生まれの座標

相対論的物理学において、ボルン座標図は、特殊相対論の平坦な時空であるミンコフスキー時空（の一部）の座標図です。これは、相対論的な速度で剛体回転するリングまたはディスクに乗る観測者、いわゆるランジュバン観測者の物理的経験を分析するためによく使用されます。この図は、回転体の相対論的物理学に関する1909年の研究により、マックス・ボルンの作品とされることがよくあります。平坦な時空における加速度の応用の概要については、 「加速（特殊相対論）と固有基準フレーム（平坦な時空）」を参照してください。

慣性シナリオ（慣性系での測定）による経験から、ランジュバン観測者は、それぞれ標準的なアインシュタインの慣例または遅い時計同期（両方とも内部同期）によって時計を同期させます。特定のランジュバン観測者にとって、この方法は完璧に機能します。そのすぐ近くでは時計が同期し、光は空間内を等方的に伝播します。しかし、観測者が空間内の閉じた経路に沿って時計を同期させようとしたときの経験は不可解です。常に、異なる時間を持つ少なくとも 2 つの隣接する時計が存在します。状況を改善するために、観測者は外部同期手順（座標時間t、またはリングに乗る観測者の場合は、固定半径rに対する適切な座標時間）について合意します。この合意により、剛体回転ディスクに乗っているランジュバン観測者は、観測者間の小さな距離の測定から、ディスクの形状が非ユークリッドであると結論付けます。どちらの方法を使用するかに関係なく、彼らは、その幾何学が特定のリーマン計量、つまりランジュバン・ランダウ・リフシッツ計量によってよく近似されていると結論付けるでしょう。これは、双曲面の幾何学（それぞれ負の曲率 −3 ω ²と −3 ω ² r ²を持つ）によって非常によく近似されます。しかし、これらの観測者がより長い距離を測定すると、使用する測定方法に応じて異なる結果が得られます。ただし、そのようなすべての場合において、彼らはおそらくどのリーマン計量とも矛盾する結果を得るでしょう。特に、彼らが距離の最も単純な概念であるレーダー距離を使用する場合、すでに述べた非対称性などのさまざまな効果により、彼らはディスクの「幾何学」が非ユークリッドであるだけでなく、非リーマンであると結論付けるでしょう。 

回転するディスクはパラドックスではありません。観察者が状況を分析するためにどのような方法を使用したとしても、最終的には慣性系ではなく回転するディスクを分析していることに気付くでしょう。

ボルン図の根拠として、まず、ミンコフスキー時空の通常の円筒座標図で表されるランジュバン観測者のファミリーについて考えます。これらの観測者の世界線は、膨張テンソルが消失するという意味で剛体である時間的合同を形成します。これらは、円筒対称軸の周りを剛体回転する観測者を表します。

線要素から

${\displaystyle {\begin{aligned}&\mathrm {d} s^{2}=-\mathrm {d} T^{2}+\mathrm {d} Z^{2}+\mathrm {d} R ^{2}+R^{2}\,\mathrm {d} \Phi ^{2},\;\;\\&-\infty <T,\,Z<\infty ,\;0<R<\infty ,\;-\pi <\Phi <\pi \end{aligned}}}$

静止した（慣性）観測者の局所ローレンツフレームを表す フレームフィールドをすぐに読み取ることができる。

${\displaystyle {\vec {e}}_{0}=\partial _{T},\;\;{\vec {e}}_{1}=\partial _{Z},\;\;{ \vec {e}}_{2}=\partial _{R},\;\;{\vec {e}}_{3}={\frac {1}{R}}\,\partial _{ \ファイ}}$

ここで、は時間的単位ベクトル場であり、その他は空間的単位ベクトル場です。各イベントでは、4 つすべてが相互に直交し、そのイベントを通過する世界線を持つ静的観測者の無限小ローレンツ フレームを決定します。 ${\displaystyle {\vec {e}}_{0}}$

これらのフレームフィールドを同時に方向にブーストすると、ランジュバン観測者の物理的経験を記述する望ましいフレームフィールドが得られます。 ${\displaystyle {\vec {e}}_{3}}$

${\displaystyle {\vec {p}}_{0}={\frac {1}{\sqrt {1-\omega ^{2}\,R^{2}}}}\,\partial _{T}+{\frac {\omega \,R}{\sqrt {1-\omega ^{2}\,R^{2}}}}\;{\frac {1}{R}}\partial _{\Phi }}$

${\displaystyle {\vec {p}}_{1}=\partial _{Z},\;\;{\vec {p}}_{2}=\partial _{R}}$

${\displaystyle {\vec {p}}_{3}={\frac {1}{\sqrt {1-\omega ^{2}\,R^{2}}}}\;{\frac {1}{R}}\,\partial _{\Phi }+{\frac {\omega \,R}{\sqrt {1-\omega ^{2}\,R^{2}}}}\,\partial _{T}}$

このフレームは、1935 年にポール ランジュバンによって (暗黙的に) 初めて導入されたようです。最初に明示的に使用されたのは、1997 年という最近の TA ウェーバーによるようです。このフレームは、0 < R < 1/ω の領域で定義されます。この制限は、外側の境界付近ではランジュバン観測者の速度が光速に近づくため、基本的なものです。

時間的単位ベクトル場の各積分曲線は、円筒図では一定の半径を持つらせんとして表示されます(図 1 の赤い曲線など)。 1 人のランジュバン観測者を選択し、角速度 ω で剛体回転する半径 R のリングに乗っている他の観測者について考えてみましょう。 次に、空間的基底ベクトルの積分曲線 (図 1 の青いらせん曲線) を取ると、リングに乗っている観測者にとって「同時性の線」として解釈できると期待できる曲線が得られます。 しかし、図 1 からわかるように、これらのリングに乗っている観測者が持つ理想的な時計は同期できません。 これは、回転するリングであっても、空間幾何学の満足のいく概念を定義するのは予想ほど簡単ではないという最初のヒントであり、回転するディスクの場合はなおさらです。${\displaystyle {\vec {p}}_{0}}$${\displaystyle {\vec {p}}_{3}}$

ランジュバン合同の運動学的分解を計算すると、加速度ベクトルは

${\displaystyle \nabla _{{\vec {p}}_{0}}{\vec {p}}_{0}={\frac {-\omega ^{2}\,R}{1-\オメガ ^{2}\,R^{2}}}\;{\vec {p}}_{2}}$

これは放射状に内側を指し、各螺旋世界線の（一定の）半径のみに依存します。膨張テンソルは同様にゼロになり、これは近くのランジュバン観測者が互いに一定の距離を保つことを意味します。渦度ベクトルは

${\displaystyle {\vec {\Omega }}={\frac {\omega }{1-\omega ^{2}\,R^{2}}}\;{\vec {p}}_{1} }$

これは対称軸に平行です。これは、図 2 に示されているように、各ランジュバン観測者の最も近い隣人の世界線が自身の世界線を中心にねじれていることを意味します。これは、一種の「渦巻き」または渦度という 局所的な概念です。

対照的に、らせんを静的観測者の世界線に直交する空間ハイパースライスのいずれかに投影すると円が得られ、これはもちろん閉じた曲線であることに注意してください。さらに良いことに、座標基底ベクトルは空間的なキリングベクトル場であり、その積分曲線は閉じた空間的曲線（実際には円）であり、さらに軸 R = 0 上の長さがゼロの閉じた曲線に退化します。これは、時空が円筒対称性を示すという事実を表し、ランジュバン観測者の回転の 一種のグローバルな概念も示しています。${\displaystyle T=T_{0}}$${\displaystyle \partial _{\ファイ }}$

図 2 では、マゼンタ色の曲線は空間ベクトルがどのように回転しているかを示しています(Z 座標は重要ではないため、図では省略されています)。つまり、ベクトルは世界線に沿ってフェルミ-ウォーカー輸送されないため、ランジュバン フレームは非慣性と同様に回転しています。言い換えると、ランジュバン フレームの直接的な導出では、フレームをラジアル座標基底ベクトル と揃えています。各ランジュバン観測者が を中心に運ぶフレームの一定速度回転を導入することで、必要に応じてフレームを「デスピン」してジャイロ安定化バージョンを取得できます。 ${\displaystyle {\vec {p}}_{2},\;{\vec {p}}_{3}}$${\displaystyle {\vec {p}}_{1}}$${\displaystyle {\vec {p}}_{2},\;{\vec {p}}_{3}}$${\displaystyle \partial_{R}}$${\displaystyle {\vec {p}}_{1}}$

ボルンチャートを得るために、ランジュバン観測者の螺旋世界線を単純な座標変換で直線化する。

${\displaystyle t=T,\;\;z=Z,\;\;r=R,\;\;\phi =\Phi -\omega \,T}$

新しいライン要素は

${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=-\left(1-\omega ^{2}r^{2}\right)\mathrm {d} t^{2}+2\omega r^ {2}\mathrm {d} t\,\mathrm {d} \phi +\mathrm {d} z^{2}+\mathrm {d} r^{2}+r^{2}\mathrm {d} \phi ^{2},}$

${\displaystyle -\infty <t,\,z<\infty ,0<r<{\frac {1}{\omega }},\;-\pi <\phi <\pi }$

を含む「交差項」に注目してください。これは、ボルン チャートが直交座標チャートではないことを示しています。ボルン座標は、回転円筒座標と呼ばれることもあります。 ${\displaystyle \mathrm {d} t\,\mathrm {d} \phi }$

新しいチャートでは、ランジュバン観測者の世界線は垂直の直線として現れます。実際、ランジュバンフレームを構成する4つのベクトル場を新しいチャートに簡単に変換できます。

${\displaystyle {\vec {p}}_{0}={\frac {1}{\sqrt {1-\omega ^{2}\,r^{2}}}}\,\partial _{t}}$

${\displaystyle {\vec {p}}_{1}=\partial _{z},\;\;{\vec {p}}_{2}=\partial _{r}}$

${\displaystyle {\vec {p}}_{3}={\frac {\sqrt {1-\omega ^{2}\,r^{2}}}{r}}\,\partial _{\phi }+{\frac {\omega \,r}{\sqrt {1-\omega ^{2}\,r^{2}}}}\,\partial _{t}}$

これらは以前とまったく同じベクトル場です。単に異なる座標チャートで表現されているだけです。

言うまでもなく、円筒図でらせんとして現れるランジュバン観測者の世界線を「ほどく」プロセスで、ボルン図でらせんとして現れる静的観測者の世界線を「巻き上げ」ました。また、ランジュバン フレームと同様に、ボルン図は 0 < r < 1/ω の領域でのみ定義されることにも注意してください。

ランジュバン観測者の運動学的分解、つまり時間的合同性を再計算すると、もちろん、新しいチャートで表現された、以前と同じ答えが得られます。具体的には、加速度ベクトルは ${\displaystyle {\vec {p}}_{0}={\frac {1}{\sqrt {1-\omega ^{2}\,r^{2}}}}\,\partial _{t}}$

${\displaystyle \nabla _{{\vec {p}}_{0}}\,{\vec {p}}_{0}={\frac {-\omega ^{2}\,r}{1 -\オメガ ^{2}\,r^{2}}}\,{\vec {p}}_{2}}$

膨張テンソルはゼロとなり、渦度ベクトルは

${\displaystyle {\vec {\Omega }}={\frac {\omega }{1-\omega ^{2}\,r^{2}}}\;{\vec {p}}_{1}}$

任意のフレーム フィールドにおける時間的単位ベクトル フィールドの双対コベクトル フィールドは、無限小の空間ハイパースライスを表します。ただし、フロベニウスの可積分性定理は、これらの空間超平面要素を「一緒に編んで」、どこでも合同の世界線に直交する空間超曲面の族を形成できるかどうかについて、強い制約を与えます。実際、これは可能であることが判明しており、その場合、渦度ベクトルが同一に消える場合のみ、合同は超曲面直交であると言えます。したがって、円筒チャートの静的観測者は、直交ハイパースライスの一意の族を許容しますが、ランジュバン観測者は、そのようなハイパースライスを許容しません。特に、ボルン チャートの空間面は、静的観測者に対しては直交しますが、ランジュバン観測者に対しては直交しません。これは、「回転ディスクの空間幾何学」を定義することは、予想されるほど簡単ではないという 2 つ目の (そしてはるかに的を射た) 兆候です。 ${\displaystyle T=T_{0}}$${\displaystyle t=t_{0}}$

この重要な点をよりよく理解するために、第3ランジュバンフレームベクトルの積分曲線を考えてみましょう。

${\displaystyle {\vec {p}}_{3}={\sqrt {1-\omega ^{2}\,r^{2}}}\,{\frac {1}{r}}\,\partial _{\phi }+{\frac {\omega \,r}{\sqrt {1-\omega ^{2}\,r^{2}}}}\,\partial _{t}}$

半径を通る曲線である。（便宜上、議論では重要でない座標zは省略する。）これらの曲線は表面上にある。 ${\displaystyle \phi =0,\,t=0}$

${\displaystyle \phi +\omega \,t-{\frac {t}{\omega \,r^{2}}}=0,\;\;-\pi <\phi <\pi }$

図 3 に示されています。これを、ランジュバン観測者にとって「一度に 1 つの空間」と見なしたいのですが、2 つの問題があります。

まず、フロベニウスの定理によれば、 はいかなる空間超スライスにも接していない。実際、初期半径を除いて、ベクトルはスライス内に収まらない。したがって、空間超曲面は見つかったが、それは一部のランジュバン観測者の世界線にのみ直交する。フロベニウスの定理による障害は、ベクトル場がリー代数を形成できないことの観点から理解できるため、この障害は微分的であり、実際リー理論的である。つまり、これは、回転する観測者にとって空間超スライスの満足のいく概念の存在に対する一種の微小な障害である。 ${\displaystyle {\vec {p}}_{2},\,{\vec {p}}_{3}}$${\displaystyle {\vec {p}}_{2}}$ ${\displaystyle {\vec {p}}_{2},\,{\vec {p}}_{3}}$

第二に、図 3 が示すように、我々が試みたハイパースライスは、積分曲線の「ジャンプ」 (青色のグリッドの不連続として表示) により、「時間」の不連続な概念につながります。あるいは、多値時間を使用することもできます。どちらの選択肢もあまり魅力的ではありません。これは明らかにグローバルな障害です。もちろん、これは、ディスクの縁など 1 つのリングに乗っているランジュバン観測者の時計を同期させることができないことの結果であり、ましてやディスク全体に乗ることはできません。

一定の角速度 ω で回転する半径のリングの円周に光ファイバーケーブルを固定したとします。リングに乗った観測者によって測定された、ケーブルの周りを時計回りと反時計回りに送られるレーザー パルスの往復移動時間を計算します。簡単にするために、光が光ファイバー ケーブルを通過する際の速度は真空中の光速よりもいくらか遅いという事実は無視し、レーザー パルスの世界線はヌル曲線 (ただしヌル測地線ではありません! ) であると仮定します。 ${\displaystyle r_{0}}$

ボルン線要素に と置くと、次の式が得られます。 ${\displaystyle \mathrm {d} s=\mathrm {d} z=\mathrm {d} r=0}$

${\displaystyle (1-\omega ^{2}\,r_{0}^{2})\,\mathrm {d} t^{2}=2\omega \,r_{0}^{2}\,\mathrm {d} t\,\mathrm {d} \phi +r_{0}^{2}\,\mathrm {d} \phi ^{2}}$

または

${\displaystyle \mathrm {d} t_{+}={\frac {r_{0}\,\mathrm {d} \phi }{1-\omega \,r_{0}}},\quad \mathrm {d} t_{-}=-{\frac {r_{0}\,\mathrm {d} \phi }{1+\omega \,r_{0}}}}$

往復の移動時間を取得します

${\displaystyle \Delta t_{+}=\int _{0}^{2\pi }{\frac {r_{0}\,\mathrm {d} \phi }{1-\omega \,r_{0}}}={\frac {2\pi r_{0}}{1-\omega \,r_{0}}},\quad \Delta t_{-}=\int _{0}^{-2\pi }-{\frac {r_{0}\,\mathrm {d} \phi }{1+\omega \,r_{0}}}={\frac {2\pi r_{0}}{1+\omega \,r_{0}}}}$

と置くと、（正の ω は反時計回りの回転、負の ω は時計回りの回転を意味する）となり、リングに乗っている観測者は、時計回りと反時計回りの移動時間の差から、リングの角速度（静止した観測者によって測定）を判定できることがわかります。これはサニャック効果として知られています。これは明らかにグローバルな効果です。 ${\displaystyle \delta ={\frac {\Delta t_{+}-\Delta t_{-}}{2\,\pi \,r_{0}}}}$${\displaystyle \omega _{+,-}={\frac {-1\pm {\sqrt {1+\delta ^{2}}}}{r_{0}\,\delta }}}$

円筒図とボルン図における ヌル測地線の外観を比較します。

円筒図では測地線方程式は次のようになります。

${\displaystyle {\ddot {T}}=0,\;\;{\ddot {Z}}=0,\;\;{\ddot {R}}-R\,{\dot {\Phi }}^{2}=0,\;\;{\ddot {\Phi }}+{\frac {2}{R}}\,{\dot {\Phi }}\,{\dot {R}}=0.}$

すぐに最初の積分が得られる。

${\displaystyle {\dot {T}}=E,\;\;{\dot {Z}}=P,\;\;{\dot {\Phi }}={\frac {L}{R^{2}}}.}$

これらを と設定して線要素から得られる式に代入すると、次の式が得られます。 ${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=0}$

${\displaystyle {\dot {R}}^{2}=E^{2}-P^{2}-{\frac {L^{2}}{R^{2}}}\geq 0}$

ここから、ヌル測地線の 最小半径は次のように与えられることがわかる。

${\displaystyle E^{2}-P^{2}-{\frac {L^{2}}{R_{\mathrm {min} }^{2}}}=0\quad }$すなわち、${\displaystyle \quad R_{\mathrm {min} }={\frac {|L|}{\sqrt {E^{2}-P^{2}}}}}$

したがって

${\displaystyle {\dot {R}}^{2}=L^{2}\left({\frac {1}{R_{\mathrm {min} }^{2}}}-{\frac {1}{R^{2}}}\right).}$

次のようにして、ヌル測地線をアフィンパラメータでパラメータ化された曲線として取得することができます。

${\displaystyle {\begin{aligned}R&={\sqrt {(E^{2}-P^{2})\,s^{2}+L^{2}/(E^{2}-P^{2})}}=\\&={\sqrt {(E^{2}-P^{2})\,s^{2}+R_{\mathrm {min} }^{2}}},\\T&=T_{0}+E\,s,\\[1em]Z&=Z_{0}+P\,s,\\\Phi &=\Phi _{0}+\operatorname {arctan} \left({\frac {E^{2}-P^{2}}{L}}\,s\right)=\\&=\Phi _{0}+\operatorname {arctan} \left({\frac {\sqrt {E^{2}-P^{2}}}{R_{\mathrm {min} }\,\operatorname {sgn} {(L)}}}\,s\right).\end{aligned}}}$

私たちの目的にとってより有用なのは、ヌル測地線の軌跡（任意の空間超スライスへの投影）は当然直線であり、次のように表される という観察である。${\displaystyle T=T_{0}}$

${\displaystyle R=R_{\mathrm {min} }\,\sec(\Phi -\Phi _{0}).}$

2点を通る直線の最小半径を求めるには（原点に最も近い点と同じ側）、次のように解きます。

${\displaystyle R_{1}=R_{\mathrm {min} }\,\sec(\Phi _{1}-\Phi _{0}),\;\;R_{2}=R_{\mathrm {min} }\,\sec(\Phi _{2}-\Phi _{0})}$

これにより

${\displaystyle R_{\mathrm {min} }={\frac {R_{1}\,R_{2}\,|\sin(\Phi _{2}-\Phi _{1})|}{\sqrt {R_{1}^{2}-2\,R_{1}\,R_{2}\,\cos(\Phi _{2}-\Phi _{1})+R_{2}^{2}}}}.}$

ここで最も単純なケースであるラジアルヌル測地線（R _min = L = 0、E = 1、P = 0）を考えてみましょう。外向きラジアルヌル測地線は次のように表すことができます。

${\displaystyle T=s,\;Z=Z_{0},\;R=s,}$

${\displaystyle \Phi =\mathrm {const.} =\omega \,R_{0}}$

リングに乗るランジュバン観測者の半径R ₀で（図4参照）。ボルンチャートに変換すると、軌道は次のように書けることがわかる。

${\displaystyle r=r_{0}-{\frac {\phi }{\omega }}.}$

ボルン図では、トラックがわずかに曲がって表示されます (図 4 の緑の曲線を参照)。ボルン図への変換のセクションから、ボルン図では、これらの「トラック」を「投影」として適切に参照できないことがわかります。これは、ランジュバン観測者にとって、t = t ₀の直交ハイパースライスが存在しないため (図 3 を参照) です。

同様に、内向き放射状ヌル測地線については、

${\displaystyle r={\frac {\phi }{\omega }}}$

図4では赤い曲線で示されています。

R = 0 で静止している観測者 S に向かってレーザー パルスを送信するには、ランジュバン観測者 L が自身の動きを補正するためにわずかに後ろを向く必要があることに注意してください。逆に、アヒルのハンターが予想するように、反時計回りに回転するリングに乗っているランジュバン観測者に向かってレーザー パルスを送信するには、中央の観測者は、この観測者の現在の位置ではなく、信号を傍受するのにちょうど間に合う位置を狙う必要があります。これらの内向きおよび外向きの放射状ヌル測地線の族は、時空内の非常に異なる曲線を表し、それらの投影は ω > 0 では一致しません。

同様に、リングに乗るランジュバン観測者間のヌル測地線は、測地線が回転の方向に伝播する場合、ボルンチャートでわずかに内側に曲がって表示されます（図5の緑の曲線を参照）。これを確認するには、円筒チャートのヌル測地線の式を次の形式で書きます。

${\displaystyle T=R_{\mathrm {min} }\,\tan(\Phi ),}$

${\displaystyle R=R_{\mathrm {min} }\,\sec(\Phi ).}$

ボルン座標に変換すると、次の式が得られる。

${\displaystyle t=r_{\mathrm {min} }\,\tan(\phi +\omega \,t),}$

${\displaystyle r=r_{\mathrm {min} }\,\sec(\phi +\omega \,t).}$

ϕを消去すると

${\displaystyle r={\sqrt {r_{\mathrm {min} }^{2}+t^{2}}}}$

これは、測地線が内側に曲がっているように見えることを示しています（図6を参照）。また、

${\displaystyle \phi =-\omega \,t+\operatorname {arctan} (t/r_{\mathrm {min} }).}$

回転に逆らって伝播するヌル測地線（図5の赤い曲線）の場合、

${\displaystyle r={\sqrt {r_{\mathrm {min} }^{2}+t^{2}}},}$

${\displaystyle \phi =-\omega \,t-\operatorname {arctan} (t/r_{\mathrm {min} })}$

そして測地線はわずかに外側に曲がります。これで、ヌル測地線がボルン図に現れる様子の説明は完了です。すべてのヌル測地線は放射状であるか、円筒対称軸に最も近い点を持っているからです。

リングに乗っている観測者が別のリングに乗っている観測者にレーザーパルスを送ろうとする場合、ターゲットの回転運動を補正するために、ボルンチャートに示されている角度座標よりわずかに前または後ろに照準を合わせる必要があることに注意してください（図5を参照）。また、ここで示されている図は、動いている観測者には天球上の他の物体の見かけの位置が自分の動きの方向に ずれて見えるという予想（夜空の外観を参照）と完全に一致していることにも注意してください。

平坦な時空であっても、加速する観測者（線形加速する観測者も含む。リンドラー座標を参照）は、異なるが操作上重要なさまざまな距離の概念を採用できることがわかります。おそらく、最も単純なのはレーダー距離です。

_{R=0 の静止観測者が、リングに乗っている R = R 0}の観測者までの距離をどのように測定するかを考えてみましょう。イベントCで、観測者はリングに向かってレーダーパルスを送信します。このパルスはA ′にいるリングに乗っている観測者のワールドラインに当たり、イベントC ″で中央の観測者に戻ります。(図 7 の右側の図を参照してください。) 次に、観測者は経過時間 (観測者が所持する理想的な時計で測定) を 2 で割ります。この距離が単に R ₀ (円筒図の場合) または r ₀ (ボルン図の場合) になることは容易にわかります。

同様に、リングに乗る観測者は、イベントAで中央観測者に向けてレーダーパルスを送信することにより、中央観測者までの距離を決定できます。このパルスは、イベントC ′ でリングに乗る観測者の世界線に当たり、イベントA ''でリングに乗る観測者に戻ります。(図 7 の左側の図を参照) この距離に対して、中央観測者によって取得される結果よりもいくらか小さい結果が得られることは容易にわかります。これは時間の遅れの結果です。リングに乗る観測者の経過時間は、 中央観測者の時間よりも係数だけ小さくなります。したがって、レーダー距離は単純な操作上の重要性を持ちますが、対称でもありません。 ${\displaystyle R_{0}{\sqrt {1-\omega ^{2}\,R_{0}^{2}}}}$${\displaystyle r_{0}{\sqrt {1-\omega ^{2}\,r_{0}^{2}}}}$${\displaystyle {\sqrt {1-\omega ^{2}\,r_{0}^{2}}}}$

この重要な点を理解するために、半径座標R = R ₀でリングに乗る2人の観測者によって得られたレーダー距離を比較してください。図8の左側の図では、イベントAの座標は次のように 書くことができます。

${\displaystyle T=0,\;Z=0,\;X=R_{0},Y=0}$

そして、イベントB ′ の座標は次のように書ける。

${\displaystyle T=2\,R_{0}\,\sin \left({\frac {\Phi }{2}}\right),\;Z=0,}$

${\displaystyle X=R_{0}\cos(\Phi ),\;Y=R_{0}\sin(\Phi )}$

未知の経過時間を と書き、イベントAの座標をと書きます。 ${\displaystyle \Delta s}$

${\displaystyle T={\frac {\Delta s}{\sqrt {1-\omega ^{2}\,R_{0}^{2}}}},\;Z=0}$

${\displaystyle X=R_{0}\cos \left({\frac {\omega \,\Delta s}{\sqrt {1-\omega ^{2}\,R_{0}^{2}}}}\right),\;Y=R_{0}\sin \left({\frac {\omega \,\Delta s}{\sqrt {1-\omega ^{2}\,R_{0}^{2}}}}\right)}$

これらのイベントを結ぶ線分がゼロであることを条件とすることで、原理的には Δ sについて解くことができる方程式が得られます。この手順で得られる非線形方程式はかなり複雑なため、ここでは代表的な数値結果をいくつか示します。R 0 = 1、Φ = π/2、ω = 1/10 の場合、_AからBへのレーダー距離は約 1.311 で、B から A への距離は約 1.510 であることがわかります。ω がゼロに近づくにつれて、両方の結果が√ 2 = 1.414 に近づきます (図 5 も参照)。

これらのおそらく落胆させるような矛盾にもかかわらず、単一のランジュバン観測者、またはミンコフスキー時空で単一の任意に加速する観測者の物理的経験を説明するのに適した座標チャートを考案することは決して不可能ではありません。パウリとヴァリスネリは、マーツケ・ホイーラー クロック同期手順を適応させて、マーツケ・ホイーラー座標と呼ばれる適応座標を考案しました(下記の引用論文を参照)。定常円運動の場合、このチャートは、実際には、特定のランジュバン観測者からの「大きな」レーダー距離の概念と非常に密接に関連しています。

上で述べたように、さまざまな理由から、ランジュバン観測者のファミリーは直交ハイパースライスのファミリーを許容しません。したがって、これらの観測者は、時空を連続する「一定の時間スライス」のファミリーにスライスすることに単純に関連付けることはできません。

しかし、ランジュバン合同は定常であるため、この合同における各世界線を点に置き換えることが考えられます。つまり、ミンコフスキー時空の商空間(または、領域 0 < R < 1/ ω ) を、3 次元位相多様体であるランジュバン合同で考えることができます。さらに良いことに、この商多様体にリーマン計量を配置して、3 次元リーマン多様体 に変換し、計量が単純な操作上の意味を持つようにすることができます。

これを理解するには、ボルン線要素を考えてみましょう。

${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=-(1-\omega ^{2}\,r^{2})\,\mathrm {d} t^{2}+2\,\omega \,r^{2}\,\mathrm {d} t\,\mathrm {d} \phi +\mathrm {d} z^{2}+\mathrm {d} r^{2}+r^{2}\,\mathrm {d} \phi ^{2},}$

${\displaystyle -\infty <t,z<\infty ,\;\;0<r<{\frac {1}{\omega }},\;\;-\pi <\phi <\pi .}$

d s ² = 0としてd tについて解くと、

${\displaystyle \mathrm {d} t_{+}={\frac {\omega \,r^{2}\,\mathrm {d} \phi +{\sqrt {(1-\omega ^{2}\,r^{2})\;(\mathrm {d} z^{2}+\mathrm {d} r^{2})+r^{2}\,\mathrm {d} \phi ^{2}}}}{1-\omega ^{2}\,r^{2}}},}$

${\displaystyle \mathrm {d} t_{-}={\frac {\omega \,r^{2}\,\mathrm {d} \phi -{\sqrt {(1-\omega ^{2}\,r^{2})\;(\mathrm {d} z^{2}+\mathrm {d} r^{2})+r^{2}\,\mathrm {d} \phi ^{2}}}}{1-\omega ^{2}\,r^{2}}}.}$

ランジュバン観測器から放射される往復レーダーブリップの 経過固有時間は、

${\displaystyle {\sqrt {1-\omega ^{2}\,r^{2}}}\;{\frac {\mathrm {d} t_{+}-\mathrm {d} t_{-}}{2}}={\sqrt {\mathrm {d} z^{2}+\mathrm {d} r^{2}+{\frac {r^{2}\,\mathrm {d} \phi ^{2}}{1-\omega ^{2}\,r^{2}}}}}.}$

したがって、商多様体では、リーマン直線要素

${\displaystyle \mathrm {d} \sigma ^{2}=\mathrm {d} z^{2}+\mathrm {d} r^{2}+{\frac {r^{2}\,\mathrm {d} \phi ^{2}}{1-\omega ^{2}\,r^{2}}},}$

${\displaystyle -\infty <t<\infty ,\;\;0<r<{\frac {1}{\omega }},\;\;-\pi <\phi <\pi }$

は、無限に近いランジュバン観測者間の距離に対応します。これをランジュバン・ランダウ・リフシッツ計量と呼び、この距離の概念を「小さな」レーダー距離と呼ぶことができます。

この測定基準はランジュバンによって最初に与えられたが、レーダー距離の「小さな」観点からの解釈は、レフ・ランダウとエフゲニー・リフシッツによるものであり、彼らはこの構成を、任意のローレンツ多様体の定常時間的合同による商に対して機能するように一般化した。

コフレームを採用すれば

${\displaystyle \theta ^{\hat {1}}=\mathrm {d} z,\;\;\theta ^{\hat {2}}=\mathrm {d} r,\;\;\theta ^{\hat {3}}={\frac {r\,\mathrm {d} \phi }{\sqrt {1-\omega ^{2}\,r^{2}}}}}$

3次元商多様体の リーマン曲率テンソルは簡単に計算できる。この多様体は2つの独立した非自明な成分のみを持つ。

${\displaystyle {R^{\hat {2}}}_{{\hat {3}}{\hat {2}}{\hat {3}}}={\frac {-3\,\omega ^{2}}{(1-\omega ^{2}r^{2})^{2}}}=-3\,\omega ^{2}+O(\omega ^{4}\,r^{2}),}$

${\displaystyle {R^{\hat {3}}}_{{\hat {2}}{\hat {3}}{\hat {2}}}={\frac {-3\,\omega ^{2}\,r^{2}}{(1-\omega ^{2}r^{2})^{3}}}=-3\,\omega ^{2}\,r^{2}+O(\omega ^{4}\,r^{4}).}$

したがって、ある意味では、回転ディスクの幾何学は、テオドール・カルツァが1910 年に（証明なしに）主張したように、湾曲しています。実際、ωの 2 次までは、カルツァが主張したように、双曲面の幾何学を持ちます。

警告:これまで見てきたように、剛体回転ディスクに乗ったランジュバン観測者が使用できる距離の概念は多数存在するため、「回転ディスクの幾何学」に関する記述には常に注意深い限定が必要です。

この重要な点を理解するために、ランダウ・リフシッツ計量を使って、半径R ₀のリングに乗るランジュバン観測者と中央の静止観測者との間の距離を計算してみましょう。これを行うには、適切なヌル測地線上で線要素を積分するだけで済みます。以前の研究から、

${\displaystyle \mathrm {d} r={\frac {\mathrm {d} \phi }{\omega }},\,\mathrm {d} z=0}$

ライン要素に統合して

${\displaystyle \int _{0}^{\Delta }\mathrm {d} \sigma =\int \limits _{0}^{r_{0}}{\left(1+{\frac {\omega ^{2}r^{2}}{1-\omega ^{2}r^{2}}}\right)^{\frac {1}{2}}}\,\mathrm {d} r.}$

これにより

${\displaystyle \Delta =\int _{0}^{r_{0}}{\frac {\mathrm {d} r}{\sqrt {1-\omega ^{2}\,r^{2}}}}={\frac {\arcsin(\omega r_{0})}{\omega }}=r_{0}+{\frac {\omega ^{2}\,r_{0}^{3}}{6}}+O(r_{0}^{5}).}$

ここではリーマン計量を扱っているので、この距離の概念は、もちろん2 人の観測者を入れ替えた場合に対称であり、「全体」のレーダー距離とは異なります。この概念によって与えられる値は、前のセクションで計算された「全体」のレーダー距離と矛盾しています。また、ランダウ・リフシッツ計量は 2 次までアインシュタインの同期規則と一致するため、計算した曲率テンソルには操作上の意味があることがわかります。ランジュバン観測者のペア間の「全体」のレーダー距離は確かにリーマンの距離の概念ではありませんが、近くのランジュバン観測者のペア間の距離は、ランジュバン・ランダウ・リフシッツ計量によって与えられるリーマン距離に対応します。(ハワード・パーシー・ロバートソンの適切なフレーズでは、これはクライネンの運動学です。)

ランジュバン観測者にとっての空間距離に関するすべての合理的な概念が近くの観測者にも一致することを確認する 1 つの方法は、ネイサン・ローゼンに従って、任意の 1 人のランジュバン観測者について、瞬間的に共動する慣性観測者も、非常に小さな距離に対して、ランジュバン・ランダウ・リフシッツ計量によって与えられる距離を取得することを示すことです。

• エーレンフェストのパラドックスは、ボルンチャートを使用して研究されることが多い、物議を醸すトピックです。
• 光ファイバージャイロスコープ
• リンドラー座標は、ミンコフスキー時空における加速観測者の別の重要なファミリーに適応した別の便利な座標チャートです。この記事では、そのような観測者が使用する可能性のある距離の明確な概念の存在も強調しています。
• サニャック効果

歴史的に興味深い論文をいくつか紹介します。

• M.生まれ（1909年）。 「相対運動学におけるスターレン電子の理論」。アンナレン・デア・フィジーク。30 (11): 1–56。ビブコード:1909AnP...335....1B。土井：10.1002/andp.19093351102。
  • Wikisource 翻訳: 相対性原理の運動学における剛体電子の理論
• エーレンフェスト、P. (1909)。 「Gleichförmige Rotation starrer Körper und Relativitätstheorie」。物理学。 Z。10 : 918。Bibcode :1909PhyZ...10..918E。
  • Wikisource 翻訳: 剛体の一様回転と相対性理論
• ランジュバン、P. (1935)。 「Remarques au sujet de la Note de Prunier」。CRアカデミー。科学。パリ。200：48

いくつかの古典的な参考文献:

• Grøn, Ø. (1975). 「回転ディスクの相対論的記述」Am. J. Phys . 43 (10): 869– 876. Bibcode :1975AmJPh..43..869G. doi :10.1119/1.9969.
• Landau, LD & Lifschitz, EM (1980).場の古典理論 (第 4 版) . ロンドン: Butterworth-Heinemann. ISBN 0-7506-2768-9。ローレンツ多様体の定常合同による商のランダウ・リフシッツ計量についてはセクション 84 を 参照してください。ランジュバン観測者への適用についてはセクション 89の最後の問題を参照してください。

選択された最近のソース:

• Rizzi, G. & Ruggiero, ML (2004).回転フレームにおける相対性. ドルドレヒト: Kluwer. ISBN 1-4020-1805-3。この本には、 Øyvind Grøn による貴重な歴史的調査、エーレンフェストのパラドックスと関連する論争に関するその他の論文、およびランジュバン合同について論じた Lluis Bel による論文が含まれています。この本には、さらに数百の参考文献が掲載されています。
• Pauri, Massimo & Vallisneri, Michele (2000). 「特殊相対論における加速観測者のためのMärzke-Wheeler座標」発見。Phys. Lett . 13 (5): 401– 425. arXiv : gr-qc/0006095 . Bibcode :2000gr.qc.....6095P. doi :10.1023/A:1007861914639. S2CID  15097773.単一のランジュバン観測者からの「大規模な」レーダー距離を使用して構築された座標チャートを研究します。eprint バージョンも参照してください。

• 相対性理論における剛体回転ディスク、Michael Weiss (1995) 著、sci.physics FAQより。