単位双曲線

幾何学において、単位双曲線は点の集合である。${\displaystyle (x,y)}$デカルト座標平面において、以下の陰関数方程式を満たす${\displaystyle x^{2}-y^{2}=1}$不定直交群の研究において、単位双曲線は代替的な半径長の基礎を形成する。${\displaystyle \textstyle r={\sqrt {x^{2}-y^{2}}}}$。

単位円はその中心を囲むが、単位双曲線は共役双曲線を必要とする$\displaystyle y^{2}-x^{2}=1}$平面上でそれを補完するため。この双曲線のペアは漸近線y = x と y = − xを共有します。単位双曲線の共役が使用されている場合、代替の半径長は${\displaystyle \textstyle r={\sqrt {y^{2}-x^{2}}}.}$

単位双曲線は、特定の向き、位置、およびスケールを持つ直角双曲線の特殊なケースです。そのため、その離心率は次のようになります。${\displaystyle \textstyle {\sqrt {2}}.}$^{[ 1 ]}

単位双曲線は、解析幾何学の目的で円を双曲線に置き換える必要がある場面で応用されます。その代表的な例は、時空を擬ユークリッド空間として表現する場合です。この場合、単位双曲線の漸近線は光円錐を形成します。さらに、グレゴワール・ド・サン＝ヴァンサンによる双曲線扇形の面積への着目は、対数関数と、扇形面積による双曲線の現代的なパラメーター表示につながりました。共役双曲線と双曲線角の概念が理解されれば、単位円を中心とする古典的な複素数を、単位双曲線を中心とする数に置き換えることができます。

一般的に、曲線の漸近線は曲線に収束すると言われています。代数幾何学と代数曲線の理論では、漸近線に対する異なるアプローチがあります。まず、曲線は同次座標を使用して射影平面で解釈されます。次に、漸近線は無限遠点で射影曲線に接する線であり、距離の概念や収束の必要性を回避します。共通の枠組みでは、( x, y, z ) は同次座標であり、無限遠の線は方程式z = 0 によって決定されます。たとえば、CG Gibson は次のように書いています。^{[ 2 ]}

標準的な直角双曲線の場合${\displaystyle f=x^{2}-y^{2}-1}$で$\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$対応する射影曲線は${\displaystyle F=x^{2}-y^{2}-z^{2},}$これは、点P = (1 : 1 : 0) と点Q = (1 : − 1 : 0)でz = 0 と交わります。PとQはどちらもF上で単純であり、接線は x + y = 0、x − y = 0 です。したがって、初等幾何学でおなじみの「漸近線」が得られます。    

ミンコフスキー図、または時空図は、空間的な側面が一次元に限定された時空平面上に描かれます。時空図は、時間の遅れなどの現象の根底にある幾何学を示します。このような平面上の距離と時間の単位は次のとおりです。

• 長さ30センチメートル、ナノ秒の単位、または
• 天文単位および8分20秒の間隔、または
• 光年と年。

これらの座標スケールのそれぞれは、傾きがプラスマイナス 1の対角線に沿ったイベントの光子接続をもたらします。ヘルマン ミンコフスキーが相対性変換を記述するために使用した図は、5 つの要素で構成されています。単位双曲線、その共役双曲線、双曲線の軸、単位双曲線の直径、および共役直径です。軸のある平面は、静止した参照系を指します。単位双曲線の直径は、ラピディティaで運動する参照系を表します。ここでtanh a = y / xであり、( x、y ) は単位双曲線上の直径の端点です。共役直径は、ラピディティaに対応する同時性の空間超平面を表します。この文脈では、単位双曲線は較正双曲線です^{[ 3 ] [ 4 ]} 相対性理論の研究では、通常、垂直軸を持つ双曲線が主として扱われます。

時間の矢印は図の下から上に向かって伸びている。これはリチャード・ファインマンが有名な図で採用した慣例である。空間は時間軸に垂直な平面で表されている。現在地は中央の特異点である。^{[ 5 ]}

縦軸の時間軸の表記法は、1908年のミンコフスキーに由来し、エディントンの『物理世界の性質』（1928年）の48ページにも図示されている。

単位双曲線を直接パラメータ化する方法は、指数関数でパラメータ化された双曲線xy = 1から始める。${\displaystyle (e^{t},e^{-t}).}$

この双曲線は、行列を持つ線形写像によって単位双曲線に変換される。${\displaystyle A={\tfrac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}}\$ :}

${\displaystyle (e^{t},e^{-t})\ A=\left({\frac {e^{t}+e^{-t}}{2}},{\frac {e^{t}-e^{-t}}{2}}\right)=(\cosh t,\sinh t).}$

このパラメータtは双曲線角であり、双曲線関数の引数です。

パラメーター化された単位双曲線の初期の表現は、W・K・クリフォードの『力学の基礎』（1878年）に見られる。彼は双曲線における準調和運動を次のように説明している。

動き${\displaystyle \rho =\alpha \cosh(nt+\epsilon )+\beta \sinh(nt+\epsilon )}$楕円調和運動と興味深い類似点がある。...加速度${\displaystyle {\ddot {\rho }}=n^{2}\rho \$ ;} したがって、それは常に中心からの距離に比例し、楕円調和運動と同様ですが、中心から離れる方向になります。 ^{[ 6 ]}

双曲線は、特定の円錐曲線として、円錐曲線上の点の加算によってパラメータ化することができる。ロシアのアナリストは次のように説明した。

円錐曲線上に点Eを固定します。点Eを通りABに平行な直線が円錐曲線と2度目に交わる点を、点Aと点Bの合計とします。

双曲線の場合${\displaystyle x^{2}-y^{2}=1}$固定点E = (1,0) で、点の合計${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$そして${\displaystyle (x_{2},\ y_{2})}$要点は${\displaystyle (x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2},y_{1}x_{2}+y_{2}x_{1})}$パラメータ化の下で${\displaystyle x=\cosh \ t}$そして${\displaystyle y=\sinh \ t}$この追加は、パラメータtの追加に対応します。^{[ 7 ]}

単位円は複素数に関連付けられているのに対し、単位双曲線は、 z = x + yj (ただしj ² = +1)からなる分割複素数平面の鍵となる。この場合、jz = y + xjとなるため、平面に対するjの作用は座標の交換となる。具体的には、この作用は単位双曲線とその共役双曲線を交換し、双曲線の共役直径のペアも交換する。

双曲線角パラメータaに関して、単位双曲線は点から構成される。

${\displaystyle \pm (\cosh a+j\sinh a)}$ここで、j = (0,1)である。

単位双曲線の右側の枝は正の係数に対応します。実際、この枝はj軸に作用する指数写像の像です。したがって、この枝は次の曲線です。${\displaystyle f(a)=\exp(aj).}$点aにおける曲線の傾きは導関数によって与えられる。

${\displaystyle f^{\prime }(a)=\sinh a+j\cosh a=jf(a).}$任意のaに対して、${\displaystyle f^{\prime }(a}$) は双曲直交である${\displaystyle f(a)}$^{この関係は、i 2} = − 1の場合の exp( a i) と i exp( a i)の垂直性に類似しています。

以来${\displaystyle \exp(aj)\exp(bj)=\exp((a+b)j)}$、その枝は乗法における群です。

円群とは異なり、この単位双曲線群はコンパクトではありません 。通常の複素平面と同様に、対角線上にない点は、単位双曲線のパラメーター表示と代替の半径長を用いて極分解されます。

• F. リース・ハーベイ (1990)スピノルと較正、図 4.33、70 ページ、アカデミック・プレス、ISBN 0-12-329650-1。