ボンダイk計算

ボンディk計算は、ヘルマン・ボンディ卿によって普及された特殊相対性理論の教授法であり、大学レベルの物理学の授業（例えばオックスフォード大学^[1]）やいくつかの相対性理論の教科書で使用されている。^{[2] ：58–65  [3]}

k計算の有用性はその単純さにあります。相対性理論の入門書の多くは、速度の概念とローレンツ変換の導出から始まります。時間の遅れ、長さの収縮、同時性の相対性、双子のパラドックスの解決、相対論的ドップラー効果などの他の概念は、すべて速度の関数としてローレンツ変換から導出されます。

ボンディは、 1962年にイラストレイテッド・ロンドン・ニュースに掲載された記事に基づいて1964年に初めて出版された著書「相対性と常識」^[4]で、提示の順序を逆にしている。彼は、文字で示される「基本比」と呼ばれるもの（後にラジアル・ドップラー係数であることが判明）から始める。^{[3] : 40}ここから、彼は双子のパラドックス、同時性の相対性、時間の遅れ、長さの収縮をすべて の観点から説明する。彼が速度と基本比 の関係を示すのは、説明の後半になってからである。ローレンツ変換は、本の終わりの方で登場する。 ${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$

k計算法は、1935年にEAミルンによってすでに使用されていました。^[5]ミルンは、一定のドップラー係数を表すために文字を使用しましたが、非慣性運動（したがってドップラー係数が変化する）を含むより一般的なケースも考慮しました。ボンディは、の代わりに文字を使用し、表現を簡略化（定数のみ）して、「 k計算」という名前を導入しました。 ^{[4] : 109}${\displaystyle s}$${\displaystyle k}$${\displaystyle s}$${\displaystyle k}$

アリスとボブという2人の慣性観測者が、一定の相対速度で互いにまっすぐに離れていく様子を考えてみましょう。アリスは、自分の時計で計測すると、1秒ごとにボブに向かって青い光のフラッシュを発射します。アリスとボブは一定の距離で離れているため、アリスがフラッシュを発射してからボブがフラッシュを受信するまでの間には遅延があります。さらに、分離距離は一定の割合で着実に増加しているため、遅延は増加し続けます。これは、ボブがフラッシュを受信する間の時間間隔が、彼の時計で計測すると、秒よりも長く、たとえば、ある定数 に対して秒であることを意味します。（アリスとボブが代わりに互いに向かってまっすぐに移動している場合、同様の議論が当てはまりますが、その場合は です。）^{[4] : 80}${\displaystyle T}$${\displaystyle T}$${\displaystyle kT}$${\displaystyle k>1}$${\displaystyle k<1}$

ボンディはこれを「基本的な比率」と表現している^{[4] : 88。}その後、他の著者はこれを「ボンディk係数」または「ボンディのk係数」と呼んでいる^{[2] : 63  。}${\displaystyle k}$

アリスのフラッシュはアリスの時計によって Hz の周波数で送信され、ボブの時計によってHz の周波数で受信されます。これはドップラー係数を意味します。したがって、ボンディのk係数はドップラー係数の別名です (送信元アリスと観測者ボブが互いに直接離れるか近づく場合)。^{[3] : 40}${\displaystyle f_{s}=1/T}$${\displaystyle f_{o}=1/(kT)}$${\displaystyle f_{s}/f_{o}=k}$

もしアリスとボブが役割を交換し、ボブがアリスに閃光を送ったとすると、相対性原理（アインシュタインの第一公準）によれば、慣性観測者はすべて同等であるため、ボブからアリスへのk係数はアリスからボブへのk係数と同じ値になる。したがって、k係数は観測者間の相対速度のみに依存し、他には依存しない。^{[4] : 80}

ここで、アリスから一定の距離にある第3の慣性観測者デイブを考えてみましょう。ボブはアリスとデイブの間の直線上にいます。アリスとデイブは互いに静止しているので、アリスからデイブへの遅延は一定です。これは、デイブがアリスの青いフラッシュを彼の時計で1秒に1回の割合で受信することを意味します。これはアリスが送信するのと同じ割合です。言い換えると、アリスからデイブへのk係数は1に等しいです。^{[4] : 77}${\displaystyle T}$

ここで、ボブがアリスから青い閃光を受信すると、ボブは即座に自分の赤い閃光をデイブに向けて、1 秒ごとに 1 回 (ボブの時計で) 送信するとします。光の速度は光源の動きとは無関係であるというアインシュタインの第 2 公準は、アリスの青い閃光とボブの赤い閃光はどちらも同じ速度で移動し、どちらも追い越すことはなく、したがって同時にデイブに到着することを意味します。したがって、デイブはボブから 1秒ごとに赤い閃光をデイブの時計で受信します。これはボブがボブの時計で 1 秒ごとに送信したものです。これはボブからデイブへのk係数が であることを意味します。^{[4] : 80}${\displaystyle kT}$${\displaystyle T}$${\displaystyle kT}$${\displaystyle 1/k}$

これにより、直接離れて移動する観測者のk係数 (赤方偏移) は、同じ速度で直接互いに近づいて移動する観測者の   k係数 (青方偏移)の逆数であることが証明されます。

ここで、ボブがアリスからデイブに移動するのとまったく同じ速度でデイブからアリスに移動する 4 番目の慣性観測者キャロルについて考えます。キャロルの移動は、ボブが到着するのとまったく同じ時間にデイブを離れるように時間調整されています。アリス、ボブ、キャロルの時計に記録された時間を で表します。 ${\displaystyle t_{A},t_{B},t_{C}}$

ボブがアリスを追い抜くとき、二人とも自分の時計を に同期させます。キャロルがボブを追い抜くとき、彼女は自分の時計をボブの に同期させます。最後に、キャロルがアリスを追い抜くとき、二人は互いの時計を比較します。ニュートン物理学では、最終的な比較で、アリスとキャロルの時計は に一致することが期待されます。以下で、相対性理論ではこれは当てはまらないことが示されます。これは、一卵性双生児が別れて再会すると、一方が他方より年上になっているという、よく知られた「双子のパラドックス」の一種です。 ${\displaystyle t_{A}=t_{B}=0}$${\displaystyle t_{C}=t_{B}}$${\displaystyle t_{C}=t_{A}}$

アリスが時刻 にボブに向けて光のフラッシュを発すると、 k係数の定義により、そのフラッシュは時刻 にボブに受信されます。フラッシュはボブがキャロルに会う瞬間にボブに到達するようにタイミングが調整されているため、キャロルは時計を と同期させて を読みます。 ${\displaystyle t_{A}=T}$${\displaystyle t_{B}=kT}$${\displaystyle t_{C}=t_{B}=kT}$

また、ボブとキャロルが出会ったとき、二人は同時にアリスにフラッシュを送信し、アリスはそれを同時に受信します。まず、時刻 に送信されたボブのフラッシュについて考えると、アリスからボブへのk係数がボブからアリスへのk係数と同じであるという事実を使用することで、そのフラッシュは時刻 にアリスによって受信される必要があります。 ${\displaystyle t_{B}=kT}$${\displaystyle t_{A}=k^{2}T}$

ボブの往路の所要時間はボブの時計によれば であったため、対称性から、同じ距離を同じ速度で往復するキャロルの帰路の所要時間も、彼女の時計によれば となるはずであり、そのためキャロルがアリスに会うとき、キャロルの時計は を示している。この行程のk係数は(前述のとおり) 逆数でなければならないため、キャロルがアリスに向けてフラッシュを発することを考慮すると、 の送信間隔はの受信間隔に対応する。これは、キャロルとアリスが会うときのアリスの時計の最終時刻が であることを意味する。これは、 および であるため、キャロル の時計の時刻よりも大きい。^{[4] : 80–90}${\displaystyle kT}$${\displaystyle kT}$${\displaystyle t_{C}=2kT}$${\displaystyle 1/k}$${\displaystyle kT}$${\displaystyle T}$${\displaystyle t_{A}=(k^{2}+1)T}$${\displaystyle t_{C}=2kT}$$${\displaystyle t_{A}-t_{C}=(k^{2}-2k+1)T=(k-1)^{2}T>0,}$$${\displaystyle k\neq 1}$${\displaystyle T>0}$  

k計算法では、距離はレーダーを使って測定されます。観測者はターゲットに向けてレーダーパルスを送信し、そのエコーを受信します。レーダーパルス (光速 で移動する) は、往復でターゲットまでの距離の 2 倍の距離を移動し、時間がかかります。ここで、と は、レーダーパルスの送信時と受信時に観測者の時計によって記録された時間です。これは、ターゲットまでの距離が^{[2] : 60 であることを意味します。}${\displaystyle c}$${\displaystyle T_{2}-T_{1}}$${\displaystyle T_{1}}$${\displaystyle T_{2}}$ $${\displaystyle x_{A}={\tfrac {1}{2}}c(T_{2}-T_{1}).}$$

さらに、光の速度は双方向で同じなので、レーダーパルスがターゲットに到達する時間は、観測者によると、送信時間と受信時間の中間、つまり^{[2] ：60 になるはずです。} $${\displaystyle t_{A}={\tfrac {1}{2}}(T_{2}+T_{1}).}$$

前述のように、レーダー観測者がアリスで、ターゲットがボブ（一時的にデイブと同じ場所にいる）である特定のケースでは、k計算により、 ${\displaystyle T_{2}=k^{2}T_{1}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}x_{A}&={\tfrac {1}{2}}c(k^{2}-1)T_{1}\\t_{A}&={\tfrac {1}{2}}(k^{2}+1)T_{1}.\end{aligned}}}$$

アリスとボブは に同じ位置にあったので、アリスに対するボブの速度は^{[4] : 103  [2] : 64 で与えられる。}${\displaystyle t_{A}=0,x_{A}=0}$

$${\displaystyle v={\frac {x_{A}}{t_{A}}}={\frac {{\tfrac {1}{2}}c(k^{2}-1)T_{1} }{{\tfrac {1}{2}}(k^{2}+1)T_{1}}}=c{\frac {k^{2}-1}{k^{2}+1} }=c{\frac {kk^{-1}}{k+k^{-1}}}.}$$

この式は、ボンダイk係数の関数として速度を表します。これを解くと、関数として次式が得られます。^{[4] : 103  [2] : 65}${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle v}$ $${\displaystyle k={\sqrt {\frac {1+v/c}{1-v/c}}}.}$$

慣性観測者 3 名、アリス、ボブ、エドが順番に並んでおり、同じ直線に沿って異なる速度で移動しているとします。このセクションでは、表記法を使用してアリスからボブまでのk係数を表します (他の観測者ペア間でも同様です)。 ${\displaystyle k_{AB}}$

以前と同様に、アリスは自分の時計で毎秒ボブとエドに向かって青いフラッシュを送信し、ボブはボブの時計で毎秒それを受信し、エドはエドの時計で毎秒それを受信しました。 ${\displaystyle T}$${\displaystyle k_{AB}T}$${\displaystyle k_{AE}T}$

ここで、ボブがアリスから青い閃光を受け取るたびに、ボブは即座に自分の赤い閃光をエドに向けて送信し、ボブの時計では 1 秒ごとに 1 回送信すると仮定します。そのため、エドは、エドの時計では 1 秒ごとにボブから赤い閃光を受け取ります。アインシュタインの第 2 公準、つまり光の速度は光源の動きとは無関係であるという公準は、アリスの青い閃光とボブの赤い閃光はどちらも同じ速度で移動し、どちらも追い越さず、エドに同時に到着することを意味します。したがって、エドによって測定された赤い閃光の間隔と青い閃光の間隔は同じである必要があります。したがって、 k因子を組み合わせる規則は、単純に掛け算です。^{[4] : 105}${\displaystyle k_{AB}T}$${\displaystyle k_{BE}(k_{AB}T)}$${\displaystyle k_{BE}(k_{AB}T)}$${\displaystyle k_{AE}T}$ $${\displaystyle k_{AE}=k_{AB}k_{BE}.}$$

最後に、代入すると 速度合成式^[4] が得られる^：105$${\displaystyle k_{AB}={\sqrt {\frac {1+v_{AB}/c}{1-v_{AB}/c}}},\,k_{BE}={\sqrt {\frac {1+v_{BE}/c}{1-v_{BE}/c}}},\,v_{AE}=c{\frac {k_{AE}^{2}-1}{k_{AE}^{2}+1}}}$$ $${\displaystyle v_{AE}={\frac {v_{AB}+v_{BE}}{1+v_{AB}v_{BE}/c^{2}}}.}$$

前述のレーダー法を使用して、慣性観測者アリスは、時刻 にレーダーパルスを送信し、時刻 にそのエコーを受信することで、イベントに座標を割り当てます(アリスの時計で測定)。 ${\displaystyle (t_{A},x_{A})}$${\displaystyle t_{A}-x_{A}/c}$${\displaystyle t_{A}+x_{A}/c}$

同様に、慣性観測者ボブは、自分の時計で測定して、時間にレーダーパルスを送信し、そのエコーを時間に受信することで、同じイベントに座標を割り当てることができます。ただし、図に示すように、ボブは独自のレーダー信号を生成する必要はなく、代わりにアリスの信号からタイミングを取得すればよいだけです。 ${\displaystyle (t_{B},x_{B})}$${\displaystyle t_{B}-x_{B}/c}$${\displaystyle t_{B}+x_{B}/c}$

さて、アリスからボブに伝わる信号に k計算法を適用すると、$${\displaystyle k={\frac {t_{B}-x_{B}/c}{t_{A}-x_{A}/c}}.}$$

同様に、ボブからアリスに伝わる信号に k計算法を適用すると、$${\displaystyle k={\frac {t_{A}+x_{A}/c}{t_{B}+x_{B}/c}}.}$$

の2つの式を等しくして整理すると、^{[4] : 118}${\displaystyle k}$ $${\displaystyle c^{2}t_{A}^{2}-x_{A}^{2}=c^{2}t_{B}^{2}-x_{B}^{2}.}$$

これにより、量が不変であることが証明されます。つまり、任意の慣性座標系で同じ値を取り、不変区間として知られています。 ${\displaystyle c^{2}t^{2}-x^{2}}$

前のセクションの2つの方程式は、同時方程式として解くことができ、次の式が得られます。^{[4] : 118  [2] : 67}${\displaystyle k}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}ct_{B}&={\tfrac {1}{2}}(k+k^{-1})ct_{A}-{\tfrac {1}{2}}(k-k^{-1})x_{A}\\x_{B}&={\tfrac {1}{2}}(k+k^{-1})x_{A}-{\tfrac {1}{2}}(k-k^{-1})ct_{A}\end{aligned}}}$$

これらの式は、速度ではなく ボンダイk因子で表現されたローレンツ変換である。代入することで、 より伝統的な形式 が得られる。^{[4] ：118  [2] ：67}$${\displaystyle k={\sqrt {\frac {1+v/c}{1-v/c}}},}$$$${\displaystyle t_{B}={\frac {t_{A}-vx_{A}/c^{2}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}};\,x_{B}={\frac {x_{A}-vt_{A}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}}$$

ラピディティは k係数から次のように定義できる^{[2] :71} 。 ${\displaystyle \varphi }$ $${\displaystyle \varphi =\log _{e}k,\,k=e^{\varphi },}$$$${\displaystyle v=c{\frac {k-k^{-1}}{k+k^{-1}}}=c\tanh \varphi .}$$

ローレンツ変換の k因子バージョンは$${\displaystyle {\begin{aligned}ct_{B}&=ct_{A}\cosh \varphi -x_{A}\sinh \varphi \\x_{B}&=x_{A}\cosh \varphi -ct_{A}\sinh \varphi \end{aligned}}}$$

、の合成規則から、ラピディティの合成規則は加算であることが分かる：[ ^{2] ：71}${\displaystyle k}$${\displaystyle k_{AE}=k_{AB}k_{BE}}$ $${\displaystyle \varphi _{AE}=\varphi _{AB}+\varphi _{BE}.}$$

• Bondi k-Calculus のレビュー