リエナール・ヴィーヒェルトポテンシャル

点電荷について考えてみましょう${\displaystyle q}$軌道に沿って所定の動きを示す$\displaystyle \mathbf {r} _{0}(t)$速度とともに${\displaystyle \mathbf {v} (t)=d\mathbf {r} _{0}/dt}$。 させて${\displaystyle \mathbf {r} }$観測点となる${\displaystyle P}$その時${\displaystyle t}$電荷からの半径ベクトル${\displaystyle q}$に${\displaystyle P}$は次のように定義される。${\displaystyle \mathbf {R} (t)=\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}(t)}$そして距離は${\displaystyle R=|\mathbf {R} |}$遅延時間$t_r$電荷と電流の分布の文脈では、 は方程式を解くことによって決定されます。

${\displaystyle t=t_{r}+{\frac {R(t_{r})}{c}}.}$

各値について${\displaystyle t}$この方程式は、必ず1つの根しか持たない。$t_r$条件付き${\displaystyle v=|\mathbf {v} |<c}$上記の陰方程式を解くことにより、遅延時間が得られます。$t_r$関数として${\displaystyle t}$そして${\displaystyle \mathbf {r} }$（そして粒子の軌道に関する詳細）

${\displaystyle t_{r}=t_{r}(\mathbf {r} ,t)}$。

Liénard-Wiechert の可能性${\displaystyle \varphi }$（スカラーポテンシャル場）${\displaystyle \mathbf {A} }$（ベクトルポテンシャル場）は、点電荷源の場合${\displaystyle q}$ポジション$\displaystyle \mathbf {r} _{s}}$速度を上げて移動$\displaystyle \mathbf {v} _{s}}$: ^{[ 4 ]}

${\displaystyle \varphi (\mathbf {r} ,t)=\left\{{\frac {q}{\left(R-{\frac {1}{c}}\mathbf {v} \cdot \mathbf {R} \right)}}\right\}_{t_{r}}}$

そして

${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)=\left\{{\frac {q\mathbf {v} }{c\left(R-{\frac {1}{c}}\mathbf {v} \cdot \mathbf {R} \right)}}\right\}_{t_{r}}}$

添え字は$t_r$時刻における評価量を表す$t_r$つまり、${\displaystyle R-{\frac {1}{c}}\mathbf {v} \cdot \mathbf {R} =R(t_{r})-{\frac {1}{c}}\mathbf {v} (t_{r})\cdot \mathbf {R} (t_{r})}$これらのポテンシャルは共変的に記述することもできます。電磁4元ポテンシャル$\displaystyle A^{\mu }}$で${\displaystyle x^{\mu }=(ct,\mathbf {r} )}$は：^{[ 5 ]}

${\displaystyle A^{\mu }=\left.{\frac {qu^{\mu }}{R_{\nu }u^{\nu }}}\right|_{t_{r}}}$

どこ${\displaystyle u^{\mu }=(\gamma ,\gamma \mathbf {v} /c)}$これはローレンツ因子を持つ粒子の4元速度である。${\displaystyle \gamma =1/(1-v^{2}/c^{2})^{1/2}}$そして${\displaystyle R^{\nu }=[c(tt'),\mathbf {r} -\mathbf {r} ']}$従う${\displaystyle R_{\nu }R^{\nu }=0}$（遅延時間が満たす方程式）

電位の定義を用いると、電場と磁場を直接計算できます。

$${\displaystyle \mathbf {E} =-{\frac {1}{c}}{\dfrac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}-\nabla \varphi }$$そして$${\displaystyle \mathbf {H} =\nabla \times \mathbf {A} }$$

計算は簡単ではなく、いくつかの手順が必要です。電場と磁場は（非共変形式で）次のようになります。^{[ 4 ]}

$${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)=\left\{{\frac {q\left(\mathbf {R} -{\frac {1}{c}}R\mathbf {v} \right)}{\gamma ^{2}\left(R-{\frac {1}{c}}\mathbf {R} \cdot \mathbf {v} \right)^{3}}}+{\frac {q\mathbf {R} \times \left[\left(\mathbf {R} -{\frac {1}{c}}R\mathbf {v} \right)\times {\dot {\mathbf {v} }}\right]}{c^{2}\left(R-{\frac {1}{c}}\mathbf {R} \cdot \mathbf {v} \right)^{3}}}\right\}_{t_{r}}}$$

そして

$${\displaystyle \mathbf {H} (\mathbf {r} ,t)=\left\{{\frac {\mathbf {R} }{R}}\right\}_{t_{r}}\times \mathbf {E} }$$

どこ${\textstyle {\dot {\mathbf {v} }}=\partial \mathbf {v} /\partial t}$電荷の加速${\displaystyle q}$磁場はあらゆる場所で電場と直交する。

第一項は、電荷の速度に依存し、加速度には依存しないため、クーロン的な寄与と関連している。言い換えれば、これは一様に運動する電荷の電位を表している。実際、遠距離では、この電場への寄与は次のように減少する。${\displaystyle 1/R^{2}}$。

第２項は、加速度に応じて、加速電荷による電磁放射と関連しており、電場への寄与は次のように減少する。${\displaystyle 1/R}$遠距離では、クーロン的な寄与が支配的になります。粒子の加速が${\displaystyle {\dot {\mathbf {v} }}}$そしてこれがゼロであれば、電荷は放射しない（電磁波を放出しない）。この項はさらに、電荷の加速度の成分が、電荷を結ぶ線に垂直な方向にあることを要求する。${\displaystyle q}$そしてフィールドの観察者${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)}$この放射項に関連する電場の方向は、電荷が完全に時間遅延した位置（つまり、電荷が加速されたときの位置）に向かいます。

静磁場

の${\displaystyle \mathbf {R} -{\frac {1}{c}}R\mathbf {v} }$電場の第1項の一部は、電荷が一定速度で移動し続ける場合、電場の方向を電荷の瞬間的な位置に向かって更新する。${\displaystyle \mathbf {v} }$この用語は、電荷の電磁場の「静的」部分に関連しています。図では、球の中心で発生し、光速で伝播した事象を観察しています。問題は、粒子の速度が光速に非常に近い場合、粒子はほぼ波面上にあるため、粒子に非常に近い位置にあることから、波面上に強い静電場が生じるということです。伝播球の外側では、電場は初期状態（観察される事象とは無関係）であることに注意してください。速度が光速に非常に近い場合、電場は横断面でほぼ平坦になり、少し「パンケーキ」のような形になり、開口角が${\displaystyle 1/\gamma }$。

導関数を計算するために${\displaystyle \varphi }$そして${\displaystyle \mathbf {A} }$まず遅延時間の導関数を計算すると便利です。定義式の両辺を微分すると（${\displaystyle \mathbf {r_{s}} =\mathbf {r_{s}} (t_{r})}$): $${\displaystyle t_{r}+{\frac {1}{c}}|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |=t}$$ tに関して微分すると、 $${\displaystyle {\frac {dt_{r}}{dt}}+{\frac {1}{c}}{\frac {dt_{r}}{dt}}{\frac {d|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |}{dt_{r}}}=1}$$

$${\displaystyle {\frac {dt_{r}}{dt}}\left(1-{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {R} }{Rc}}\right)=1}$$

$${\displaystyle {\frac {dt_{r}}{dt}}={\frac {1}{\left(1-{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {R} }{Rc}}\right)}}}$$

同様に、${\displaystyle \mathbf {r} }$多変数連鎖律を用いると

$${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}t_{r}+{\frac {1}{c}}{\boldsymbol {\nabla }}|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |=0}$$

$${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}t_{r}+{\frac {1}{c}}\left({\boldsymbol {\nabla }}t_{r}{\frac {d|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |}{dt_{r}}}+{\frac {\mathbf {R} }{R}}\right)=0}$$

$${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}t_{r}=-{\frac {\mathbf {R} }{c\left(R-{\frac {1}{c}}\mathbf {R} \cdot \mathbf {v} \right)}}}$$

したがって、

$${\displaystyle {\frac {d|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |}{dt}}={\frac {dt_{r}}{dt}}{\frac {d|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |}{dt_{r}}}={\frac {-\mathbf {R} \cdot \mathbf {v} }{\left(R-{\frac {1}{c}}\mathbf {R} \cdot \mathbf {v} \right)}}}$$

$${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |={\boldsymbol {\nabla }}t_{r}{\frac {d|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |}{dt_{r}}}+{\frac {\mathbf {R} }{R}}={\frac {\mathbf {R} }{\left(R-{\frac {1}{c}}\mathbf {R} \cdot \mathbf {v} \right)}}.}$$

これらはベクトルポテンシャルの導関数を計算する際に使用でき、結果として得られる式は次のようになる。

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\varphi }{dt}}=&-{\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |^{2}\left(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}\right)^{2}}}{\frac {d}{dt}}\left[(|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s})\right]\\=&-{\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |^{2}\left(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}\right)^{2}}}{\frac {d}{dt}}\left[|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |-(\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} )\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}\right]\\=&-{\frac {qc}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |^{2}\left(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}\right)^{3}}}\left[-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}+{\beta _{s}}^{2}-(\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} )\cdot {\dot {\boldsymbol {\beta }}}_{s}/c\right]\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {A} =&-{\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}c}}{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |^{2}\left(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}\right)^{2}}}{\big (}{\boldsymbol {\nabla }}\left[\left(|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |-(\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} )\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}\right)\right]\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}-\left[\left(|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |-(\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} )\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}\right)\right]{\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}{\big )}\\=&-{\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}c}}{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |^{2}\left(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}\right)^{3}}}\cdot \\&\left[(\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s})-{\beta }_{s}^{2}(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s})-{\beta }_{s}^{2}\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}+\left((\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} )\cdot {\dot {\boldsymbol {\beta }}}_{s}/c\right)(\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s})+{\big (}|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |-(\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} )\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}{\big )}(\mathbf {n} _{s}\cdot {\dot {\boldsymbol {\beta }}}_{s}/c)\right]\\=&{\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}c}}{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |^{2}\left(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}\right)^{3}}}\left[\beta _{s}^{2}-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}-(\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} )\cdot {\dot {\boldsymbol {\beta }}}_{s}/c\right]\end{aligned}}}$$

これらはローレンツゲージが満たされていることを示している。すなわち、${\textstyle {\frac {d\varphi }{dt}}+c^{2}{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {A} =0}$。

同様に計算すると次のようになる。

$${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\varphi =-{\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |^{2}\left(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}\right)^{3}}}\left[\mathbf {n} _{s}\left(1-{\beta _{s}}^{2}+(\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} )\cdot {\dot {\boldsymbol {\beta }}}_{s}/c\right)-{\boldsymbol {\beta }}_{s}(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s})\right]}$$

$${\displaystyle {\frac {d\mathbf {A} }{dt}}={\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |^{2}\left(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}\right)^{3}}}\left[{\boldsymbol {\beta }}_{s}\left(\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}-{\beta _{s}}^{2}+(\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} )\cdot {\dot {\boldsymbol {\beta }}}_{s}/c\right)+|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |{\dot {\boldsymbol {\beta }}}_{s}(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s})/c\right]}$$

任意のベクトルについて、${\displaystyle \mathbf {u} }$、${\displaystyle \mathbf {v} }$、${\displaystyle \mathbf {w} }$: $${\displaystyle \mathbf {u} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {w} )=(\mathbf {u} \cdot \mathbf {w} )\mathbf {v} -(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {w} }$$ 上記の電場の式は次のようになる。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)=&{\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}|^{2}(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s})^{3}}}\cdot \\&\left[\left(\mathbf {n} _{s}-{\boldsymbol {\beta }}_{s}\right)(1-{\beta _{s}}^{2})+|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}|(\mathbf {n} _{s}\cdot {\dot {\boldsymbol {\beta }}}_{s}/c)(\mathbf {n} _{s}-{\boldsymbol {\beta }}_{s})-|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}|{\big (}\mathbf {n} _{s}\cdot (\mathbf {n} _{s}-{\boldsymbol {\beta }}_{s}){\big )}{\dot {\boldsymbol {\beta }}}_{s}/c\right]\end{aligned}}}$$ これは容易に等しいことがわかる${\displaystyle -{\boldsymbol {\nabla }}\varphi -{\frac {d\mathbf {A} }{dt}}}$

同様に${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {A} }$これは、上述の磁場を表す式である。 $${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathbf {B} }=&{\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {A} \\[1ex]=&-{\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}c}}{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |^{2}\left(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}\right)^{2}}}{\big (}{\boldsymbol {\nabla }}\left[\left(|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |-(\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} )\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}\right)\right]\times {\boldsymbol {\beta }}_{s}-\left[\left(|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |-(\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} )\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}\right)\right]{\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {\beta }}_{s}{\big )}\\=&-{\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}c}}{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |^{2}\left(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}\right)^{3}}}\cdot \\&\qquad \left[(\mathbf {n} _{s}\times {\boldsymbol {\beta }}_{s})-({\boldsymbol {\beta }}_{s}\times {\boldsymbol {\beta }}_{s})(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s})-{\beta }_{s}^{2}\mathbf {n} _{s}\times {\boldsymbol {\beta }}_{s}+\left((\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} )\cdot {\dot {\boldsymbol {\beta }}}_{s}/c\right)(\mathbf {n} _{s}\times {\boldsymbol {\beta }}_{s})+{\big (}|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |-(\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} )\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}{\big )}(\mathbf {n} _{s}\times {\dot {\boldsymbol {\beta }}}_{s}/c)\right]\\=&-{\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}c}}{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}|^{2}(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s})^{3}}}\cdot \\&\qquad \left[\left(\mathbf {n} _{s}\times {\boldsymbol {\beta }}_{s}\right)(1-{\beta _{s}}^{2})+|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}|(\mathbf {n} _{s}\cdot {\dot {\boldsymbol {\beta }}}_{s}/c)(\mathbf {n} _{s}\times {\boldsymbol {\beta }}_{s})+|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}|{\big (}\mathbf {n} _{s}\cdot (\mathbf {n} _{s}-{\boldsymbol {\beta }}_{s}){\big )}\mathbf {n} _{s}\times {\dot {\boldsymbol {\beta }}}_{s}/c\right]\\[1ex]=&{\frac {\mathbf {n} _{s}}{c}}\times \mathbf {E} \end{aligned}}}$$ ソース用語${\displaystyle \mathbf {r} _{s}}$、${\displaystyle \mathbf {n} _{s}}$、 そして${\displaystyle \mathbf {\beta } _{s}}$遅延した時点で評価される。