ローレンツ変換の導出

特殊相対性理論の第二公準、すなわち基準系によらず光速が一定であるという仮定を置き、互いに一定速度で運動する基準系、すなわち慣性系の集合を考えます。各基準系は、時空の点、すなわち事象をラベル付けする独自のデカルト座標系を備えています。光速の不変性を数学的に表現するために、各基準系で記録される時空内の2つの事象を固定します。最初の事象を光信号の放出とし、2番目の事象をその吸収とします。

コレクション内の任意の参照フレームを選択してください。その座標系では、最初のイベントに座標が割り当てられます。${\displaystyle x_{1},y_{1},z_{1},ct_{1}}$、そして2番目${\displaystyle x_{2},y_{2},z_{2},ct_{2}}$放出と吸収の間の空間的距離は${\textstyle {\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}+(z_{2}-z_{1})^{2}}}}$しかし、これは距離でもある${\displaystyle c(t_{2}-t_{1})}$信号によって伝わる。したがって、次の式を立てることができる。

$${\displaystyle c^{2}(t_{2}-t_{1})^{2}-(x_{2}-x_{1})^{2}-(y_{2}-y_{1})^{2}-(z_{2}-z_{1})^{2}=0.}$$

他のすべての座標系は、それぞれの座標系において同じ方程式を記録します。これは光速の不変性の直接的な数学的帰結です。左辺の量は時空間隔と呼ばれます。光信号によって隔てられた事象の場合、この間隔はすべての参照系で同じ（ゼロ）であり、したがって不変量と呼ばれます。

ローレンツ変換が自然界で実現される物理的意味を持つためには、その間隔が光信号で隔てられた事象だけでなく、任意の2つの事象に対して不変量であることが不可欠です。これを確立するために、無限小の間隔^{[ 4 ]}を考えます。

$${\displaystyle ds^{2}=c^{2}dt^{2}-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2},}$$

システムに記録されている${\displaystyle K}$。 させて${\displaystyle K'}$間隔を割り当てる別のシステム$ds'^2$同じ2つの無限に離れたイベントに対して。$ds²=0$すると、他のどのシステムでも区間はゼロになる（第2公準）ので、$ds²$そして$ds'^2$同じオーダーの無限小であるためには、互いに比例していなければならない。 $${\displaystyle ds^{2}=ads'^{2}.}$$

何が起こりうるか${\displaystyle a}$依存するのか？時空における2つの事象の位置には依存しないかもしれない。なぜなら、それは仮定された時空の均一性に反するからである。相対速度には依存するかもしれない。${\displaystyle V'}$間${\displaystyle K}$そして${\displaystyle K'}$ただし、速度のみで方向は対象外です。なぜなら、方向は空間の等方性を損なうからです。

次にシステムを導入します${\displaystyle K_{1}}$そして$\displaystyle K_{2}}$、 $${\displaystyle ds^{2}=a(V_{1})ds_{1}^{2},\quad ds^{2}=a(V_{2})ds_{2}^{2},\quad ds_{1}^{2}=a(V_{12})ds_{2}^{2}.}$$ これらから、 $${\displaystyle {\frac {a(V_{2})}{a(V_{1})}}=a(V_{12}).}$$

さて、右側では${\displaystyle V_{12}}$両方に依存する${\displaystyle V_{1}}$そして${\displaystyle V_{2}}$;ベクトル間の角度についても${\displaystyle {\textbf {V}}_{1}}$そして${\displaystyle {\textbf {V}}_{2}}$しかし、左辺はこの角度に依存しないことも観察される。したがって、この方程式が成り立つ唯一の方法は、関数が${\displaystyle a(V)}$は定数です。さらに、同じ式により、この定数は1です。したがって、 $${\displaystyle ds^{2}=ds'^{2}}$$ すべてのシステム向け${\displaystyle K'}$これはすべての無限小区間に対して成り立つので、すべての区間に対して成り立つ。

ローレンツ変換の導出のほとんどすべて、あるいはすべてが、このことを当然のこととして前提としている。これらの導出では、光速の一定性（光のような分離事象の不変性）のみを使用している。この結果は、ローレンツ変換が正しい変換であることを保証する。

ds ²とds ′ ²の比例関係に関する厳密な記述と証明

定理:${\displaystyle n,p\geq 1}$整数である、${\displaystyle d:=n+p}$そして${\displaystyle V}$上のベクトル空間${\displaystyle \mathbb {R} }$寸法​${\displaystyle d}$。 させて${\displaystyle h}$不定内積となる${\displaystyle V}$署名タイプ付き${\displaystyle (n,p)}$。 仮定する${\displaystyle g}$は対称双線形形式である${\displaystyle V}$関連する二次形式の零集合は${\displaystyle h}$は、${\displaystyle g}$（つまり、すべての${\displaystyle v\in V}$、 もし${\displaystyle h(v,v)=0}$それから${\displaystyle g(v,v)=0}$)すると定数が存在する${\displaystyle C\in \mathbb {R} }$そのため${\displaystyle g=Ch}$さらに、${\displaystyle n\neq p}$そしてそれは${\displaystyle g}$署名タイプもあります${\displaystyle (n,p)}$すると、${\displaystyle C>0}$。

備考。

• 上記のセクションでは、「無限小」という用語は、$ds²$は実際には、4 次元実ベクトル空間上の二次形式(すなわち、時空多様体の一点における接空間)を (点ごとに) 指している 。上記の議論は、ランダウとリフシッツの議論からほぼそのままコピーしたもので、比例関係は$ds²$そして$ds'^2$これは単に「明白な」事実として述べられているだけで、数学的に厳密な形で定式化されておらず、証明もされていません。これは自明ではない数学的事実であり、正当化する必要があります。幸いなことに、証明は比較的簡単で、基本的な代数的観察と操作で済みます。
• 上記の仮定は${\displaystyle h}$とは、以下のことを意味します。${\displaystyle h:V\times V\to \mathbb {R} }$は対称かつ非退化な双線形形式であり、順序付けられた基底が存在する。${\displaystyle \{v_{1},\dots ,v_{n},v_{n+1},\dots ,v_{d}\}}$の${\displaystyle V}$そのために$${\displaystyle h(v_{a},v_{b})={\begin{cases}-1&{\text{if }}a=b,{\text{where }}a,b\in \{1,\dots ,n\}\\1&{\text{if }}a=b,{\text{where }}a,b\in \{n+1,\dots ,d\}\\0&{\text{ otherwise}}\end{cases}}}$$これと同等の言い方をすると、${\displaystyle h}$行列表現を持つ${\displaystyle {\begin{pmatrix}-I_{n}&0\\0&I_{p}\end{pmatrix}}}$順序付けられた基底に関して${\displaystyle \{v_{1},\dots ,v_{d}\}}$。
• 特別な場合を考えると、${\displaystyle n=1,p=3}$すると、相対性理論の基礎となる4次元のローレンツ符号の状況を扱うことになります（あるいは、全体的にマイナス符号を採用するという逆の慣例に従うこともできますが、これは明らかに定理の真偽には影響しません）。また、この場合、仮定すると${\displaystyle g}$そして${\displaystyle h}$どちらも同じ零集合を持つ二次形式を持ちます（物理学の用語では、${\displaystyle g}$そして${\displaystyle h}$同じ光円錐を生み出す）ならば、定理によれば定数が存在する。${\displaystyle C>0}$そのため${\displaystyle g=Ch}$表記法に若干の違いはあるものの、これはまさに上記のセクションで使用されたものと同じです。

定理の証明（添え字表記）

便宜上、この証明ではギリシャのインデックスが次のように定義されることに同意しましょう。${\displaystyle \alpha ,\beta }$範囲${\displaystyle \{1,\dots ,n\}}$ラテン語のインデックスは${\displaystyle i,j}$範囲${\displaystyle \{n+1,\dots ,p\}}$また、本稿では全体を通してアインシュタインの総和規約を用いる。

基礎を固定する${\displaystyle \{v_{1},\dots ,v_{d}\}}$の${\displaystyle V}$どれに関してか${\displaystyle h}$行列表現を持つ${\displaystyle [h]={\begin{pmatrix}-I_{n}&0\\0&I_{p}\end{pmatrix}}}$また、それぞれについて${\displaystyle x=(x^{1},\dots ,x^{n})\in \mathbb {R} ^{n}}$そして$\displaystyle y=(y^{n+1}\dots ,y^{n+p})\in \mathbb {R} ^{p}}$単位ユークリッドノルムを持つベクトルを考える${\displaystyle w=x^{\alpha }v_{\alpha }+y^{i}v_{i}\in V}$すると、双線形性により、${\displaystyle h(w,w)=-\lVert x\rVert ^{2}+\lVert y\rVert ^{2}=-1+1=0}$したがって、我々の仮定により、${\displaystyle g(w,w)=0}$同様に、双線形性と対称性を使用して${\displaystyle g}$これは、

$${\displaystyle g_{\alpha \beta }x^{\alpha }x^{\beta }+2g_{\alpha i}x^{\alpha }y^{i}+g_{ij}y^{i}y^{j}=0.}$$ これはすべてに当てはまるので${\displaystyle x,y}$単位ノルムの場合、${\displaystyle y}$と${\displaystyle -y}$取得するため $${\displaystyle g_{\alpha \beta }x^{\alpha }x^{\beta }-2g_{\alpha i}x^{\alpha }y^{i}+g_{ij}y^{i}y^{j}=0.}$$ ここで、これら2つの式を引いて4で割ると、すべての${\displaystyle x,y}$単位ノルムの、 $${\displaystyle g_{\alpha i}x^{\alpha }y^{i}=0.}$$ つまり、選択することで${\displaystyle x=e_{\alpha }\in \mathbb {R} ^{n}}$そして${\displaystyle y=e_{i}\in \mathbb {R} ^{p}}$（つまり、指定されたインデックスが 1 で、それ以外の場所が 0 の場合）次のことがわかります。${\displaystyle g_{\alpha i}=0}$その結果、最初の式は次のように簡略化されます。 $${\displaystyle g_{\alpha \beta }x^{\alpha }x^{\beta }=-g_{ij}y^{i}y^{j}.}$$ これはまたしても全ての人に当てはまる${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$そして${\displaystyle y\in \mathbb {R} ^{p}}$単位ノルムの。結果として、すべての非対角項が消滅する。より詳細には、${\displaystyle \alpha ,\beta \in \{1,\dots ,n\}}$これらは異なるインデックスです。${\textstyle x_{\pm }={\frac {1}{\sqrt {2}}}(e_{\alpha }\pm e_{\beta })}$すると、等式の右辺は${\displaystyle x}$我々は、${\displaystyle g_{\alpha \beta }=-g_{\alpha \beta }}$そしてそれゆえに${\displaystyle g_{\alpha \beta }=0}$ほぼ同じ議論により、もし${\displaystyle i,j\in \{n+1,\dots ,n+p\}}$異なるインデックスである場合${\displaystyle g_{ij}=0}$。

最後に、${\displaystyle x}$範囲${\displaystyle e_{1},\dots ,e_{n}\in \mathbb {R} ^{n}}$そして、${\displaystyle y}$範囲${\displaystyle e_{1},\dots ,e_{p}\in \mathbb {R} ^{p}}$我々は、 $${\displaystyle -g_{11}=\dots =-g_{nn}=g_{n+1,n+1}=\dots =g_{n+p,n+p}}$$、

言い換えれば、${\displaystyle g}$行列表現を持つ${\displaystyle [g]=-g_{11}\cdot {\begin{pmatrix}-I_{n}&0\\0&I_{p}\end{pmatrix}}}$これは、${\displaystyle g=-g_{11}\cdot h}$したがって、定理で主張されている比例定数は${\displaystyle C=-g_{11}}$最後に、${\displaystyle g,h}$どちらも署名タイプを持っています${\displaystyle (n,p)}$そして${\displaystyle n\neq p}$それから${\displaystyle C:=-g_{11}>0}$（私たちは${\displaystyle C=0}$それはつまり${\displaystyle g=0}$これは、署名タイプが${\displaystyle (n,p)}$これは、非ゼロの双線形形式であることを意味します。また、${\displaystyle C<0}$つまり、${\displaystyle g}$もっている${\displaystyle n}$正の対角線エントリと${\displaystyle p}$負の対角成分。つまり、符号が${\displaystyle (p,n)\neq (n,p)}$我々は想定していたので${\displaystyle n\neq p}$なので、これも不可能です。残るのは${\displaystyle C>0}$（唯一の選択肢として）。これで定理の証明は完了です。

定理の証明（概念的）

基礎を固定する${\displaystyle \{v_{1},\dots ,v_{d}\}}$の${\displaystyle V}$どれに関してか${\displaystyle h}$行列表現を持つ${\displaystyle [h]={\begin{pmatrix}-I_{n}&0\\0&I_{p}\end{pmatrix}}}$要点は、ベクトル空間が${\displaystyle V}$部分空間に分解できる${\displaystyle V^{-}}$（最初の期間）${\displaystyle n}$基底ベクトル）および${\displaystyle V^{+}}$（そしてもう一方のスパン）${\displaystyle p}$基底ベクトル）各ベクトルが${\displaystyle V}$一意に記述できる${\displaystyle v+w}$のために${\displaystyle v\in V^{-}}$そして${\displaystyle w\in V^{+}}$; さらに${\displaystyle h(v,v)\leq 0}$、${\displaystyle h(w,w)\geq 0}$そして${\displaystyle h(v,w)=0}$（双線形性により）

$${\displaystyle h(v+w,v+w)=h(v,v)+h(w,w)}$$ 右辺の最初の項は非正であり、2番目の項は非負であるため、任意の ${\displaystyle v\in V^{-}}$ そして${\displaystyle w\in V^{+}}$スカラーを見つけることができる${\displaystyle \alpha }$そのため${\displaystyle h(v+\alpha w,v+\alpha w)=0}$。

今後は常に、${\displaystyle v\in V^{-}}$ そして${\displaystyle w\in V^{+}}$双線形性によって $${\displaystyle {\begin{aligned}g(v+w,v+w)&=g(v,v)+g(w,w)+2g(v,w)\\g(v-w,v-w)&=g(v,v)+g(w,w)-2g(v,w)\end{aligned}}}$$

もし${\displaystyle h(v+w,v+w)=0}$そしてまた${\displaystyle h(v-w,v-w)=0}$そして、それは${\displaystyle g}$（空集合は${\displaystyle h}$は、${\displaystyle g}$この場合、上記の2つの式を引いて（4で割って）

$${\displaystyle 0=g(v,w)}$$

上記のように、各${\displaystyle v\in V^{-}}$ そして${\displaystyle w\in V^{+}}$スカラーが存在する${\displaystyle \alpha }$そのため${\displaystyle h(v+\alpha w,v+\alpha w)=0}$、 それで${\displaystyle g(v,\alpha w)=0}$双線形性によって、${\displaystyle g(v,w)=0}$。

次に、非ゼロを考えます${\displaystyle v,v'\in V^{-}}$そのため${\displaystyle h(v,v)=h(v',v')}$見つけることができる${\displaystyle w\in V^{+}}$そのため${\displaystyle 0=h(v+w,v+w)=h(v,v)+h(w,w)=h(v'+w,v'+w)}$上記の表現により、 $${\displaystyle g(v,v)=-g(w,w)=g(v',v')}$$ 同様に、${\displaystyle w,w'\in V^{+}}$、もし${\displaystyle h(w,w)=h(w',w')}$そしてまた ${\displaystyle g(w,w)=g(w',w')}$。したがって、これはすべてのベクトルに対して成り立ちます。${\displaystyle V}$。

のために${\displaystyle u,u'\in V}$、 もし${\displaystyle g(u,u)=Ch(u,u)\neq 0}$、${\displaystyle g(u',u')=C'h(u',u')\neq 0}$一部の人にとって${\displaystyle C,C'\in \mathbb {R} }$必要に応じてスケーリングして、${\displaystyle h(u,u)=h(u',u')}$これは、上記から次のことを意味する。${\displaystyle C=C'}$。 それで${\displaystyle g=Ch}$。

最後に、${\displaystyle g,h}$どちらも署名タイプを持っています${\displaystyle (n,p)}$そして${\displaystyle n\neq p}$それから${\displaystyle C>0}$（私たちは${\displaystyle C=0}$それはつまり${\displaystyle g=0}$これは、署名タイプが${\displaystyle (n,p)}$これは、非ゼロの双線形形式であることを意味します。また、${\displaystyle C<0}$つまり、${\displaystyle g}$もっている${\displaystyle n}$正の対角線エントリと${\displaystyle p}$負の対角成分。つまり、符号が${\displaystyle (p,n)\neq (n,p)}$我々は想定していたので${\displaystyle n\neq p}$なので、これも不可能です。残るのは${\displaystyle C>0}$（唯一の選択肢として）。これで定理の証明は完了です。

定理の証明（概念的および分解的）

シルベスターの慣性の法則により、基礎を固定することができる。${\displaystyle \{v_{1},\dots ,v_{d}\}}$の${\displaystyle V}$どれに関してか${\displaystyle h}$行列表現を持つ${\displaystyle [h]={\begin{pmatrix}-I_{n}&0\\0&I_{p}\end{pmatrix}}}$要点は、ベクトル空間が${\displaystyle V}$部分空間に分解できる${\displaystyle V^{-}}$（最初の期間）${\displaystyle n}$基底ベクトル）および${\displaystyle V^{+}}$（そしてもう一方のスパン）${\displaystyle p}$基底ベクトル）各ベクトルが${\displaystyle V}$一意に記述できる${\displaystyle v+w}$のために${\displaystyle v\in V^{-}}$そして${\displaystyle w\in V^{+}}$; さらに${\displaystyle h(v,v)\leq 0}$、${\displaystyle h(w,w)\geq 0}$そして${\displaystyle h(v,w)=0}$私たちは書きます${\displaystyle h(u)}$のために${\displaystyle h(u,u)}$今後。

補題：定数が存在する${\displaystyle C\in \mathbb {R} }$任意の${\displaystyle v\in V^{-}}$そして${\displaystyle w\in V^{+}}$、

（a）${\displaystyle g(v,w)=0}$

（b）${\displaystyle g(u)=Ch(u)}$、 どこ${\displaystyle u=v+w}$

補題の証明

1. a =${\displaystyle {\sqrt {-h(v)}},b={\sqrt {h(w)}}}$双線形性により：
2. ${\displaystyle h(bv+aw)=h(bv)+h(aw)=b^{2}h(v)+a^{2}h(w)=0}$
3. ${\displaystyle h(bv-aw)=h(bv)+h(-aw)=b^{2}h(v)+a^{2}h(w)=0}$空集合は${\displaystyle h}$は、${\displaystyle g}$:
4. ${\displaystyle 0=g(bv+aw)=b^{2}g(v)+2bag(v,w)+a^{2}g(w)}$
5. ${\displaystyle 0=g(bv-aw)=b^{2}g(v)-2bag(v,w)+a^{2}g(w)}$4と5を足したり引いたりすると、6と7になります。
6. ${\displaystyle g(bv,aw)=0}$
7. ${\displaystyle b^{2}g(v)+a^{2}g(w)=0}$6時までに、${\displaystyle g(v,w)=0}$証明(a) 7と2より、${\displaystyle b^{2}g(v)=-a^{2}g(w)}$そして${\displaystyle b^{2}h(v)=-a^{2}h(w)}$
8. それで${\displaystyle {\frac {g(v)}{h(v)}}={\frac {g(w)}{h(w)}}}$。

保つ${\displaystyle v}$固定値と変動値${\displaystyle w}$この比率は依存せず、${\displaystyle w}$同様に、それは${\displaystyle v}$。

この比率を${\displaystyle C}$。、 我々は持っています${\displaystyle g(u)=g(v)+g(w)=Ch(v)+Ch(w)=Ch(u)}$ここで、最初の式は（a）から導かれる。これは（b）を証明する。${\displaystyle \quad \square }$

すべての人にとって${\displaystyle u,u'\in V}$、 我々は持っています ${\displaystyle g(u,u')={\frac {g(u+u')-g(u-u')}{4}}={\frac {Ch(u+u')-Ch(u-u')}{4}}=Ch(u,u')}$ここで、最初の式と最後の式は双線形性から導かれ、真ん中の式は補題(b)から導かれる。

それで${\displaystyle g=Ch.\quad \square }$

These three hyperbolic function formulae (H1–H3) are referenced below:

1. ${\displaystyle \cosh ^{2}\Psi -\sinh ^{2}\Psi =1,}$
2. ${\displaystyle \sinh \Psi ={\frac {\tanh \Psi }{\sqrt {1-\tanh ^{2}\Psi }}},}$
3. ${\displaystyle \cosh \Psi ={\frac {1}{\sqrt {1-\tanh ^{2}\Psi }}},}$

The problem posed in standard configuration for a boost in the x-direction, where the primed coordinates refer to the moving system is solved by finding a linear solution to the simpler problem

$${\displaystyle (ct)^{2}-x^{2}=(ct')^{2}-x'^{2}.}$$

The most general solution is, as can be verified by direct substitution using (H1),^[4]

To find the role of Ψ in the physical setting, record the progression of the origin of F′, i.e. x′ = 0, x = vt. The equations become (using first x′ = 0),

$${\displaystyle x=ct'\sinh \Psi ,\quad ct=ct'\cosh \Psi .}$$

Now divide:

$${\displaystyle {\frac {x}{ct}}=\tanh \Psi ={\frac {v}{c}}\Rightarrow \quad \sinh \Psi ={\frac {\frac {v}{c}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}},\quad \cosh \Psi ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}},}$$

where x = vt was used in the first step, (H2) and (H3) in the second, which, when plugged back in (1), gives

$${\displaystyle x={\frac {x'+vt'}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}},\quad t={\frac {t'+{\frac {v}{c^{2}}}x'}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}},}$$

or, with the usual abbreviations,

This calculation is repeated with more detail in section hyperbolic rotation.

The Lorentz transformations can also be derived by simple application of the special relativity postulates and using hyperbolic identities.^[8]

Relativity postulates

原点を中心とする光パルスの球面波面の式から始めよう。

$${\displaystyle (ct)^{2}-(x^{2}+y^{2}+z^{2})=(ct')^{2}-(x'^{2}+y'^{2}+z'^{2})=0}$$

特殊相対性理論の公準により、両方のフレームで同じ形式をとります。次に、上記の標準構成で各フレームのx軸に沿った相対運動を考えます。つまり、y = y ′、z = z ′ となり、これは次のように簡略化されます。

$${\displaystyle (ct)^{2}-x^{2}=(ct')^{2}-x'^{2}}$$

線形性

ここで、変換が線形形式をとると仮定します。

$${\displaystyle {\begin{aligned}x'&=Ax+Bct\\ct'&=Cx+Dct\end{aligned}}}$$

ここで、 A、B、C、Dが求められます。もしそれらが非線形であれば、あるフレームでは速度が一定であっても、別のフレームでは仮想的な力（したがって加速度）が発生するため、すべての観測者に対して同じ形式をとることはなく、これは慣性系変換と矛盾します。^{[ 9 ]}

前の結果に代入すると：

$${\displaystyle (ct)^{2}-x^{2}=[(Cx)^{2}+(Dct)^{2}+2CDcxt]-[(Ax)^{2}+(Bct)^{2}+2ABcxt]}$$

そして、 x ²、t ²、xtの係数を比較します。

$${\displaystyle {\begin{aligned}-1=C^{2}-A^{2}&\Rightarrow &A^{2}-C^{2}=1\\c^{2}=(Dc)^{2}-(Bc)^{2}&\Rightarrow &D^{2}-B^{2}=1\\2CDc-2ABc=0&\Rightarrow &AB=CD\end{aligned}}}$$

双曲線回転

これらの方程式は双曲恒等式を示唆している${\displaystyle \cosh ^{2}\phi -\sinh ^{2}\phi =1.}$

双曲線角としてラピディティパラメータϕを導入することで、一貫した識別が可能になります。

$${\displaystyle A=D=\cosh \phi \,,\quad C=B=-\sinh \phi }$$

ここで、平方根の後の符号は、 xとtがそれぞれ増加するとx 'とt'も増加するように選択されています。双曲線変換は以下について解かれています。

$${\displaystyle {\begin{aligned}x'&=x\cosh \phi -ct\sinh \phi \\ct'&=-x\sinh \phi +ct\cosh \phi \end{aligned}}}$$

符号が異なるように選択された場合、位置座標と時間座標は、xとtが減少するのではなく増加するように、−xおよび/または−tに置き換えられる必要がある。

ϕが相対速度とどのように関係するかを調べるために、標準構成から、プライム付きフレームの原点x ′=0は、プライムなしフレームではx = vtと測定されます（または、同等かつ逆の順序で、プライムなしフレームの原点はx =0であり、プライム付きフレームではx ′=− vtです）。

$${\displaystyle 0=vt\cosh \phi -ct\sinh \phi \,\Rightarrow \,\tanh \phi ={\frac {v}{c}}=\beta }$$

双曲恒等式${\displaystyle \sinh \Psi ={\frac {\tanh \Psi }{\sqrt {1-\tanh ^{2}\Psi }}},\,\cosh \Psi ={\frac {1}{\sqrt {1-\tanh ^{2}\Psi }}}}$β、γ、およびϕ間の関係につながる。

$${\displaystyle \cosh \phi =\gamma ,\,\quad \sinh \phi =\beta \gamma \,.}$$

1960年代から1970年代にかけての一連の研究成果、中でもADアレクサンドロフの研究は、ローレンツ変換が光速の不変性よりもさらに根本的な、時空の定性的な性質から導き出せることを示した。

AD アレクサンドロフのクロノジオメトリ (1950-1976): 1949 年に始まり、20 年かけて完全に発展した AD アレクサンドロフは、この分野で最も一般的な結果を確立しました。彼が「クロノジオメトリ」（時間の幾何学）と名付けた彼のアプローチは、イベントの因果順序から始まります。彼は、「後」の関係を保存するすべての変換の集合を考察しました (つまり、イベント A がイベント B に影響を与えることができる場合、変換されたイベント f(A) は f(B) に影響を与えることができます)。アレクサンドロフの画期的な貢献は、因果順序、またはより強くは光円錐の族を保存するミンコフスキー空間 (またはその領域) からそれ自身への任意の 1 対 1 写像は、膨張と合成されたローレンツ変換でなければならないことを証明したことです。^{[ 10 ] [ 11 ]}彼の研究は、時空の共形変換 (反転を含む) を唯一の局所因果自己同型として分類したことでも特に注目に値します。

EC ゼーマンの因果律 (1964): 1964 年の論文で、エリック・クリストファー・ゼーマンは、関連するものの、より一般的ではない結果を独自に示した。彼は、因果関係を保存するミンコフスキー空間の任意の自己同型写像​​ (それ自身への 1 対 1 写像) (数学的な意味での光速の不変性よりも弱い条件) は、必然的にローレンツ群の要素であり、平行移動と拡大縮小を伴うことを示した。^{[ 12 ]}ゼーマンの定理は非常に影響力があるものの、写像が空間全体で定義されていることを前提としており、アレクサンドロフの後の研究は、結果を領域の局所的な写像に拡張した。

これらの定理から導き出される結論は極めて重要である。すなわち、どの事象が他の事象に影響を与えるかという単純な定義に基づく時空の因果構造は、時空の幾何学がミンコフスキー的であり、その対称性がローレンツ変換であることを一意に決定するのに十分である。これは、特殊相対性理論の論理構造において、因果律が光速不変の原理よりも根本的な公理として位置づけられることを意味する。

変換方程式は、時間の膨張と長さの収縮から導出でき、これらはさらに第一原理から導出できます。OとO ′がフレームFとF ′の空間原点を表し、Mがあるイベントである場合、両方のフレームにおける位置ベクトル (ここでは方向付けられたセグメントOM、OO ′およびO ′ Mに縮小されます) 間の関係は次のように与えられます。^{[ 13 ]}

イベント M に対して、フレームFの座標( x , t )とF ′の座標( x ′ , t ′ )を使用すると、フレームFではセグメントはOM = x、 OO ′ = vtおよびO ′ M = x ′ / γとなります( x ′はF ′で測定されたO ′ Mであるため)。 $${\displaystyle x=vt+x'/\gamma .}$$ 同様に、フレームF ′では、セグメントはOM = x / γ ( Fで測定されたxはOM であるため)、OO ′ = vt ′およびO ′ M = x ′です。 $${\displaystyle x/\gamma =vt'+x'.}$$ 最初の式を整理すると、 $${\displaystyle x'=\gamma (x-vt),}$$ これはローレンツ変換の空間部分である。2番目の関係式は次のようになる。 $${\displaystyle x=\gamma (x'+vt'),}$$ これは空間部分の逆数である。2つの空間部分の方程式からx ′を消去すると、

$${\displaystyle t'=\gamma t+{\frac {\left(1-{\gamma ^{2}}\right)x}{\gamma v}}.}$$

もし${\displaystyle \gamma ^{2}={\frac {1}{1-v^{2}/c^{2}}}}$、簡略化すると次のようになります。

$${\displaystyle t'=\gamma (t-vx/c^{2}),}$$ これは変換の時間部分であり、その逆変換は同様にxを消去することによって求められる。 $${\displaystyle t=\gamma (t'+vx'/c^{2}).}$$

以下はアインシュタインのそれと似ています。^{[ 14 ] [ 15 ]}ガリレオ変換 と同様に、ローレンツ変換は、基準系の相対速度がベクトルとして一定であるため線形です。そうでなければ、慣性力が現れます。これらは慣性基準系またはガリレオ基準系と呼ばれます。相対性理論によれば、ガリレオ基準系はどれも優遇されません。もう1つの条件は、光速が基準系に依存しないこと、実際には光源の速度に依存しないことです。

2つの慣性系OとO ′を考えます。Oは静止しており、O ′はOに対して正のx方向に速度vで移動しているとします。OとO ′の原点は最初は一致しています。光信号は共通の原点から放出され、球面波面として伝播します。球面波面上の点Pを考えます。点Pは、 OとO ′の原点からそれぞれ距離rとr ′の位置にあります。特殊相対性理論の第2公準によれば、光速は両方の系で同じなので、点Pについては次のようになります。 $${\displaystyle {\begin{aligned}r&=ct\\r'&=ct'.\end{aligned}}}$$

座標系Oにおける球の方程式は次のように表される。 $${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}.}$$ 球面波面の場合、 $${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=(ct)^{2}.}$$同様に、フレームO ′ における球の方程式は次のように与えられる。 $${\displaystyle x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}=r'^{2},}$$ したがって、球面波面は以下を満たす。 $${\displaystyle x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}=(ct')^{2}.}$$

原点O ′はx軸に沿って移動します。したがって、 $${\displaystyle {\begin{aligned}y'&=y\\z'&=z.\end{aligned}}}$$

x′はxとtに対して線形に変化しなければならない。したがって、変換は次の形式となる。 $${\displaystyle x'=\gamma x+\sigma t.}$$O ′ x′およびx の原点については、 $${\displaystyle {\begin{aligned}x'&=0\\x&=vt,\end{aligned}}}$$ したがって、すべてのtに対して、 $${\displaystyle 0=\gamma vt+\sigma t}$$ そしてこうして $${\displaystyle \sigma =-\gamma v.}$$ これにより変換が簡素化され、 $${\displaystyle x'=\gamma \left(x-vt\right)}$$ ここでγを決定する必要がある。この時点ではγは必ずしも定数ではないが、v ≪ cの場合に1に減少する必要がある。

逆変換は、 vの符号が反転する点を除いて同じである。 $${\displaystyle x=\gamma \left(x'+vt'\right).}$$

上記の2つの式は、 tとt′の関係を次のように表している。 $${\displaystyle x=\gamma \left[\gamma \left(x-vt\right)+vt'\right]}$$ または $${\displaystyle t'=\gamma t+{\frac {\left(1-{\gamma ^{2}}\right)x}{\gamma v}}.}$$

O ′ フレームの球面波面方程式にx′、y′、z′、t′を代入すると、 $${\displaystyle x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}=(ct')^{2},}$$x、y、z、tを用いた 式を用いると、次の式が得られます。 $${\displaystyle {\gamma ^{2}}\left(x-vt\right)^{2}+y^{2}+z^{2}=c^{2}\left[\gamma t+{\frac {\left(1-{\gamma ^{2}}\right)x}{\gamma v}}\right]^{2}}$$ したがって、 $${\displaystyle \gamma ^{2}x^{2}+\gamma ^{2}v^{2}t^{2}-2\gamma ^{2}vtx+y^{2}+z^{2}=c^{2}{\gamma ^{2}}t^{2}+{\frac {\left(1-{\gamma ^{2}}\right)^{2}c^{2}x^{2}}{{\gamma ^{2}}v^{2}}}+2{\frac {\left(1-{\gamma ^{2}}\right)txc^{2}}{v}}}$$ つまり、 $${\displaystyle \left[{\gamma ^{2}}-{\frac {\left(1-{\gamma ^{2}}\right)^{2}c^{2}}{{\gamma ^{2}}v^{2}}}\right]x^{2}-2{\gamma ^{2}}vtx+y^{2}+z^{2}=\left(c^{2}{\gamma ^{2}}-v^{2}{\gamma ^{2}}\right)t^{2}+2{\frac {\left[1-{\gamma ^{2}}\right]txc^{2}}{v}}}$$ または $${\displaystyle \left[{\gamma ^{2}}-{\frac {\left(1-{\gamma ^{2}}\right)^{2}c^{2}}{{\gamma ^{2}}v^{2}}}\right]x^{2}-\left[2{\gamma ^{2}}v+2{\frac {\left(1-{\gamma ^{2}}\right)c^{2}}{v}}\right]tx+y^{2}+z^{2}=\left[c^{2}{\gamma ^{2}}-v^{2}{\gamma ^{2}}\right]t^{2}}$$

上記の式におけるt ²の係数と、フレームOの球面波面方程式におけるt ²の係数を比較すると、次のようになります。 $${\displaystyle c^{2}{\gamma ^{2}}-v^{2}{\gamma ^{2}}=c^{2}}$$γ の等価な表現は、 x ^{2 の係数を一致させるか、} tx の係数をゼロに 設定する ことによって得られます。整理すると次のようになります。$${\displaystyle {\gamma ^{2}}={\frac {1}{1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$$ または、x軸とx'軸と時間軸が同じ方向を向くように正の根を選択することで、 $${\displaystyle {\gamma }={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}$$これはローレンツ因子 と呼ばれます。これにより、上記の式からローレンツ変換が得られます。それは次のように与えられます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}x'&=\gamma \left(x-vt\right)\\t'&=\gamma \left(t-{\frac {vx}{c^{2}}}\right)\\y'&=y\\z'&=z\end{aligned}}}$$

ローレンツ変換は球面波の形状を不変に保つ唯一の変換ではなく、共形幾何学の文脈では、式を不変に保つ球面波変換のより広いセットが存在する。${\displaystyle \lambda \left(\delta x^{2}+\delta y^{2}+\delta z^{2}-c^{2}\delta t^{2}\right)}$しかし、スケールを変える共形変換は、力学を含む自然界のすべての法則を対称的に記述するために使用することはできませんが、ローレンツ変換（唯一の意味を持つもの）は、${\displaystyle \lambda =1}$）は自然界のすべての法則の対称性を表し、ガリレオ変換に還元される。${\displaystyle v\ll c}$。