつきの頑固さ

ボルン剛性は特殊相対性理論の概念です。特殊相対性理論において、非相対論的古典力学の剛体に相当するものは何かという疑問に対する答えの 1 つです。

この概念はマックス・ボルン（1909） ^{[1] [2]}によって導入され、彼は一定の固有加速度の場合を詳細に説明し、これを双曲運動と呼んだ。その後の著者であるパウル・エーレンフェスト（1909）^[3]も回転運動を取り入れようとしたとき、ボルンの剛性は非常に制限された意味での剛性であることが明らかになり、ヘルグロッツ・ノイマン定理につながった。この定理によれば、回転ボルンの剛性運動には厳しい制限がある。この定理はグスタフ・ヘルグロッツ（1909、回転運動のすべての形式を分類）^{[4]によって定式化され、}フリッツ・ノイマン（1909）によってそれほど一般的ではない方法で定式化された。^[5]その結果、ボルン（1910）^[6]らは剛性の代替の、より制限の少ない定義を与えた。

ボルン剛性は、無限に離れた曲線または世界線間の直交 時空距離が一定である場合に満たされます。 ^[7]または同等に、標準的な測定棒で測定された瞬間的に共動する慣性系内の剛体の長さ（つまり、固有長）が一定であり、したがって相対的に移動する系でローレンツ収縮の影響を受ける場合。 ^[8]ボルン剛性は、拡張された物体の運動に対する制約であり、物体のさまざまな部分に力を慎重に適用することで実現されます。独自の剛性を維持できる物体は、音速が無限大になるため、特殊相対性理論に違反します。

ヘルグロッツ・ノイマン定理を使うと、すべての可能なボルン剛体運動の分類が得られる。この定理は、すべての非回転ボルン剛体運動（クラスA）は時空を剛体運動する超平面から成り、一方、回転ボルン剛体運動（クラスB）は等尺 キリング運動でなければならないと述べている。これは、ボルン剛体が3つの自由度しか持たないことを意味する。したがって、ボルン剛体では静止状態から任意の並進運動に移行できるが、静止状態から回転運動に移行させることはできない。^[9]

^{ヘルグロッツ（1911） [10]は、}弾性の相対論的理論は、ボルン剛性の条件が破られたときに応力が生じるという仮定に基づくことができることを示した^{[11] 。}

ボルン剛性の破れの一例は、エーレンフェストのパラドックスです。物体の等速円運動の状態は、クラス B の許容されるボルン剛性運動の 1 つですが、物体がさまざまな加速を受ける段階では、ボルン剛性の条件を破ることなく、物体を他の運動状態から等速円運動に移行させることはできません。しかし、この段階が終了し、求心加速度が一定になると、物体はボルン剛性に従って等速回転することができます。同様に、物体が等速円運動状態にある場合、物体のボルン剛性を再び破ることなく、この状態を変更することはできません。

もう 1 つの例は、ベルの宇宙船のパラドックスです。物体の端点が直線方向に一定の固有加速度で加速される場合、固有長を一定にしてボルン剛性を満たすためには、先端の固有加速度が低くなければなりません。また、外部慣性系では増加するローレンツ収縮を示します。つまり、外部フレームでは物体の端点は同時に加速しません。ただし、外部慣性系で見られるように物体の端点が同じ固有加速度で同時に加速される別の加速プロファイルを選択した場合、同時性の相対性により、外部フレームでの長さが一定であるということは、共動フレームでの固有長が増加することを意味するため、ボルン剛性は破れます。この場合、2 つのロケットの間に張られた壊れやすい糸は応力 (ヘルグロッツ・デュワン・ベラン応力^[8]と呼ばれる) を受け、結果的に破断します。

平坦なミンコフスキー時空で許容される、特に回転するボルンの剛体運動の分類はヘルグロッツによって与えられ、^[4]フリードリヒ コットラー(1912, 1914)、^[12] ジョルジュ ルメートル(1924)、^[13] アドリアン フォッカー(1940)、^[14]ジョージ ザルツマン &アブラハム H. タウブ(1954) ^[7]によっても研究されました。ヘルグロッツは、連続体の点の世界線が における等距離の曲線であるとき、連続体は剛体として運動していると指摘しました。結果として生じる世界性は 2 つのクラスに分けられます。 ${\displaystyle \mathbf {R} ^{4}}$

ヘルグロッツは、このクラスを、超平面族の直交軌道である等距離曲線の観点から定義しました。これは、リカッチ方程式^[15]の解としても見ることができます（これは、ザルツマンとタウブ^[7]によって「平面運動」、またはボイヤー^{[16] [17]}によって「非回転剛体運動」と呼ばれました）。彼は、そのような物体の運動は、その点の1つの運動によって完全に決定されると結論付けました。

これらの非回転運動の一般的な計量はヘルグロッツによって与えられ、その研究はルメートル (1924) によって簡略化された表記法でまとめられました。また、原点の任意の運動を伴う剛体フレームに対してクリスチャン・モラー(1952)によって与えられた形式のフェルミ計量は、「特殊相対論における非回転剛体運動の最も一般的な計量」として特定されました。^[18]一般に、非回転ボルン運動は、任意の世界線を基準線として使用できるフェルミ合同 (同次フェルミ合同) に対応することが示されました。^[19]

オルディ・ボルン（1909）は、並進運動する剛体の最大空間拡張は加速度に依存し、関係式で与えられることを指摘した。ここで、は固有加速度、 は剛体が位置する球の半径であり、したがって固有加速度が大きいほど剛体の最大拡張は小さくなる。^[2]固有加速度が一定の並進運動の特殊なケースは双曲運動として知られ、世界線は ${\displaystyle b<c^{2}/R}$${\displaystyle b}$${\displaystyle R}$

ヘルグロッツは、このクラスを、1パラメータ運動群の軌跡である等距離曲線の観点から定義しました^{[29] （これは、ザルツマンとタウブ[7]}によって「群運動」と呼ばれ、フェリックス・ピラニとガレス・ウィリアムズ（1962）^{[30]によって}等尺性 キリング運動と同一視されました）。彼は、それらが、3つの曲率が一定である（曲率、ねじれ、および超ねじれとして知られる）世界線で構成され、らせん^[31]を形成することを指摘しました。平坦な時空における一定曲率の世界線は、フレネ・セレ公式の解として、コットラー（1912）、^[12]ペトルーフ（1964）、^[32]ジョン・ライトン・シング（1967、平坦な時空における時間的らせんと呼んだ）、^[33]あるいはレタウ（1981、定常世界線と呼んだ）^[34]によっても研究されました。

ヘルグロッツはさらに、双曲運動（すなわち双曲空間の等長自己同型）との類似性でローレンツ変換の4つの1パラメータ群（斜航型、楕円型、双曲型、放物型）を使用してクラスBを分類し、ボルンの双曲運動（ヘルグロッツとコットラーの表記法、ルメートルの表記法、シングの表記法で双曲群に従う。次の表を参照）がクラスAとBの両方に属する唯一のボルンの剛体運動であると指摘した。 ${\displaystyle \alpha =0}$${\displaystyle \lambda =0}$${\displaystyle q=0}$

ボルン剛性の概念を一般相対論に拡張する試みは、ザルツマンとタウブ（1954）、^[7] C.ベレスフォード・レイナー（1959）、^[50]ピラニとウィリアムズ（1962）、^[30]ロバート・H・ボイヤー（1964）によってなされた。^[16]等尺キリング運動を表さない剛体回転フレームまたは合同が可能であるために、ヘルグロッツ・ノイマン定理は完全には満たされないことが示された。^[30]

^{剛性条件としては、Noether (1909) [5]}や Born (1910) ^[6]など、より弱い代替条件もいくつか提案されている。

現代的な代替案は、エップ、マン、マクグラスによって提示された。^[51]「空間体積を満たす点の集合の履歴」からなる通常のボルンの剛体合同とは対照的に、彼らは「空間体積を囲む表面上の点の集合の履歴」の観点から合同を定義することにより、準局所剛体フレームを使用して古典力学の6自由度を回復した。

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• ボルン剛性、加速度、慣性（mathpages.com）
• USENET 物理学 FAQ の相対論における剛体回転ディスク